Qaether Math Model based on v0.4

Qaether: 전체 수학 모델 정리

 

1. 기본 설정

• 공간-시간: FCC 격자 (Face-Centered Cubic lattice), 격자 간격 \(\ell_p\) (플랑크 길이)
• 시간 이산화: 최소 시간 간격 \( T_{\min} = \ell_p / c_v \)
• 기본 변수: 스핀 위상 \( \phi_i \in [0,2\pi) \) (셀 \(i\)), Void 부피 편차 \( V_i \) (셀 \(i\))

 

2. 미시 Hamiltonian (1차 원리)

셀 에너지: \[ \mathcal{H} = - J \sum_{\langle ij\rangle} \delta_{S_i, -S_j} + \frac{1}{2} K \sum_i V_i^2 \]

• \(J\): 스핀 결합 강도 (플랑크 단위)
• \(K = 4J/\alpha^2\): Void 탄성 상수
• \(\alpha\): 결합 실패 시 생성되는 최소 Void 비율 

 

 3. 매크로 상수 유도

상수	내부 유도식
플라켓 계수	\( \beta \) | \(\beta = \dfrac{J}{\pi^2}\)
Void 업데이트 계수	\( \gamma_v \) | \(\gamma_v = \alpha\)
질량 변환 상수	\( \kappa_m \) | \(\kappa_m = \dfrac{4J}{\alpha^2}\)
곡률 변환 상수	\( \kappa_R \) | \(\kappa_R = \pi \kappa_m = \dfrac{4\pi J}{\alpha^2}\)

 

 

 4. 결합 규칙

• 인접 셀 \(i, j\) 간 결합 조건: \[ \delta^{\text{couple}}_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{if}\quad S_i = -S_j\quad \text{and}\quad \text{회전축 직교}\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
• 한 셀당 최대 결합 수: 4개 

 

 5. Void 동역학

• Void 부피 업데이트: \[ V_{i}(n+1) = min(V_{cell}, V_{i}(n) + \gamma_v \max(f_i - f_{\text{cut}}, 0)) \]
• \(f_i\): 실제 결합 실패 수
• \(f_{\text{cut}} = 8 + \alpha\delta_{S_i,0}\)  (기준 실패수)
• Void 부피는 항상 \(V_{\text{cell}}\)을 초과할 수 없음.

 

 6. 질량과 곡률

• 셀 질량: \[ m_i = \kappa_m V_i \]
• 미시적 곡률 텐서 (셀 \(i\)): \[ \mathcal{R}_{\mu\nu}^{(i)} = \kappa_R \frac{V_i}{V_{\text{cell}}} \sum_{k=1}^{12} n_\mu^{(k)} n_\nu^{(k)} \]
• 여기서 \(n^{(k)}\)는 FCC 격자 12개 방향 단위벡터. 

 

 7. 코스그레인 → 아인슈타인 방정식 복원

• 복셀 \(m\) 안에서: \[ \mathcal{R}_{\mu\nu}^{(m)} = \frac{1}{N_m} \sum_{i\in \text{Voxel}_m} \mathcal{R}_{\mu\nu}^{(i)} \]
• 아인슈타인 텐서: \[ G_{\mu\nu}^{(m)} = \mathcal{R}_{\mu\nu}^{(m)} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \mathcal{R}^{(m)} \]
• 에너지-운동량 텐서: \[ T_{\mu\nu}^{(m)} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & P & 0\\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix} ,\quad P = \frac{1}{3}\rho c^2 \]
• 최종 복원: \[ G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu} \] 

 

 8. 격자 전자기학 (U(1) 게이지)

• 링크 변수: \[ U_{ij} = e^{i(\phi_j-\phi_i)} \]
• 플라켓 위상: \[ \theta_p = \sum_{\langle ij \rangle \in p} (\phi_j - \phi_i) \]
• 플라켓 에너지: \[ \mathcal{L}_{\text{plaq}} = \frac{\beta}{2A_p} \theta_p^2 \]
• 큐브 플럭스 (비앙키 강화): \[ \mathcal{L}_{\text{cube}} = \frac{\kappa}{2} \sum_c \left(\sum_{p\in\partial c}\theta_p\right)^2 \] 

 

 9. Dirac 스트링과 자기단극

• Dirac 스트링: \(\phi\) 위상 불연속 \(2\pi n\)
• 스트링 장력: \[ T_{\text{string}} = 2\pi^2\beta \]
• 자기단극 생성 확률: \[ P_{\text{monopole}} \sim \exp\left( -\frac{(2+2\pi^2)\beta}{T} \right) \] 

 

 10. 경로적분 구조

최종 경로적분: \[ \boxed{ \mathcal{Z} = \sum_{\{C\}} \int D\phi\,DV\;\exp\left( i \sum_{n,i} T_{\min}^3\, \left[ \mathcal{L}_{\text{kinetic}} + \mathcal{L}_{\text{plaq}} + \mathcal{L}_{\text{cube}} \right] \right) } \]

• 여기서 \(C\): 셀 복합체(격자 위상)
• Pachner move를 통한 격자 구조 동적 업데이트 포함
• 완전 미분동형성(좌표독립성) 실현 

 

11. 결합 위상 동역학

Photon 자유 진동을 묘사:

\[L_{\text{spin}} = \frac{1}{2T_{\text{min}}^2} \left( \varphi_i(n+1) - \varphi_i(n) \right)^2 - \frac{c_v^2}{2\ell_p^2} \sum_{j \in N(i)} \left( \varphi_j(n) - \varphi_i(n) \right)^2 \]

\(c_v\) : 결합 위상 전달 속도

Photon 스펙트럼: \(\omega(k) = c_v k + \mathcal{O}(k^3 \ell_p^2)\)

 

 

12. 플라켓 항 (전자기장)

Gauge 불변 위상 흐름:

$$L_{\text{plaq,opt}} = \frac{\beta}{2} \sum_{p} \frac{1}{A_p}{\theta_p^2} \quad \text{with} \quad \theta_p = \sum_{\langle ij \rangle \in p} (\varphi_j - \varphi_i)$$

 

 

13. Cube Flux 항 (자기 발산 제어)

$$L_{\text{cube}} = \frac{\kappa}{2} \sum_{c} (\sum_{p \in \partial c} \theta_p)^2$$

• 𝜅 : Cube flux 강제 강도 (플라켓 항보다 10~100배 강하게 설정)

-> 격자 \(∇ 𝐵 = 0\) 조건 강화.