[v1.8] Qaether 약작용 섹터와 질량 생성 구조

1. 질량의 기하학적 정의

Qaether 이론에서 질량은 힉스(Higgs) 진공의 기대값이 아니라, 격자 기하학적 비용(cost)으로 정의된다. 이는 다음 두 항의 합으로 주어진다:

1. 유효 압력 ($P_{\text{eff}}$)
   • 플라켓(plaquette), 정사면체, 정팔면체 등의 위상 패턴이 국소적 정합성(flatness)을 얼마나 강하게 깨는지에 대한 비용이다.
   • 패턴의 대칭성 형태에 따라 비용이 결정된다 (예: 4-equal → 최소 비용, 2+2 → 중간, 1+1+1+1 → 최대 비용).
2. 결합 에너지 ($E_{\text{bind}}$)
   • 해당 자유도가 주변 네트워크(SU(3) 색전하, SU(2)$_L$ 약작용)에 결합될 때 발생하는 국소 비틀림 및 응력 비용이다.

따라서 질량은 다음과 같이 표현된다:
$$
m \sim P_{\text{eff}} + E_{\text{bind}}
$$
이 구조는 힉스 장(Higgs field) 없이도 질량 계층을 자연스럽게 부여하며, W/Z 보손과 광자의 분리는 SU(2)$_L \times$ U(1) 링크 변수의 혼합 과정에서 기하학적으로 결정된다.

 

2. SU(2)$_L \times$ U(1) 링크 필드의 정의

약작용 게이지 변수는 플라켓이 아니라 링크 위에서 직접 정의된다:

• SU(2)$_L$ 링크
  $$
  W_\ell = \exp\left(i \theta_\ell^a \frac{\sigma^a}{2}\right),\qquad
  \theta_\ell^a \in \frac{\pi}{6}\mathbb Z
  $$
• U(1) 링크
  $$
  B_\ell = e^{i\phi_\ell}, \qquad \phi_\ell \in \frac{\pi}{6}\mathbb Z
  $$

이는 SU(3) 플라켓 언어와 동일하게, 링크 위상 양자화($\pi/6$)와 국소 정합성(flatness) 대 곡률(curvature)의 대립 구도를 사용한다.

 

3. W$^\pm$, Z 보손 = 국소 곡률(Local Curvature) 들뜸

SU(2)$_L$ 링크는 국소적으로 곡률을 생성하며, 정합성(flatness)을 깨는 즉시 압력 비용과 결합 에너지가 발생한다.

• W$^\pm$ 보손
  SU(2) 내부 공간의 두 개의 비대각(off-diagonal) 방향은 항상 다음과 같이 결합된다:
  $$
  W^\pm = \frac{1}{\sqrt 2}(W^1 \mp i W^2)
  $$
  이 조합은 링크가 정렬(flatness)을 유지하려는 구조와 필연적으로 충돌하므로 질량을 갖는다:
  $$
  m_{W^\pm} > 0
  $$
• Z 보손
  나머지 SU(2)의 3번째 방향 ($W^3$)과 U(1) 링크 ($B$) 중, 정합성을 깨는 특정 조합이 들뜸(excitation) 모드를 형성한다. 이 모드는 국소적으로 다음을 유발한다:
  • 링크의 비틀림
  • 정팔면체/정사면체 패턴의 압력 증가
    따라서 Z 보손 또한 질량을 갖는다:
    $$
    m_Z > 0
    $$

즉, W$^\pm$과 Z는 모두 “국소 들뜸(curvature excitation)”이며, 이들의 질량은 곡률이 유발하는 기하학적 비용으로 결정된다.

 

4. 광자 $\gamma$ = Flatness를 보존하는 전파 모드

SU(2)$_L$의 $W^3$과 U(1)의 $B$를 적절히 혼합하면, 격자의 정합성(flatness)을 깨지 않는 유일한 조합이 존재한다:
$$
A = \sin\theta_W W^3 + \cos\theta_W B
$$
이 모드는 다음과 같은 특징을 갖는다:

1. 압력 비용이 0이다.
2. 결합 에너지가 0이다.
3. 단순 위상 파동(phase wave)으로서 격자를 따라 자유롭게 전파 가능하다.

따라서 광자의 질량은 0이다:
$$
m_\gamma = 0
$$
여기서 혼합각 $\theta_W$는 힉스 메커니즘이 아니라, 두 링크 필드 간의 기하학적 결합 강도 비율에 의해 결정된다.

 

5. 전체 구조의 함의

이 정합 조건을 기반으로, 약작용 게이지 보손의 성질은 다음과 같이 정리된다:

모드	기하학적 해석	질량 유무
$W^\pm$	SU(2)$_L$의 off-diagonal 비틀림	Massive
$Z$	$W^3$와 $B$ 혼합 중 Curvature 유발 모드	Massive
$\gamma$	Flatness를 유지하는 전파 위상 모드	Massless

결론적으로:

• 질량은 힉스 입자가 부여하는 것이 아니라, 정합성(flatness) 위반에 따른 비용에서 발생한다.
• 광자는 기하학적으로 Flatness-preserving mode이므로 본질적으로 질량이 없다.
• SU(2)$_L \times$ U(1) 링크 변수의 혼합만으로 W$^\pm$/Z/$\gamma$의 물리적 성질이 자동적으로 분해된다.