[v1.3.5] Qaether에서 본 바리온의 기하학적 구조

0. 핵심 요약

• 링크 위상차 양자화: 모든 링크 위상은 \(\Delta\phi_{ij}=m_{ij}\,\pi/6\) (정수 \(m_{ij}\))로 양자화되며, 격자의 위상군은 \(U(1)/\mathbb Z_{12}\simeq C_{12}\). 짧은 루프(△, □)가 이 조건을 동역학적으로 강제한다.
• 플라켓 플럭스 부문 고정: 한 플라켓의 네 링크 정수 \(\{n_i\}\)가 \(\sum n_i=12\)인 부문을 고정한다(정수합, not mod). 이 부문에서만 미세배치(순환열)가 물리적 라벨로 남는다.
• 순환열 3종 = 색 3종: 네 값이 서로 다를 때, 플라켓을 따라 읽은 24개의 원순열을 정사각 판의 디헤드럴 대칭 \(D_4\)(회전·반사)로 나누면 정확히 3개의 동치류(궤도)가 남고 이것을 r,g,b 색으로 정의한다(반전은 반색에 대응).
• SU(3) 임베딩과 색중성: 세 동치류를 가중벡터 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 고정 매핑하면 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)이 자동 성립(Y-정합), 바리온 색중성이 구현된다.
• 정팔면체 전역 임베딩(유일성 필터): 정팔면체의 12개 모서리를 3개의 직교 4-사이클로 덮으면서(서로 공유 모서리 일관성·면 경계합 보존) 같은 플라켓 집합을 x,y,z 축 3루프에 배치할 수 있는 대표 집합은 \(\boxed{(0,2,4,6)},\quad \boxed{(0,1,5,6)},\quad \boxed{(0,3,4,5)}\)뿐이다. (다른 집합은 전역 공유 제약과 충돌하여 배치 불가.)
• 바리온(스핀 3/2) 구성: 같은 집합에서 나온 서로 다른 3개 순환열(= 3색)을 x,y,z의 직교 루프로 놓고 세 루프의 chirality(화살표)를 정렬하면 \(\tfrac12\otimes\tfrac12\otimes\tfrac12 \to S=\tfrac{3}{2}\) 사중항이 선택된다(한 루프 뒤집으면 \(S=\tfrac12\)).
• IR 정합성: 격자–연속 대응에서 Yang–Mills와 로렌츠 대칭이 장파장에 복원된다.

 

1. 위상·플럭스 가정과 그 물리적 근거

1.1 위상 양자화 \(\pi/6\)

삼각/사각 루프 동시 제약과 공유-선분 선형관계로 최소 위상단위가 \(\theta_0=\pi/6\)이 도출되고, 전체는 \(C_{12}\) 순환군으로 정리된다. 동역학적 루프-잠금 항(\(\Lambda_\ell\))이 이 정량화를 실제로 강제한다.

1.2 플라켓 플럭스 부문

플라켓 네 값의 정수합을 \(\sum n_i=12\)로 고정한다(정수합, mod 아님). 이 고정된 \(2\pi\) 플럭스 부문에서만 미세배치 종류가 에너지 분리되어 관측적 라벨로 남는다.

 

2. 순환열 3종과 색 3종

2.1 디헤드럴 궤도 = 색

네 값 \(a<b<c<d\)가 서로 다를 때, 원순열 24개를 \(D_4\)로 나누면 정확히 3개의 궤도(동치류)가 남는다. 이 3개를 (r,g,b)로 둔다. 반전(방향 뒤집기)은 반색에 매핑된다.

2.2 SU(3) 정적 임베딩·Y-정합

세 동치류를 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 배정하면

$$\omega_1+\omega_2+\omega_3=0,\qquad \alpha_1=\omega_1-\omega_2,\quad \alpha_2=\omega_2-\omega_3$$

가 자연스레 성립하고, 삼발 결합(Y-정합)에서 보존식으로 작동한다.

 

주의: 네 값 중 중복이 생기면 궤도 수가 3→2→1로 붕괴하므로(“무색/부분파손”), 바리온 구성에는 부적합.

 

3. 정팔면체 전역 임베딩과 허용 집합 3개

3.1 문제 설정

정팔면체 12 모서리를 서로 직교하는 4-사이클 3개(x,y,z)로 분해하고, 각 사이클의 플라켓 집합을 같은 집합 \(\{n_i\}\)에서 취하되, 각 루프는 동일 집합의 서로 다른 순환열(= r,g,b)로 라벨링한다. 모든 정점에서 3개 모서리의 위상이 일관되고, 모든 면(삼각)의 경계합이 보존되어야 한다(정수합 보존). (플럭스·Y-정합의 전역판)

3.2 결과(대표 집합)

전역 공유 제약을 통과하는 대표 집합은

$$\boxed{(0,2,4,6)},\quad \boxed{(0,1,5,6)},\quad \boxed{(0,3,4,5)}$$

뿐이다. 다른 후보(예: (1,2,3,6), (1,2,4,5))는 면 경계합·정점 일관성·교차 공유 조건과 충돌한다.
(이 결론은 국소 분류(3색) 위에 전역 임베딩 필터를 적용해 얻어지는 결과로, 순환열 3종 정의와 양립한다.)

 

직관: 하나의 4-사이클을 고정하면 공유 정점의 나머지 두 사이클 위상이 정수 간격\((±1,±2,±3,±4)\) 규칙에 의해 강제 전파되고, 모순 없는 폐합이 가능한 경우만 위 세 집합으로 귀결된다.

 

4. 바리온 해석과 스핀 \(S=\tfrac{3}{2}\)

4.1 구성 규칙

• 한 집합(예: (0,2,4,6))을 고정한다(“같은 형태”).
• 그 집합에서 나오는 서로 다른 3개 순환열을 색 (r,g,b)로 택해 x,y,z 직교 루프에 배치한다.
• 세 루프의 화살표(위상 진행 방향)를 같은 chirality로 정렬한다.

이때 바닥 공간 모드(L≃0L\simeq 0)에서

$$\tfrac12\otimes\tfrac12\otimes\tfrac12 \;=\; \underbrace{\tfrac32}_{\text{완전 대칭 사중항}}\;\oplus\;\tfrac12\;\oplus\;\tfrac12$$

가 되며, 정렬 덕분에 \(S=\tfrac32\)가 선택된다(루프 하나라도 반전하면 \(S=\tfrac12\)).

4.2 색중성 확인

세 색의 가중벡터가 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)을 만족하므로(§2.2), 전체가 색중성이 된다.

 

5. 라그랑지안/동역학과 IR 정합성

5.1 자율형 전체 작용과 루프-잠금

재매개 불변 작용 \(\widetilde{\mathcal L}\)에는 SU(2)/SU(3) 플라켓 항과 루프-잠금(\(\Lambda_\ell\))이 포함되며, 변분식은 회전자 방정식·링크 방정식으로 정리된다. 루프-잠금이 바로 §1의 위상 양자화를 물리적으로 강제한다.

5.2 연속극 한계

윌슨 플라켓 전개로 IR에서 Yang–Mills 라그랑지안이 복원된다. 로렌츠 대칭도 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\) 정확도로 복원된다.

 

6. 정합성 체크리스트 (요약)

1. 위상 양자화 \(\Delta\phi=\pi/6\,\mathbb Z\): 증명·동역학 강제 확인.
2. 플럭스 부문 \(\sum n_i=12\) 고정: 색 라벨이 관측층위로 남는 전제.
3. 순환열 3종 = 색 3종(\(D_4\) 궤도): 정의·SU(3) 임베딩·Y-정합 일치.
4. 정팔면체 전역 임베딩: 허용 집합 3개만 잔존(국소 분류 + 전역 필터).
5. 바리온 스핀: chirality 정렬 시 \(S=\tfrac{3}{2}\), 반전 시 \(S=\tfrac{1}{2}\).
6. IR 일치: YM 라그랑지안·로렌츠 복원.

 

7. 국소 분류와 전역 임베딩

정리 1 (국소 색 분류). \(\sum_{\Box}n_i=12\) 부문에서 네 값이 서로 다른 플라켓의 원순열은 \(D_4\) 작용으로 정확히 3개 동치류로 분해되며, 이를 색 (r,g,b)로 정의할 수 있다. 반전은 반색에 대응한다.

정리 2 (정팔면체 전역 임베딩). 정팔면체 모서리 12개를 서로 직교하는 4-사이클 3개로 분해하고, 각 사이클을 같은 플라켓 집합의 서로 다른 순환열(3색)로 라벨링할 때, 정점/면 공유 일관성을 만족하는 대표 집합은 (0,2,4,6), (0,1,5,6), (0,3,4,5)뿐이다.
증명 스케치: 한 4-사이클을 고정하면 공유 정점에서 인접 사이클의 두 모서리값이 선형 제약으로 고정(△/□ 경계합·공유-선분 제약). 전역 순환 시 모순 없는 폐합을 허용하는 경우만 위 세 집합으로 수렴; 기타 집합은 어느 삼각면에서 정수합이 무너지거나 공유 링크가 충돌.

 

8. 물리적 함의와 다음 단계

• Δ/Ω형 바리온의 토폴로지적 구현: 세 대표 집합 각각이 x,y,z 루프에 의해 스핀 3/2 바리온 상태를 이룬다(루프 반전 시 스핀 1/2 이탈).
• 글루온 동역학의 도입: 정적 임베딩 위에 \(e^{iC\cdot H}e^{-ig_s A}\) 형의 혼합을 붙이면 비대각 글루온까지 활성화(색-게이지 상호작용).
• IR 대응과 관측량: 연속극에서 표준 QCD와 스핀/색 구조가 일관되므로 산란/분광 관측과의 직접 비교가 가능.
• 검증 실험 기획: (i) 소형 폐루프 결합의 위상 잠금 갭 추정, (ii) 루프 chirality 반전 전이의 임계장, (iii) 전역 임베딩 허용 집합에 따른 저에너지 유효 상수 차이(미세 스펙트럼 변화).