Qaether Model based on v0.5

 

수학모델 구성

1. Void model 

• FCC 단위셀 부피:
  \[V_{\rm FCC}=a^3=(\sqrt2\, \ell_p)^3=2\sqrt2\, \ell_p^3\]
• Qaether 4개 부피:
  \[V_Q=4\!\times\tfrac{4\pi}{3}(\tfrac{ \ell_p}{2})^3=\tfrac{2\pi}{3}\, \ell_p^3\]
• 최소 Void 부피(완전 결합, \(m=12m\)):
  $$V_{\min} =V_{\rm FCC}-V_Q =\Bigl(2\sqrt2-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) \ell_p^3$$
• 결합 수 $$m=\tfrac12\sum_{i\neq j}A_{ij}, 0\le m\le12$$
• 결합수에 따른 Void 부피 $$𝑉_{void}(m)= 𝑉_{FCC} - 𝑉_𝑄 + Δ𝑉(𝑚)$$
• 결합수 감에 따른 비선형 팽창을 다음과 같이 가정

$$\Delta V(m) = \alpha V_{min} \cdot { \left(1 - \frac{m}{12}\right)^k}, \quad \alpha > 0, \quad k \geq 1$$

• 극한 상태에서 Void 부피:$$V_{\rm void}(m) =V_{\min}\Bigl[1 + \alpha\bigl(1 - \tfrac{m}{12}\bigr)^k\Bigr]$$

 

2. 격자 및 위치

• 격자 상수: \(a = \sqrt2\, \ell_p\).
• 4-point basis:$$d_1=(0,0,0),\; d_2=\tfrac{a}{2}(1,1,0),\; d_3=\tfrac{a}{2}(1,0,1),\; d_4=\tfrac{a}{2}(0,1,1)$$
• 전체 위치:
    $$r_{n,\alpha}=\sum_{k=1}^3n_k\,a\,e_k + d_\alpha,\;n_k\in\mathbb Z,\;\alpha=1..4$$

 

3. Qaether 상태변수

각 노드 𝑖 i에 대해

• Spin: \(S i ∈\{0,1\}\) (활성화 여부)
• Axis: \(Z i ∈\{±e 1 ,±e 2 ,±e 3 \} \)(FCC 축 방향)
• Rotation phase: \(𝜙_𝑖 ∈ [ 0 , 2 𝜋 ) \)
• 허용 위상차 집합

$$P=\{k \frac{\pi}{3}| k=0,1,…,5\}$$

• 허용 FCC 최근접 방향 집합

$$D_0 = \{ \pm (e_i + e_j), \pm (e_i - e_j) \mid i \neq j \in \{ 1, 2, 3 \} \}$$

 

4. 결합 인접행렬

$$A_{ij} = \begin{cases} 1, & \begin{aligned} &S_i=S_j=1,\\ &Z_i\cdot Z_j=0,\\ &Z_i+Z_j\in D_0,\\ &(\phi_i-\phi_j)\bmod2\pi\in P, \end{aligned}\\ 0,&\text{otherwise}. \end{cases}$$

• 의미: \(A_{ij}=1\)일 때만 두 Qaether가 bond를 형성.

 

5. 공간배치

결합된 쌍 (i,j)(i,j)(i,j)에 대하여

$$r_j - r_i = \frac{\ell_p}{\sqrt{2}} (Z_i + Z_j)$$

를 만족하도록 위치를 재귀 배치하면 전역 FCC 구조가 유지됩니다.

 

 

6. 해밀토니언

$$H = \underbrace{ \sum_{i} \frac{L_i^2 }{2I}}_{\text{(1) Kinetic}} - \underbrace{ \sum_{i < j} A_{ij} \cos(\phi_i - \phi_j) }_{\text{(2) Phase coupling}} + \underbrace{ \sum_{i} D_i [1 - \cos(6\phi_i)] }_{\text{(3) 6-fold anisotropy}} + \kappa_{\text{cell}}\underbrace{ \sum_{\text{cell}} (V_{\text{void}}(m) - V_{\text{min}})^2 }_{\text{(4) Void energy}}$$

 

1. Kinetic term \(\sum_iL_i^2/(2I)\):

• \(L_i=n_i\hbar (n_i\in\mathbb Z)\),
• \(I\sim\hbar\, \ell_p는 Planck 관성모멘트\).

2. Phase coupling \(-J\sum A_{ij}\cos(\phi_i-\phi_j)\) :

• bond된 입자 사이 위상 동조를 에너지 최소화.

3. 6-fold anisotropy \(D\sum[1-\cos6\phi_i]\) :

• 각 \(\phi_i\) 를 P 위상 집합으로 가두는 퍼텐셜 우물로 에너지 우물들이 \(\phi=k\pi/3\)에만 존재한다
• 에너지 장벽이 충분히 높으면, 실제 동역학에서 \(\phi\)는 well 사이를 거의 넘지 못해 관측 가능한 상호작용(bond 형성)은 오직 이산된 위상차 \(\Delta\phi\in P\)에서만 일어난다

4. Void energy \(\kappa_{\rm cell}\sum(V_{\rm void}-V_{\min})^2\) :

• 각 FCC 셀의 공극 부피가 기준치에서 벗어나면 페널티를 줌 → 동역학적 곡률·중력 효과 반영.

 

7. 동역학 (Hamilton's equations)

$$\dot\phi_i = \frac{\partial H}{\partial L_i} = \frac{L_i}{I}, \qquad \dot L_i = -\frac{\partial H}{\partial \phi_i} = -J\sum_jA_{ij}\sin(\phi_i-\phi_j) + 6D\sin(6\phi_i)$$

• Void 항은 \(\phi\) 가 직접 등장하지 않으므로, \(\dot L_i\) 에는 영향을 주지 않지만, 전체 에너지 보존을 통해 간접적으로 시공간 곡률 변화를 유도.

 

5. 이산 시간 통합 (Symplectic Euler)

Planck 시간 \(\Delta t\sim t_p= \ell_p/c\)로

\begin{aligned} L_i^{n+\frac12} &= L_i^n -\tfrac{\Delta t}{2}\Bigl[J\sum_jA_{ij}\sin(\phi_i^n-\phi_j^n) -6D\sin(6\phi_i^n)\Bigr],\\ \phi_i^{n+1} &= \phi_i^n + \frac{\Delta t}{I}\,L_i^{n+\frac12},\\ L_i^{n+1} &= L_i^{n+\frac12} -\tfrac{\Delta t}{2}\Bigl[J\sum_jA_{ij}\sin(\phi_i^{n+1}-\phi_j^{n+1}) -6D\sin(6\phi_i^{n+1})\Bigr]. \end{aligned}

• 에너지 보존과 symplectic 성질을 유지하면서, 플랑크 스케일 동역학을 시뮬레이션.

 

부연 설명

• 연속 위상 + 이산 운동량:
  \(\phi_i\)는 연속적으로 진화하지만, \(L_i\)는 \(\hbar\) 단위로 양자화되어 “이산성”을 보장.
• Void energy는 시공간 곡률(중력) 효과를 직접 해밀토니언에 포함시켜, 결합망의 파손·재결합이 어떻게 중력장으로 나타나는지 모델링.
• 확장 가능성:
  Spin \(S_i\) 활성화 항, 축 정렬 페널티, 외력장 coupling 등도 동일한 방식으로 추가 가능.

이로써

“가정 → 격자·상태 → 결합 규칙 → Void 모델 → 해밀토니언 → 동역학”
모두 일관된 이산 수학 프레임워크로 완성되었습니다.