[v1.3] Qaether 이론 바탕으로 경로적분을 통한 게이지 섹터 전개

1. 기본 전제와 변수

• 정점 자유도: 단위 쿼터니안 \(q_i\in SU(2)\).
• 링크: \(\Delta q_{ij}=q_j q_i^{-1}\).
• Hopf 섬유의 U(1) 위상각 \(\phi_i\)를 뽑아 \(w_i=e^{i\phi_i/2}\), 링크 \(\Delta w_{ij}=e^{i(\phi_j-\phi_i)/2}\)
• SU(3) 링크는 정적 색 배경 + 동적 글루온 형태:$$\Xi_{ij}=\exp\!\big[i\,C_{ij}\!\cdot\! \lambda\big]\,\exp\!\big[-ig_s A_{ij}\big]$$여기서 \(C_{ij}\)는 플라켓 미세배치(색 궤도; 아래 2.3)로부터 오는 Cartan 공간 벡터, \(A_{ij}\)는 글루온.
• 자율형(재매개 불변) 작용의 시간자(라프스) \(E(\phi)>0\)를 도입(배경 시간 고정 금지).

 

2. 루프의 폐합 규칙(Loop Closure Rules)

2.1. FCC 위상 양자화(\(\pi/6\))

삼각·사각 최소 루프의 강한 루프-잠금으로

$$\Delta\phi_{ij}\in \frac{\pi}{6}\mathbb Z,\qquad \Phi_\ell=\sum_{(ij)\in\ell}\Delta\phi_{ij}=2\pi n_\ell\ (n_\ell\in\mathbb Z)$$

따라서 링크 위상군은 \(\mathbb Z_{12}\) 계열로 잠기며(공약수 \(\pi/6\)), 짧은 루프가 먼저 폐합을 강제합니다.

2.2. U(1) (전하·전자기)

임의 닫힌 루프 \(\ell\)에서 U(1) 위상 감김수 \(n_\ell=\Phi_\ell/(2\pi)\in\mathbb Z\). 전하는 \(Q_\ell=e\,n_\ell\). 플라켓 전자기 작용은 compact QED형이며, 소진폭에선 \(-\tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)로 수렴.

2.3. SU(3) (색)

• 색 = 디헤드럴 궤도 3종: 한 플라켓을 따라 읽은 네 정수 \(n_{1,2,3,4}\in\{0,\dots,11\}\)가 모두 다를 때, 원순열 24개를 \(D_4\)(회전·반사)로 나누면 정확히 3개의 동치류가 남습니다. 이 3종 \(\{C_r,C_g,C_b\}\)를 색 라벨로 채택.
• SU(3) 임베딩: $$\{C_r,C_g,C_b\}\mapsto\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$$ (fundamental weights), \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\). Weyl 반사로 반색 구현.
• Y-결합(Bianchi) 보존: 한 정점에서 만나는 세 색 플럭스는 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)을 만족(색보존).
• 비가환 동역학: \(\Xi_{ij}\)의 BCH 전개로 Cartan/비대각 성분이 혼합 → 동적 글루온과 상호작용이 자동 발생.
• 역방향 루프는 반전 궤도(anti-color)로 대응.

2.4. SU(2) (로터/스핀 병렬 이동)

SU(2) 윌슨 루프 \(V_\square=\prod_{\ell\in\square}\Delta q_\ell\)로 곡률을 정의. 스피너가 닫힌 경로를 돌 때 \(\pm\mathbb I\) 홀로노미(보손/페르미온) 정합.

 

3. 자율형 격자 라그랑지안(보완 아이디어 반영)

\begin{aligned} \widetilde{\mathcal L} &=\frac{1}{2E}\sum_i I_i(m_i)\,\|q_i^{-1}q_i'\|^2 \;-\;E\,\kappa\!\sum_{\langle i,j\rangle}\!\big(\mathrm{Re\,Tr}[q_i^{-1}V_{ij}q_j]-2\big)\\ &\quad-\;E\,\frac{1}{2g_2^{\,2}}\sum_{\square}\!\|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2 \;-\;E\,\beta\sum_{\square}\!\big(1-\cos\Phi_\square\big)\\ &\quad-\;E\,\frac{1}{2g_s^{\,2}}\sum_{\square}\!\|G_\square-\mathbb I_3\|_F^2 \;-\;E\sum_i P_i(m_i) \;-\;E\sum_{\ell}\Lambda_\ell\big(1-\cos\Phi_\ell\big) \end{aligned}

• 재매개 불변(라프스 E), 양의정부호(프로베니우스 노름), 루프-잠금 \(\Lambda_\ell\), 관성·압력 \(I_i,P_i\)의 \(m_i\)-의존(점접촉 \(\alpha\ll1\)).
• U(1)/SU(2)/SU(3) 모두 플라켓 불변량만 등장(국소 게이지 정합).

연속극한(IR)에서

$$\mathcal L_{\rm gauge}\to -\tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\tfrac14 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\tfrac14 G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu}, \quad \mathcal L_{\rm rotor}\to \rho_s\,\mathrm{Tr}[(D_\mu q)^\dagger D^\mu q]$$

 

4. 경로적분(게이지 섹터 전개; BRST 포함)

총 생성함수

$$Z=\int\!\mathcal Dq\,\mathcal D B_\mu\,\mathcal D A_\mu^a\,\mathcal D C_\mu^A\; \exp\Big\{i\!\int d^4x\,\sqrt{-g}\,[\mathcal L_{\rm tot}+\mathcal L_{\rm gf}+\mathcal L_{\rm gh}]\Big\}$$

• 게이지 고정(예: Landau/Coulomb):$$\mathcal L_{\rm gf}=-\tfrac1{2\xi_1}(\partial\!\cdot\!B)^2-\tfrac1{2\xi_2}(\partial\!\cdot\!A^a)^2-\tfrac1{2\xi_s}(\partial\!\cdot\!C^A)^2$$
• FP 유령/BRST:$$\mathcal L_{\rm gh}=\bar c\,\partial\!\cdot\!\partial\,c+\bar c^a\,\mathcal M^{ab}c^b+\bar c^A\,\mathcal N^{AB}c^B$$ $$\delta_{\rm B}A_\mu^a=D_\mu c^a,\ \delta_{\rm B}c^a=-\tfrac12 f^{abc}c^b c^c$$ (SU(3)도 동일 구조).
• SU(3) 링크는 \(\Xi_{ij}\)로 구현되며 BCH 전개로 비대각 글루온까지 자연히 포함.

 

5. 맥스웰 방정식의 격자→연속 유도 

 

5.1. U(1) 링크·플라켓과 연속장 매핑

• 링크(당신의 Hopf 위상에서 나온 U(1)):

$$U_\mu(x)\;\equiv\;\Delta w_{x,\mu}\;=\;e^{\,i\theta_\mu(x)},\qquad \theta_\mu(x)\;=\;a\,g_1\,B_\mu(x)$$

• 플라켓 위상:

$$\theta_{\mu\nu}(x) =\Delta^+_\mu \theta_\nu(x)-\Delta^+_\nu \theta_\mu(x) =a^2 g_1\,F_{\mu\nu}(x)+O(a^3), \quad F_{\mu\nu}=\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu$$

5.2. 자율형(compact QED) 격자 작용의 IR 전개

당신의 라그랑지안에서 U(1) 부분은

$$S_{U(1)} \;=\; \int d\tau\, E(\phi)\;\beta \sum_{\square}\!\big(1-\cos\theta_{\mu\nu}\big)$$

소진폭(\(ka\ll1\))에서 \(\cos\theta\simeq 1-\tfrac12\theta^2\):

$$S_{U(1)} \;\simeq\; \int d\tau\, E(\phi)\;\frac{\beta}{2}\sum_{x,\mu<\nu}\!\theta_{\mu\nu}^2 \;=\;\int d^4x\;\frac{E\,\beta\,g_1^{\,2}}{4}\;F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

따라서 연속 극한(IR)에서

$$\mathcal L_{U(1)}^{\rm IR} = -\,\frac{Z_1}{4}\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \qquad Z_1 \;\equiv\; E\,\beta\,g_1^{\,2}$$

(주: E는 라프스(재매개 불변)로 gauge fixing \(E\!\to\!1\) 후 \(Z_1=\beta g_1^2\). 물리적 전하 \(e_{\rm phys}\)는 \(Z_1\) 재정규화로 정해지며 통상 \(e_{\rm phys}^{-2}=Z_1\).)

5.3. 소스 결합과 가우스 제약 → 맥스웰 방정식

물질(여기서는 로터장 qq)의 최소결합:

$$\mathcal L_{\rm rotor}=\rho_s\,{\rm Tr}\big[(D_\mu q)^\dagger D^\mu q\big],\qquad D_\mu q=\partial_\mu q+i\,g_Q\,B_\mu\,\hat Q\!\cdot\! q$$

(\(Q^\hat Q\)는 Hopf U(1) 섬유의 생성자에 대응. 구체적 형태는 당신의 규약에 따름.)

전류는

$$J^\mu \;\equiv\; \frac{\partial \mathcal L_{\rm rotor}}{\partial B_\mu} = i\,g_Q\,\rho_s\;{\rm Tr}\!\left[(D^\mu q)^\dagger \hat Q\!\cdot\! q - q^\dagger \hat Q\!\cdot\!(D^\mu q)\right]$$

전체 작용 \(S=\int d^4x\,(\mathcal L_{U(1)}+\mathcal L_{\rm rotor}+\dots)\)을 \(B_\nu\)에 대해 변분:

  $$ \partial_\mu\!\big(Z_1\,F^{\mu\nu}\big)=J^\nu $$

게이지 불변성으로부터 \(\partial_\nu J^\nu=0\)는 자동 성립.

5.4. 비앙키 항등(루프 폐합 규칙 ↔ 균질 방정식)

당신의 루프 폐합 규칙(FCC 위상 양자화, \(\Phi_\ell=2\pi n\))은 격자에서

$$\sum_{\square\in\partial(\text{cube})}\!\theta_{\mu\nu}=2\pi\times\mathbb Z$$

을 강제. IR 연속극한에서 싱귤러리티(모노폴) 없으면

  $$\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0\quad\Leftrightarrow\quad \partial_\mu \tilde F^{\mu\nu}=0$$

$$(\tilde F^{\mu\nu}=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma})$$ Compact U(1) 특성상 위상 결함이 있으면 \(\partial_\mu \tilde F^{\mu\nu}=2\pi k^\nu\) (모노폴 전류) 가능.

5.5. 전하 양자화(루프 감김수 ↔ 전하)

당신이 정의한 감김수 \(n_\ell=\Phi_\ell/(2\pi)\in\mathbb Z\)와 \(Q_\ell=e\,n_\ell\)는, 연속장에서

$$\oint_\ell B\!\cdot\!dl=\int_S F\!\cdot\!dS=\frac{2\pi}{g_1}\,n_\ell$$

과 일관. e와 \(g_1\)의 정확한 수치관계는 선택한 링크 매핑에 따라 \(Z_1\) 재정규화로 흡수(실험적 정합으로 고정).

5.6. 로렌츠 정렬과 매질 상수

당신의 섹션 6(“IR 로렌츠 복원”)에 맞춰 U(1) 분산관계

$$\omega^2=c_{U(1)}^{\,2}k^2+O(a^2k^4),\quad c_{U(1)}\xrightarrow[\rm RG]{}c$$

필요 시 장 재정규화 \(B_\mu\to Z_B^{1/2}B_\mu\)로 \(Z_1 Z_B=1/e_{\rm phys}^2\) 형태로 정리.

5.7. 3-벡터 표현(실험적 연결)

$$\mathbf E^i=F^{i0},\quad \mathbf B^i=\tfrac12\varepsilon^{ijk}F_{jk}$$ \begin{cases} \nabla\!\cdot\!\mathbf E=\rho,\\ \nabla\!\times\!\mathbf B-\partial_t\mathbf E=\mathbf J, \end{cases} \begin{cases} \nabla\!\cdot\!\mathbf B=0,\\ \nabla\!\times\!\mathbf E+\partial_t\mathbf B=0, \end{cases}

여기서 \(\rho=J^0,\ \mathbf J=J^i\). (\(Z_1\neq 1\)이면 \(\mathbf D=Z_1\,\mathbf E,\ \mathbf H=\mathbf B/Z_1\)로 유효매질 표현 가능.)

 

6. 디랙 방정식의 격자→연속 유도

6.1. 세팅: 링크·병렬이동자와 스핀 구조

• U(1): $$U_\mu(x)=e^{i a\, e\, B_\mu(x)}$$
• SU(3): $$G_\mu(x)=e^{i a\, g_s\, C_\mu^A(x)\,T^A}$$ $$(T^A=\lambda^A/2)$$
• 스핀(곡률): $$\Omega_\mu(x)=\exp\!\big(\tfrac{i a}{4}\,\omega_\mu^{ab}(x)\,\sigma_{ab}\big)$$ $$\sigma_{ab}=\tfrac{i}{2}[\gamma_a,\gamma_b]$$
• 테트라드: $$\gamma^\mu(x)=e^\mu_{\ a}(x)\,\gamma^a$$ \(\sqrt{-g}=\det e\)

결합 병렬이동자:

$$\mathcal U_\mu(x)\;=\;U_\mu(x)\,G_\mu(x)\,\Omega_\mu(x)$$

6.2. 격자 페르미온 작용(자율형 형태)

(하이퍼큐빅 표기 사용, FCC→IR에서 동등)

\begin{aligned} S_F &=\int d\tau\,E(\phi)\sum_x a^4\Bigg[ m_0\,\bar\psi_x\psi_x +\frac{1}{2a}\sum_\mu \bar\psi_x\,\Gamma^\mu_x\Big(\mathcal U_\mu(x)\psi_{x+\hat\mu}-\mathcal U_\mu^\dagger(x-\hat\mu)\psi_{x-\hat\mu}\Big) \\[-2pt] &\hspace{6.5em} -\frac{r}{2a}\sum_\mu \bar\psi_x\Big(\mathcal U_\mu(x)\psi_{x+\hat\mu}-2\psi_x+\mathcal U_\mu^\dagger(x-\hat\mu)\psi_{x-\hat\mu}\Big) \Bigg], \end{aligned}

여기서 \(\Gamma^\mu_x \equiv e^\mu_{\ a}(x)\,\gamma^a\), r는 윌슨 항 계수(더블링 제거). \(E(\phi)\)는 재매개 불변 라프스.

6.3. 연속극 전개(\(a\to0\))

링크/스핀 전개:

$$\mathcal U_\mu(x)=\mathbf 1 + i a\big(e B_\mu + g_s C_\mu^A T^A + \tfrac{1}{4}\omega_\mu^{ab}\sigma_{ab}\big)+O(a^2)$$

차분 → 공변도함수:

$$\frac{\mathcal U_\mu(x)\psi_{x+\hat\mu}-\mathcal U_\mu^\dagger(x-\hat\mu)\psi_{x-\hat\mu}}{2a} \;\Rightarrow\; D_\mu\psi \;=\;\partial_\mu\psi + i e B_\mu\psi + i g_s C_\mu^A T^A\psi + \tfrac{1}{4}\omega_\mu^{ab}\sigma_{ab}\psi$$

윌슨 항은 O(a)에서 \(r a\,\bar\psi D^2\psi\)로 가며 IR에서 질량 재정의에 흡수.

따라서

   $$ \boxed{\; \mathcal L_F^{\rm IR} =\sqrt{-g}\;\bar\psi\Big(i\,\gamma^\mu D_\mu - m\Big)\psi,\qquad \gamma^\mu=e^\mu_{\ a}\gamma^a \;}$$

여기서 \(\equiv m_0 + \delta m(r,a,\ldots)\)는 윌슨/진공효과 흡수 후의 유효 질량.

6.4. 변분 → 디랙 방정식

$$  \delta_{\bar\psi}S=0\ \Rightarrow\ \boxed{\;i\,\gamma^\mu D_\mu \psi - m\psi = 0\;} \quad \delta_{\psi}S=0\ \Rightarrow\ \boxed{\;i\,D_\mu \bar\psi\,\gamma^\mu + m\bar\psi = 0\;}$$

6.5. 게이지 전류·보존 법칙

• 전자기 전류: $$J^\mu_{(1)}=\frac{\partial \mathcal L}{\partial B_\mu}= e\,\sqrt{-g}\,\bar\psi\gamma^\mu\psi$$
• 색 전류: $$J^{A\mu}_{(3)}=\frac{\partial \mathcal L}{\partial C_\mu^A}= g_s\,\sqrt{-g}\,\bar\psi\gamma^\mu T^A\psi$$

게이지 불변성으로 \(\nabla_\mu J^\mu_{(1)}=0\), \(D_\mu J^{A\mu}_{(3)}=0\).

6.6. IR 로렌츠 정렬 및 정규화

파동분산 \(\omega^2=c_f^2 k^2 + O(a^2k^4)\)에서 RG에 따라 \(c_f\to c\). 장 재정규화로

$$\mathcal L_F^{\rm IR}=\sqrt{-g}\;Z_\psi\,\bar\psi\big(i\gamma^\mu D_\mu - m\big)\psi,\quad Z_\psi\to 1\ \text{(재정의)}$$

6.7. (선택) 질량 항의 Qaether 기원 매핑

당신의 진공 퍼텐셜/유효압력 섹터(§7)에 연동:

$$m_{\rm eff}=m_0 + y_P\,V_{\rm eff}(x) + y_\Lambda\,\Lambda_{\rm eff} + O(\alpha)$$

여기서 \(y_P,y_\Lambda\)는 모형 의존 결합(루프-잠금/접촉 희소성 \(\alpha\)에 비례 가능). 필요 시 보충 섹션에서 수치 캘리브레이션.

6.8. 격자 구현 주석(더블링·대안)

• 윌슨 페르미온(\(r\neq0\)): 더블링 제거, 약한 축 대칭 파괴(복원은 \(a\to0\)).
• 스태거드(코굿–서신드), 도메인월/오버랩: 축 대칭 보존(또는 Ginsparg–Wilson) 대안. IR에선 동일한 디랙 식으로 수렴.

 

7. 해밀토니안·가우스 제약·양자화(요약)

템포럴 게이지에서 물리 해밀토니안

\begin{aligned} H_{\rm phys}=\int d^3x\big[ &\tfrac{1}{2Z_1}\Pi_T^2+\tfrac{Z_1}{2}B^2 +\tfrac{1}{2Z_2}(\Pi_T^{a})^2+\tfrac{Z_2}{2}(B^{a})^2 \\ &+\tfrac{1}{2Z_s}(\Pi_T^{A})^2+\tfrac{Z_s}{2}(B^{A})^2 +\tfrac{1}{\rho_s}\mathrm{Tr}(\Pi_q\Pi_q^\dagger)+\rho_s\,\mathrm{Tr}[(D_i q)^\dagger(D_i q)] \big]+H_{\rm Coul}^{U1,SU2,SU3}+\int\!d^3x\,V_{\rm eff}. \end{aligned}

• 가우스 제약: $$\partial_i\Pi^i=\rho_{U1}, \quad D_i\Pi^{ai}=\rho^a \quad \mathcal D_i\Pi^{Ai}=\rho^A$$
• 에너지 양의성 확보(프로베니우스·제곱형).

 

8. IR 로렌츠 복원과 “광속(c)” 정렬

격자 분산관계 \(\omega^2=c_{\rm eff}^2 k^2+O(a^2k^4)\)로 \(ka\ll1\)에서 선형화. 섹터별 광속이 RG에서 하나로 정렬되도록( \(c_{U(1)}=c_2=c_3=c_{\rm f}=c\) ) 파라미터를 캘리브레이션. 잔여 위반은 \(\sim O((l_p/\lambda)^2)\).

 

9. 우주상수(진공 퍼텐셜) 섹터

유효압력(퍼텐셜)

$$V_{\rm eff}(x)=Z_P\,p_0\,[1-\alpha(x)\,\overline m(x)]\quad(\alpha\ll1)$$

곡률 배경에서

$$T^{(\rm vac)}_{\mu\nu}=-V_{\rm eff}g_{\mu\nu},\qquad \Lambda_{\rm eff}=\Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,V_{\rm eff}$$

즉 루프-잠금과 접촉 희소성(\(\alpha\))이 우주상수의 원인이며, \(w=-1\) 진공을 형성.

 

10. 정합성 체크(요약)

• 게이지 불변·재매개 불변 유지: \(E(\phi)\) 변분이 해밀토니안 제약을 강제.
• U(1) 정수 전하·SU(3) 색보존: 루프 폐합 규칙으로 가우스/비앙키 항등 성립.
• 양의정부호·안정성: 모든 퍼텐셜 최소를 0으로 정규화, 동역학 항은 제곱형.
• IR 매칭: 표준 Yang–Mills/Dirac(선택)으로 수렴.
• (선택) 이상 일치: 표준모델 표현 배치 시 게이지 이상 상쇄 가능.

 

11. 최종 요약

1. 통합 작용(곡률 배경·IR) \begin{aligned} S_{\rm total}=\int d^4x\sqrt{-g}\Big[ &\tfrac{1}{16\pi G}(R-2\Lambda_{\rm bare}) +\rho_s\,\mathrm{Tr}[(D_\mu q)^\dagger D^\mu q]\\ &-\tfrac{Z_1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\tfrac{Z_2}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\tfrac{Z_s}{4}G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu} - V_{\rm eff} \Big] + S_{\rm gf}+S_{\rm gh}. \end{aligned}
2. 루프 폐합 규칙(실행 규칙)

• FCC 위상 양자화: \(\Delta\phi\in(\pi/6)\mathbb Z\), \(\Phi_\ell=2\pi n\).
• U(1) 전하: \(Q=e\,n\), 소진폭 \(\Rightarrow\) Maxwell.
• SU(3) 색: 플라켓 순환열의 \(D_4\) 궤도 3종 \(\leftrightarrow\) \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\), 역방향=반색, Y-결합에서 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\).
• SU(2)/SU(3) 곡률: 윌슨 루프-플라켓으로 정의, 비앙키 정합.
• 루프-잠금: \(\Lambda_\ell(1-\cos\Phi_\ell)\)로 짧은 루프 우선 폐합·안정화.