[v0.6] Qaether 수학모델

1. 공간 구조 및 상태 변수

1.1 격자 구조

• 기본 구조는 플랑크 길이 \(\ell_p\) 스케일의 이산 FCC 격자
• 허용 결합 방향:\(D_{\mathrm{FCC}} = \{ \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{12} \} \subset \mathbb{R}^3,\quad |\vec{d}_k| = 1\)

 

1.2 Qaether 상태 함수

각 Qaether ii의 상태:

$$\Xi_i = (S_i,\ \vec{Z}_i,\ \phi_i), \quad S_i \in \{0,1\},\ \vec{Z}_i \in \mathbb{S}^2,\ \phi_i \in [0, 2\pi)$$

• \(S_i\): 활성 여부
• \(\vec{Z}_i\): 내재 회전축
• \(\phi_i\): 위상 변수 (관측 불가, 위상차만 관측 가능)

 

1.3 결합 조건

두 Qaether \(i,j\)가 결합하려면:

• \(S_i = S_j = 1\)
• \(\vec{r}_{ij}/\ell_p \in D_{\mathrm{FCC}}\)
• \(\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \tfrac{\pi}{3}\)

 

2. 결합 구조 및 방향

• 결합 존재:$$A_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{결합 조건 만족 시} \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$$
• 결합 방향 (쌍간 속성): $$\vec{d}_{ij} = \frac{\vec{r}_{ij}}{\ell_p},\quad \vec{d}_{ji} = -\vec{d}_{ij}$$

 

3. 해밀토니안 구조

$$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{\text{align}} + \mathcal{H}_{\text{phase}} + \mathcal{H}_{\text{void}}$$

3.1 정렬 에너지

$$f_{ij} = |\vec{Z}_i \cdot \vec{d}_{ij}| \cdot |\vec{Z}_j \cdot \vec{d}_{ji}|$$ $$\mathcal{H}_{\text{align}} = \epsilon_z \sum_{(i,j)} A_{ij}(1 - f_{ij})$$

 

3.2 위상 퍼텐셜 에너지

$$\mathcal{H}_{\text{phase}} = \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left[1 - \cos(6(\phi_i - \phi_j))\right]$$

 

3.3 Void 기반 결합 에너지

• 셀 내 결합 수: $$m_c = \sum_{(i,j) \in E(c)} A_{ij}$$
• Void 팽창량: $$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left( 1 - \frac{m_c}{12} \right)^k$$
• Void 에너지: $$\mathcal{H}_{\text{void}} = \kappa_v \sum_c \left[\Delta V(m_c)\right]^2$$

 

4. 유효 시간 정의 (정규화 및 척도 불변성 확보)

$$\boxed{ \tau = \int \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{(i,j)} \left( \frac{\delta \phi_{ij}}{\phi_0} \right)^2 }\, d\delta\tau } \quad \text{with } \phi_0 = \tfrac{\pi}{3}$$

• \(\tau\): 정규화된 위상 변화의 누적량
• \(N = |E|\): 결합 수
• 척도 불변성 보장

 

5. 위상 엔트로피 및 동역학 연결

$$S(\tau) = -\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_6} p_\alpha(\tau) \ln p_\alpha(\tau)$$ $$\frac{dS}{d\tau} = \alpha \left(1 - \frac{S}{S_{\max}}\right), \quad S_{\max} = \ln 6$$

→ S자형 진화 곡선, 동기화 → 포화

 

6. 위상 진동자 동역학

위상 진동자 방정식:

$$\frac{d^2 \phi_i}{d\tau^2} = 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i))$$

정규 모드:

$$\lambda_n = n \ell_p,\quad \omega_n = \frac{2\pi c_\phi}{n \ell_p}$$

 

7. 복소 파동함수 \(\psi_i(\tau)\) 정의 및 진화

$$\psi_i(\tau) := A_i(\tau) \cdot e^{i\phi_i(\tau)}$$ $$\boxed{ \frac{d^2 \psi_i}{d\tau^2} \approx - \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 \psi_i + i \cdot 6\epsilon_\phi \left( \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i)) \right) \psi_i }$$

• \(A_i(\tau)\): 국소 결합 안정성 또는 정렬 함수로 선택 가능
• 위 식은 local wave-like 진화 방정식을 구성

 

8. 곡률 및 질량 대응

• Void 밀도장: $$\rho_v(\vec{x}) = \frac{1}{V_{\text{cell}}} \sum_{c \ni \vec{x}} \Delta V(m_c)$$
• 곡률 식 (비선형 확장 포함): $$R(\vec{x}) = R_0 + \alpha_1 \rho_v + \alpha_2 \rho_v^2$$

 

결론

구성 요소 해석

시간 \(\tau\)	위상 변화의 정규화 누적량 (관계적 시간)
파동함수 \(\psi_i\)	복소 위상 진폭으로 정의된 국소 상태
진화방정식	파동-진동 혼합 구조, 위상차로 유도
결합과 곡률	Void 팽창량이 공간 결핍과 곡률 생성으로 이어짐