결합패턴과 표준모형 입자 매칭 (v0.6)

결합 패턴 ↔ 표준모형 입자 매칭 요약

앞서 연구한 패턴을 바탕으로 표준모형 입자와 매칭해 봤습니다. 들어가기에 앞서 피라미드 형은 사각형 부분은 모두 \(\pi\)의 위상차를 갖지만 4기둥중 면중심과 면중심 사이의 위상차는 \(2\pi\)를 이뤄야 합니다. 이런 경우 모든 방향으로 \(4\pi\) 회전 대칭성을 갖습니다. 다음으로 정삼각형 루프는 각 변에 색상 RGB 색상전하를 대입하였습니다. 마지막으로 정팔면체 패턴은 글루볼로 매칭하였으며 이 글루볼 형태는 사실상 글루온 형태의 반복 결합을 통해 고밀도 글루온 응축장(CGC)으로 만들어 볼 수 있었으나 이번 매칭에서는 제외하였습니다. 

쿼크에 매칭시킬만한 패턴은 조만간 추가하겠습니다.

 

(※ “정합성”은 결합 규칙·위상 조건·전하 양자화 세 가지를 모두 만족하는지에 대한 평가이며 \(\chi\)와 \(\kappa\) 는 각각 오일러 인덱스와 위상 폐곡 지수이다)

#	격자 패턴	대응 입자	총 전하 Q	결합 면-전하 분포(면·변에 부여되는 위상/전하 단위)	정합성
1	Spinor 토러스 (genus 1, \(\chi=0\))	중성미자 \(\nu\)	0	두 사각 면 모두 전하 0 모든 변은 \(2\pi\)  또는 \(\pi\) 쌍으로 상쇄 → 전하 무	◎
2	피라미드 \((\chi=2,\kappa=1)\)	전자 \(e^-\)	−1	바닥 사각면: 네 모서리 각각 \(\pi\Rightarrow -\tfrac14\) e씩 → 합 −1 네 삼각 측면의 루프 위상차는 각각 \(2\pi\)로 닫혀 전하가 존재하지 않는다	◎
3	정삼각형 루프 (FFF 또는 FQF)	글루온 \(g^{a}\)	0	각 변에 색상 R,G,B 플럭스 ±1, 전하 0 면 전체는 색 비중성·전기 무	◎
4	정팔면체 \((\chi=2,\kappa=1)\)	글루볼	0	여덟 삼각 면이 색선 상쇄 → 색 싱글, 전하 0	◎
5	정사면체\((\chi=2,\kappa=1)\)	\(W^\pm,\;Z^0\)	\(Z^0:0,\;W^\pm:\pm1\)	\(W^\pm\) : 네 삼각 면 각각 \(\pm\tfrac13\) e (변 위상 \(\pi\)) → 합 ±1 \(Z^0\): 모든 면 전하 0	○
6	면-중심 정사각 평면망(무한)	광자 \(\gamma\)	0	모든 플라켓 변이 \(\pm2\pi\) 페어 → 전하 0 (위상 루프 \(2n\pi \)만 존재)	◎
7	FQFQ 사각형 (단일) \((\chi=1,\kappa=0)\)	하이퍼포톤 \(B_\mu\) ( \(U(1)_Y\)  게이지 보손)	0	각 변 \(\pi \rightarrow \pm \tfrac{1}{4}e\) ×4 → 전하 0 (Y = ±1 양자화 가능)	◎

기호 설명
◎ — 위상·전하·결합 규칙이 모두 자연스럽게 들어맞음
○ — 핵심 조건은 충족하나 세부 위상 배치(예: W±W^\pm 부호 결정)에 추가 제약 필요
△ — 추가 보정이 없으면 규칙 일부에서 모호성이 남음
× — 현재 가정으로는 모순 발생

 

메모 (결합 면-전하 정의 방식)

• 전하 단위는 U(1) 위상 \(2\pi\)을 \(+e\)로 정규화한 뒤, 변에 할당된 \(\Delta\phi\)가 \(\pi\)라면 전하 \(\pm\tfrac12e\), 
  \(\pi/2\)라면 \(\pm\tfrac14e\) 등으로 대응합니다.
  – 피라미드의 사각 바닥이 대표적 예: 4 개의 \(\pi=-\tfrac14 e\)씩 → 전체 \(-e\)
• 색 플럭스는 전기전하와 독립이므로 표에 전하 0으로 기록했습니다.
  (글루온/글루볼은 SU(3) 색량만 가짐)

 

1. 페르미온 (스핀 \(\frac{1}{2}k\), k는 홀수): \(4\pi\) 주기성 (Fermions (Spin \(\frac{1}{2}k\), k is odd): \(4\pi\) Periodicity):
   • 만약 입자를 특징짓는 주요 폐곡선들의 위상차 총합 \(\Sigma_{\text{loop}}\)이 \(4\pi\) 의 정수배, 즉 \(\Sigma_{\text{loop}} = 4\pi n\) (여기서 n은 0이 아닌 정수) 형태를 가질 때, 해당 입자는 페르미온적 특성과 반정수 스핀을 가진다.
   • 가장 기본적인 페르미온(예: 스핀 \(\frac{1}{2}\) 입자)은 \(\Sigma_{\text{loop}} = \pm 4\pi\) 조건을 만족하는 하나 이상의 지배적인 폐곡선을 그 구조 내에 포함한다.
   • 이는 위상 공간에서 시스템이 \(2\pi\) 회전(또는 그에 상응하는 위상 변화)에 대해 원래 상태로 돌아오지 않고, \(4\pi\) 회전해야 비로소 원래 상태로 돌아오는 스피너(spinor)의 위상학적 성질을 반영한다.
   • 예시:
     • 스피너 모델 (중성미자 후보): 주요 폐곡선들이 \(4\pi\) 의 위상차 합을 가지도록 구성되어 스핀 \(\frac{1}{2}\)을 나타낸다
     • 피라미드 모델 (전자 후보): 주요 폐곡선들이 \(4\pi\) 의 위상차 합을 가지도록 구성되어 스핀 \(\frac{1}{2}\)을 나타낸다.
2. 보손 (스핀 k, k 는 정수): \(2\pi\) 주기성 (Bosons (Spin k, k is integer): \(2\pi\) Periodicity):
   • 만약 입자를 특징짓는 주요 폐곡선들의 위상차 총합 \(\Sigma_{\text{loop}}\)이 \(2\pi\) 의 정수배이지만 \(4\pi\)  의 정수배는 아닌 형태, 즉 \(\Sigma_{\text{loop}} = 2\pi m\) (여기서 m은 홀수 정수) 형태를 주로 가질 때, 또는 모든 기본 루프가 \(2\pi n\) (단, \(n≠0\) )으로 닫힐 때, 해당 입자는 보손적 특성과 정수 스핀을 가진다.
   • 가장 기본적인 스핀 1 보손은 \(\Sigma_{\text{loop}} = \pm 2\pi\) 조건을 만족하는 하나 이상의 지배적인 폐곡선을 그 구조 내에 포함한다.
   • 이는 위상 공간에서 시스템이  \(2\pi\) 회전(또는 그에 상응하는 위상 변화)에 대해 원래 상태로 돌아오는 벡터(vector) 또는 텐서(tensor)의 위상학적 성질을 반영한다.
   • 예시:
     • 정삼각형 루프 (글루온 후보): 각 변의 위상차가 \(2\pi/3\) 이고, 세 변으로 이루어진 루프의 총 위상차는 \(2\pi\) 이므로 스핀 1 특성을 나타낸다.
     • 정사면체 (W/Z 보손 후보): 네 개의 정삼각형 면으로 구성되며, 각 면이 \(2\pi\) 의 루프 위상차를 가질 수 있어 전체적으로 보손적 특성을 지닌다.
     • 정팔면체 (글루볼 후보): 여덟 개의 정삼각형 면(또는 세 개의 가상 사각형 면)으로 구성되며, 각 기본 루프(삼각형 또는 사각형)가 \(2\pi\)의 위상차를 가져 보손적 특성을 나타낸다. (사각형 부분은 \(\pi\), 삼각형 부분은 \(\pi/2\))
     • 면-중심 정사각 평면망 (광자 후보): 각 플라켓이 \(2\pi n\) 의 루프 위상차를 만족하며 스핀 1 특성을 나타낸다.