라그랑지안 및 작용 원리 기반 재정식화

라그랑지안 및 작용 원리 기반 재정식화

0. 목표

• 위상 진동자 \(\phi_i(\tau)\)  또는 복소 파동함수 \(\psi_i(\tau)\) 에 대해 작용 원리 (Action Principle) 기반의 동역학 정식화
• 위상 차 기반 결합 포텐셜을 포함한 라그랑지안 \(\mathcal{L}\)  구성
• 보존 법칙, 에너지 흐름, 위상 재배열의 정보론적 의미 부여

 

1. 상태 변수 재확인

• Qaether 노드 i: 위상 \(\phi_i(\tau)\) , 복소 파동함수 \(\psi_i(\tau) = A_i e^{i\phi_i}\)
• 결합 행렬: \(A_{ij} \in \{0,1\}\)
• 위상차 양자화 조건은 Hamiltonian에서 강제됨

 

2. 위상 진동자 라그랑지안

2.1 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\phi\) 정의:

$$\boxed{ \mathcal{L}_\phi = \sum_i \frac{1}{2} I_\phi \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 - \epsilon_\phi \sum_{(i,j) \in E} A_{ij} \left[1 - \cos(6(\phi_i - \phi_j))\right] }$$

• \(I_\phi\): 위상 관성 (effective inertia)
• 포텐셜 항은 Z₆ 위상 양자화에 대한 최소 에너지 조건을 반영

 

2.2 작용 \(\mathcal{S}_\phi\)

$$\mathcal{S}_\phi[\phi] = \int d\tau\, \mathcal{L}_\phi(\phi, \dot{\phi})$$

→ 변분 원리로부터 운동 방정식 유도:

$$\frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial \mathcal{L}_\phi}{\partial \dot{\phi}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}_\phi}{\partial \phi_i} = 0 \Rightarrow I_\phi \frac{d^2 \phi_i}{d\tau^2} = 6 \epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i))$$

✔️ 기존 위상 진동 방정식과 정확히 일치

 

3. 복소 파동함수 기반 유사 라그랑지안

복소 파동함수 \(\psi_i = A_i e^{i\phi_i}\)를 위상 진동자 기반으로 정리하면:

$$\boxed{ \mathcal{L}_\psi \approx \sum_i \left| \frac{d\psi_i}{d\tau} \right|^2 + i \cdot 6 \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i)) \cdot |\psi_i|^2 }$$

• 이는 wave-like 작용을 위한 effective Lagrangian
• 실제 물리 파동함수의 양자화 조건으로 확장 시, \(\psi_i\)는 상태 벡터로 승격 가능

 

4. Void/결합 손실 기반 작용 항 추가

4.1 Void 팽창항 정리:

셀 내 결합 수 \(m_c\) 기준:

$$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left( 1 - \frac{m_c}{12} \right)^k$$

→ 작용 항:

$$\mathcal{S}_{\text{void}} = - \int d\tau \, \kappa_V \sum_c \left[ \Delta V(m_c) \right]^2$$

✔ 결합 손실에 따라 공간결핍 에너지가 커지며, 곡률 생성과 연결됨

 

5. 위상 재배열 작용 또는 엔트로피 흐름 해석

정규화된 위상 변화율을 정의:

$$\mathcal{F}(\tau) := \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{(i,j)} \left( \frac{\delta\phi_{ij}}{\phi_0} \right)^2 } \Rightarrow \tau = \int \mathcal{F}(\tau) d\tau$$

이때 "위상 정보 흐름"에 대한 정보론적 작용은 다음과 같이 정의 가능:

$$\mathcal{S}_{\text{info}} = \int d\tau\, \left( -S(\tau) + \beta \cdot \mathcal{F}(\tau)^2 \right)$$

• \(S(\tau)\): 위상 엔트로피
• \(\mathcal{F}(\tau)^2\): 정보 변화율
• \(\beta\): 시스템 정보 흐름 비용 계수

 

최종 전체 작용 정리

$$\boxed{ \mathcal{S}_{\text{Qaether}} = \int d\tau \left[ \sum_i \frac{1}{2} I_\phi \dot{\phi}_i^2 - \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left[1 - \cos(6\Delta\phi_{ij}) \right] - \kappa_V \sum_c \left[ \Delta V(m_c) \right]^2 + \beta \cdot \mathcal{F}(\tau)^2 - S(\tau) \right] }$$

 

요약표

구성 요소 라그랑지안 항 의미

위상 운동	$$\frac{1}{2} I_\phi \dot{\phi}_i^2$$	위상 변화 관성
위상 결합	$$-\epsilon_\phi [1 - \cos(6\Delta\phi)]$$	Z₆ 결합 안정성
Void 응력	$$-\kappa_V [\Delta V(m_c)]^2$$	결합 손실 → 곡률 기여
위상 정보 흐름	$$\beta \cdot \mathcal{F}^2 - S$$	시간 정의 및 정보 보존 해석

 

이제 우리가 정립한 Qaether 이론의 작용 원리 기반 수식에 대해 Noether 정리를 적용하고,
그 결과로서 시간 변환 불변성 ↔ 정보 흐름 보존 법칙이 어떻게 연결되는지를 정식화하겠습니다.

 

Noether 정리 적용: 시간 변환 불변성과 정보 흐름 보존

 

1. 복습: Noether 정리의 핵심 구조

Noether 정리는 “작용이 특정 연속 대칭에 대해 불변이면 대응하는 보존량이 존재한다”는 원리입니다.

시간 변환 대칭:

$$\tau \rightarrow \tau + \delta\tau \Rightarrow \text{라그랑지안 } \mathcal{L} \text{ 불변}$$

⇒ 대응 보존량: 시스템의 에너지 또는 시간 흐름 관련 양

 

2. Qaether 작용 구조 (재정의)

우리는 다음과 같은 작용을 설정했습니다:

$$\mathcal{S}_{\text{Qaether}} = \int d\tau \left[ \sum_i \frac{1}{2} I_\phi \dot{\phi}_i^2 - \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left[1 - \cos(6\Delta\phi_{ij}) \right] - \kappa_V \sum_c \left[ \Delta V(m_c) \right]^2 + \beta \cdot \mathcal{F}(\tau)^2 - S(\tau) \right]$$

여기서:

• \(\mathcal{F}(\tau)^2\): 위상 변화율의 평균 제곱
• \(S(\tau)\): 위상 엔트로피
• 이 둘은 관계적 시간 흐름의 정보론적 표현

 

3. 시간 이동 대칭 적용 (Noether의 조건)

가정:
\(\mathcal{S}_{\text{Qaether}}\)는 \(\tau \to \tau + \delta\tau\) 불변 → 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않음

적용:

• 시간 변환에 따라 \(\delta \tau\) 변화 → \(\phi_i(\tau) \to \phi_i(\tau + \delta\tau)\)
• \(\mathcal{L}\)이 시간에 명시적 의존이 없으므로,
  Noether 보존량은:$$\mathcal{E} := \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}_i} \cdot \dot{\phi}_i - \mathcal{L} \quad \text{(정보 흐름 보존량)}$$

 

4. 정보 흐름 보존량 \(\mathcal{E}_{\text{info}}\) 정리

$$\mathcal{E}_{\text{info}} = \sum_i I_\phi \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 + \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left[1 - \cos(6\Delta\phi_{ij})\right] + \kappa_V \sum_c \left[ \Delta V(m_c) \right]^2 - \beta \cdot \mathcal{F}(\tau)^2 + S(\tau)$$

 

5. 해석: "정보 흐름 보존 법칙"

Noether 보존량 해석:

• 이 보존량은 기존의 물리적 에너지와는 달리,
  위상 변화량 + 위상 정렬 에너지 + 공간 결핍 + 정보 엔트로피가 혼합된 양

의미:

• 이론의 핵심 철학인 **“시간은 위상 변화량의 누적”**이라는 전제하에,
  시간 이동 대칭 → 정보의 흐름 양이 일정함을 뜻함

 

결론: 정보론적 Noether 보존 법칙

Qaether 이론은 관계적 시간 개념을 채택하므로, Noether 정리는 시간 이동 불변성에 대해 에너지 대신 “위상 정보 흐름량”이 보존됨을 보장한다.

보존 법칙 정식:

$$\boxed{ \mathcal{E}_{\text{info}} = \text{const} } \quad \text{where } \mathcal{E}_{\text{info}} \sim \text{(위상 변화율)} + \text{(결합 안정성)} + \text{(Void 손실)} + \text{(정보 엔트로피)}$$

 

정리 표

대칭 대응 보존량 해석

$$\tau \to \tau + \delta\tau$$	$$\mathcal{E}_{\text{info}}$$	위상 정보 흐름의 총량 보존
$$\phi_i \to \phi_i + \text{const}$$	위상 모드 운동량 (정렬성)	위상 동기화 대칭
결합 수 변화 없음	Void 에너지 고정	격자 응력 보존

 

지금까지 구축한 작용

$$\mathcal{S}_{\text{Qaether}}[\phi]$$

를 기반으로, **위상 진동자 필드 \(\{\phi_i(\tau)\}\)**에 대한 **경로적분(path integral)**을 정식화하면,
Qaether 이론의 확률론적 양자 동역학을 정의할 수 있습니다.

이 작업은 사실상 위상 격자계의 통계장 이론 또는 준양자장 이론으로의 진입을 의미합니다.

 

Qaether 작용 기반의 Path Integral 정식화: 위상 요동 분석

 

1. 목적

목표: \(\phi_i(\tau)\) 위상장 구성의 모든 가능성을 통합적으로 고려하는 경로 적분을 구축

$$\mathcal{Z} = \int \mathcal{D}[\phi]\, e^{- \mathcal{S}_{\text{Qaether}}[\phi]/\hbar_{\text{eff}}}$$

여기서:

• \(\phi = \{ \phi_i(\tau) \}_{i=1}^N\): 위상 네트워크 구성 전체
• \(\hbar_{\text{eff}}\): 위상 네트워크의 유효 양자 요동 파라미터
  • 예: \(\hbar_{\text{eff}} \sim \ell_p^2 / \tau\) 또는 \(1/S(\tau)\)

 

2. 입력 작용 재정리

기준 작용:

$$\boxed{ \mathcal{S}[\phi] = \int d\tau \left[ \sum_i \frac{1}{2} I_\phi \dot{\phi}_i^2 + \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left(1 - \cos(6\Delta\phi_{ij})\right) + \kappa_V \sum_c \left[ \Delta V(m_c) \right]^2 - \beta \cdot \mathcal{F}(\tau)^2 + S(\tau) \right] }$$

• kinetic term: 위상장 운동
• interaction: 결합 위상 에너지
• void 응력: 결합 붕괴 항
• 정보 흐름 및 엔트로피 항

 

3. 경로 적분 정의

$$\boxed{ \mathcal{Z} = \int \prod_i \mathcal{D}\phi_i(\tau) \cdot \exp\left( - \frac{1}{\hbar_{\text{eff}}} \mathcal{S}[\phi] \right) }$$

• \(\mathcal{Z}\): 전체 위상장 구성을 통합한 상태 공간 분배함수
• 고전극한: \(\hbar_{\text{eff}} \to 0\) → 정칙한 위상 궤적 우세
• 양자극한: \(\hbar_{\text{eff}} \gg 1\) → 요동 높은 상태 다수 기여

 

4. 물리적 의미 해석

구성 의미

$$\mathcal{D}\phi_i(\tau)$$	위상장의 시간적 궤적들 전체
$$e^{- \mathcal{S}/\hbar_{\text{eff}}}$$	각 궤적의 확률 가중치
Z\mathcal{Z}	위상 네트워크의 통계적 상태합

→ 이 정의는 위상 진동 네트워크의 상태 집합 전체를 통합적으로 탐색하는 기반

 

5. 평균 위상장 구성의 기대값

예: 기대 위상 차

$$\langle \Delta \phi_{ij} \rangle = \frac{1}{\mathcal{Z}} \int \mathcal{D}[\phi] \, (\phi_i - \phi_j) \cdot \exp\left( - \frac{1}{\hbar_{\text{eff}}} \mathcal{S}[\phi] \right)$$

또는 위상 엔트로피의 기대 경로:

$$\langle S(\tau) \rangle = \frac{1}{\mathcal{Z}} \int \mathcal{D}[\phi] \, S(\tau; \phi) \cdot \exp\left( - \frac{1}{\hbar_{\text{eff}}} \mathcal{S}[\phi] \right)$$

 

6. Path Integral 시뮬레이션 전략

• \(\phi_i(\tau)\)를 이산 시간 격자 위에서 정의: \(\tau_0, \tau_1, ..., \tau_T\)
• \(\phi_i(\tau_k)\)에 대해 Metropolis-Hastings 또는 Langevin 샘플링 적용
• 확률 분포:\(\mathbb{P}[\phi] \propto e^{- \mathcal{S}[\phi]/\hbar_{\text{eff}}}\)

→ 이산 경로 공간에서의 위상장 진화 확률 분포를 샘플링 가능

 

결론

경로 적분을 통해 위상 네트워크 전체 상태의 통계적-양자적 동역학이 정식화되었으며,
이로부터 기대 상태, 상 전이, 동기화 임계점, 요동 세기 등을 계산할 수 있는 기반이 마련됩니다.