[v1.3.5] Qaether에서 정의한 순환열 기반 쿼크 정의

1) 루프(플라켓) 포텐셜: 정의와 값

루프 결합만 남긴 정적 퍼텐셜:

$$V_{\text{loop}}(\square) =\underbrace{\Lambda_\ell\sum_{e\in\square}(1-\cos\theta_e)}_{\text{U(1) 위상 잠금}} +\underbrace{\frac{1}{2g_s^2}\|G_\square-\mathbb I_3\|_F^2}_{\text{SU(3) Wilson(플라켓)}}, \quad \theta_e=\frac{\pi}{6}\,\zeta_e.$$

세 대표 순환열(계열)에 대해 플라켓 하나당 값:

• U(1) 항$$\begin{aligned} (0,2,4,6)&:\;V_{U(1)}=4\,\Lambda_\ell,\\ (0,1,5,6)&:\;V_{U(1)}=4\,\Lambda_\ell,\\ (0,3,4,5)&:\;V_{U(1)}=\tfrac{7+\sqrt3}{2}\,\Lambda_\ell\approx 4.3660\,\Lambda_\ell. \end{aligned}$$
• SU(3) 항(최소 Cartan+퍼뮤테이션 앤자츠)$$(0,2,4,6):\;V_{SU(3)}=0,\qquad (0,1,5,6),(0,3,4,5):\;V_{SU(3)}=\frac{3}{g_s^2}$$

정팔면체는 직교 4-사이클 3개(플라켓 3개)의 합이므로,

$$E_{\text{octa}}=3\,V_{U(1)}(\square)+3\,V_{SU(3)}(\square)$$

2) 맛(u,d,s) 결정 (에너지 서열)

위 값을 합치면 정팔면체 하나(= 3루프)의 총 에너지는

$$\boxed{ \begin{aligned} E(uuu)&=3\cdot 4\Lambda_\ell + 3\cdot 0 =\;12\,\Lambda_\ell,\\[2mm] E(ddd)&=3\cdot 4\Lambda_\ell + 3\cdot \tfrac{3}{g_s^2} =\;12\,\Lambda_\ell+\tfrac{9}{g_s^2},\\[2mm] E(sss)&=3\cdot \tfrac{7+\sqrt3}{2}\Lambda_\ell + 3\cdot \tfrac{3}{g_s^2} =\;\tfrac{21+3\sqrt3}{2}\Lambda_\ell+\tfrac{9}{g_s^2}. \end{aligned}}$$

따라서 자연스러운 매핑은

$$\boxed{u=(0,2,4,6)\;<\;d=(0,1,5,6)\;<\;s=(0,3,4,5)}$$

(모든 \(\Lambda_\ell>0,\;g_s^2>0\)).
해석: SU(3) 항이 d,s를 u보다 올리고, U(1) 항이 s를 d보다 추가로 올려 u<d<s 서열이 확정됩니다. (\(\Lambda_\ell\to 0\) 극한에선 d,s가 축퇴.)

3) 전하: 결합선분당 \(e/6\) 규칙

한 루프(플라켓)를 쿼크로 보고, 결합선분 한 개마다 \(e/6\)을 부여하면 다음의 유효 선분수로 표준 전하가 복원됩니다:

$$N_{\rm eff}\big((0,2,4,6)\big)=+4,\qquad N_{\rm eff}\big((0,1,5,6)\big)=N_{\rm eff}\big((0,3,4,5)\big)=-2$$

따라서

$$\boxed{ Q_u=+\tfrac{2}{3}e,\qquad Q_d=-\tfrac{1}{3}e,\qquad Q_s=-\tfrac{1}{3}e }$$

(루프 지향 반전 → 반쿼크 전하 부호 반전.)

정팔면체 바리온(동계열 3순환열 → 색중성) 전하:

$$\boxed{ Q(uuu)=+2e,\quad Q(ddd)=-e,\quad Q(sss)=-e }$$

혼합 맛도 합산으로 즉시 계산 가능(예: \(uud\to +e\), \(uds\to 0\) 등).

4) 스핀: 대칭성으로 고정

• 루프 하나는 유효 스핀 1/21/2.
• 정팔면체(3루프)는 바닥 공간 모드에서 \(L\simeq 0\).
• 색은 완전 반대칭(\(\epsilon_{abc}\)), 맛이 같고(S), 공간도 S파(대칭) → 스핀은 완전 대칭이어야 하므로

$$\boxed{S(uuu)=S(ddd)=S(sss)=\tfrac{3}{2}}$$

(혼합 맛은 \(S=\tfrac12,\tfrac32\) 모두 가능; 결합 계수 J·chirality 배치로 바닥 상이 정해짐.)

5) 요약(한눈에)

• 맛 매핑: u=(0,2,4,6), d=(0,1,5,6), s=(0,3,4,5).
• 총 에너지:$$E(uuu)=12\Lambda_\ell,\quad E(ddd)=12\Lambda_\ell+\tfrac{9}{g_s^2},\quad E(sss)=\tfrac{21+3\sqrt3}{2}\Lambda_\ell+\tfrac{9}{g_s^2}$$
• 전하:$$Q(uuu)=+2e,\quad Q(ddd)=-e,\quad Q(sss)=-e$$
• 스핀: 모두 S=3/2.

6) 비고(감도·확장)

• dd–ss 분리는 U(1) 루프 잠금(\(\Lambda_\ell\))이 정합니다.
• 루프-루프 상호작용(예: \(-J\sum_{\langle\alpha,\beta\rangle}\sigma_\alpha\sigma_\beta\))이나 약한 비등방성이 들어가면 미세 스플리팅이 생길 수 있으나, 위 서열·전하·스핀 결론은 변하지 않음.
• 혼합 바리온\((uud, uds, …)\) 전체 스펙트럼은 위 공식을 모듈식으로 바로 확장 가능.