로렌츠 대칭성 복원 (v0.8)

\(\hbar_q=\hbar\) 를 가정한 상태에서 FCC 격자의 위상 동역학이 장파장·저에너지 한계에서 어떻게 유효 연속체의 파동 방정식—즉 로렌츠 대칭성을 가지는 파동 방정식—을 재현하는지 보자.

 

1. 위상 동역학의 선형화

원래의 비선형 방정식 (A9) 중 감쇠와 색전하 항을 무시하고, 등벡터 결합 상수 \(K_{ij}=K_0\) 가 균일하다고 가정하면,

$$I\,\ddot\phi_i \;=\; K_0\sum_{j\in\mathcal N(i)}\sin(\phi_j-\phi_i)$$

장파장·저에너지에서는 위상차가 작으므로 \(\sin(\Delta\phi)\approx\Delta\phi\) 로 근사:

$$I\,\ddot\phi_i \;\approx\; K_0\sum_{j}(\phi_j-\phi_i) \;\equiv\;K_0\sum_{j\in\mathcal N(i)}\Delta\phi_{ij}$$

이 오른쪽이 바로 이산 라플라시안입니다.

 

2. FCC 격자의 이산 라플라시안과 등방성

격자 상수(이웃 간격)를 a라 두고, 12개의 단위 결합벡터를 \(\{\hat b_k\}\)라 하면,

$$\sum_{j\in\mathcal N(i)}(\phi_j-\phi_i) =\sum_{k=1}^{12}\bigl[\phi(\mathbf x + a\hat b_k)-\phi(\mathbf x)\bigr]$$

테일러 전개하면

$$\phi(\mathbf x + a\hat b_k) =\phi + a\,\hat b_k\cdot\nabla\phi +\tfrac{a^2}{2}\,\hat b_k^{\,T}H(\phi)\,\hat b_k + O(a^3)$$

한편 FCC 격자 벡터들의 이차 모멘트 합

$$\sum_{k=1}^{12}\hat b_k\,\hat b_k^{\,T} =C\,I_{3\times3}$$

정확히 상수 C=6 임을 계산할 수 있으므로(모든 방향이 대칭) → 완전 등방적임.
따라서

$$\sum_{k=1}^{12}\bigl[\phi(\mathbf x + a\hat b_k)-\phi(\mathbf x)\bigr] \;=\;\frac{a^2}{2}\,C\,\nabla^2\phi + O(a^4) =\;3a^2\,\nabla^2\phi + O(a^4)$$

 

3. 유효 연속체 파동 방정식

위 결과를 대입하면,

$$I\,\ddot\phi \;\approx\; K_0\,3a^2\,\nabla^2\phi$$

즉

$$\ddot\phi = \frac{3K_0\,a^2}{I}\,\nabla^2\phi$$

이를 전통적 파동 방정식
$$\ddot\phi = c^2\nabla^2\phi$$
꼴로 맞추려면

$$c^2 = \frac{3K_0\,a^2}{I}$$

여기서 \(I,K_0\)를 \(\hbar·l_p·t_p\) 스케일과 맞추어 조정하면, c가 광속으로 나오도록 할 수 있습니다.

 

4. 로렌츠 대칭성 회복

1. 등방성: FCC 12개 방향의 이차 모멘트가 \(I_{3\times3}\) 에 비례 ⇒ 공간적 등방성 확보
2. 2차 시공간 대칭: 시간 방향도 단일 계수 앞에 \(\ddot\phi\) 로 들어오므로, 장파장 한계에서
   $$\partial_t^2\phi - c^2\nabla^2\phi=0$$
   꼴로 내려갑니다.
3. 고차 항 억제: \(O(a^4)\) 이상 비등방성 오차는 \((a/\lambda)^2\) 계수로 떨어지므로, \(\lambda\gg a\) 시 완전히 무시됩니다.

따라서 장파장·저에너지(\(\lambda\gg l_p\)) 에서는 이산 FCC 격자 위상 동역학이 등방적 3+1차원 파동 방정식으로 귀결되고, 결과적으로 로렌츠 대칭이 유효 연속체 수준에서 회복됩니다.