[v1.9] Qaether에서의 색전하와 기하학적 가둠

(Geometric Definition of Color Charge and Confinement in Qaether Lattice Theory)

1. 서론: 이산 기하학적 게이지 이론의 기초

본 문서는 연속적인 시공간 및 대칭성을 가정하는 표준적인 양자장론과 달리, 이산적인 격자 구조와 기하학적 대칭을 통해 색전하(Color Charge)와 그 가둠(Confinement) 현상을 설명하려는 Qaether 격자 이론의 기본 개념을 제시한다. Qaether 이론은 격자 위에서 물질(페르미온)의 스핀 대칭성과 힘(게이지 보손)의 색 대칭성을 통합적으로 정의하며, 표준 모형의 특정 패턴을 순수한 기하학적 제약으로부터 유도하고자 한다.

1.1 Qaether 네트워크의 정의

Qaether 이론은 다음 요소들로 구성된 이산적인 네트워크, 즉 2-차원 복합체 \(X=(V,E,P)\) 위에 정의된다:

• 정점 집합 \(V\) (셀, Site): 네트워크의 기본 단위가 되는 점들로 이루어진 집합이다. 각 정점은 시공간의 한 위치이자, 물리적 자유도를 가질 수 있는 '셀'로 해석된다.
• 유향 간선 집합 \(E\) (링크, Link): 정점들 사이의 연결을 나타내는 유향(directed) 간선들의 집합이다. 각 간선은 두 정점 사이의 상호작용 통로를 의미하며, 방향성을 갖는다.
• 플라켓 집합 \(P\) (2-셀, Plaquette): 그래프 $G=(V, E)$의 단순(simple) 최소 루프들(더 작은 루프의 합으로 분해 불가) 중 길이 3(삼각) 및 길이 4(사각) 루프들의 선택된 집합을 플라켓으로 정의한다. 각 플라켓 (\(p \in P\))에는 방향(orientation)이 주어지며, 이에 따라 경계 \(\partial p\)는 유향 간선들의 순환열로 고정된다. 이는 게이지 이론에서 게이지 장의 곡률을 측정하는 기본 면적 단위에 해당한다.

본 공리는 고정된 네트워크 $G$ 위의 운동학(Kinematics)을 정의하며, 네트워크의 재배열 및 위상 변화(동역학)는 별도의 업데이트 규칙(Update Rule)으로 정의될 수 있다.

1.2 변수 정의

Qaether 이론에서는 각 네트워크 요소에 다음과 같은 물리적 변수를 할당한다.

• Site 변수: 로컬 프레임 자유도 ($\mathbf{q}_i$)
  각 셀 $i \in V$는 로컬 프레임(스피너 프레임) 자유도 $\mathbf q_i$를 가진다.
  $$ \mathbf q_i = \exp \left( i \frac{\phi_i}{2} \mathbf{n}_i \cdot \boldsymbol{\sigma} \right) \in SU(2), \quad |\mathbf{n}_i|=1 $$
  여기서 $\phi_i \sim \phi_i + 4\pi$ (스피너 주기성)이며, $\boldsymbol{\sigma}$는 파울리 행렬 벡터이다. 이 $\mathbf{q}_i$는 페르미온 입자의 스핀과 같은 내부 자유도를 나타내며, $SU(2)$ 군의 원소인 쿼터니온으로 표현되어 3차원 회전에 대해 $2\pi$ 회전 시 부호가 반전되는 스피너 성질을 내포한다.
• Link 변수: 커넥션 변수 ($\mathbf{h}_{ij}$)
  각 유향 간선 $(i \to j) \in E$에 대해 커넥션 변수 $\mathbf h_{ij}$를 정의한다.
  $$\mathbf h_{ij} \in SU(2), \quad \mathbf h_{ji} = \mathbf h_{ij}^{-1} = \mathbf h_{ij}^\dagger$$
  이는 두 셀 $i$와 $j$ 사이의 '연결' 혹은 '전파'를 나타내며, 연속 게이지 이론의 게이지 장(Gauge Field)에 해당한다.
• Plaquette 관측량: 관측 링크 ($U_{ij}$)와 플라켓 홀로노미 ($U_p$)
  물리적으로 유의미한 기본 관측량인 관측 링크 $U_{ij}$는 다음과 같이 정의된다.
  $$\boxed{U_{ij} := \mathbf q_i^{-1} \mathbf h_{ij} \mathbf q_j \in SU(2)}$$
  이 관측량은 셀의 로컬 프레임 $\mathbf{q}_i$와 $\mathbf{q}_j$를 통해 커넥션 변수 $\mathbf{h}_{ij}$를 '드레싱'한 것으로, 두 이웃한 셀 사이의 상대적인 프레임 변화를 측정한다.
  플라켓 $p$의 경계 $\partial p$에 대하여, \(\partial p\)의 방향 (Orientation)을 따라 링크를 경계 위의 유향 링크들을 순서대로 곱한 홀로노미 $U_p$를 정의한다. 경계의 순환열을 $\partial p=(i_1 i_2)(i_2 i_3)\cdots(i_n i_1)$로 택하면, 플라켓 홀로노미는 다음과 같다.$$U_p(i_1):=\prod_{k=1}^{n} U_{i_k i_{k+1}} \in SU(2)\quad (i_{n+1}=i_1)$$ $U_p$는 플라켓 내부의 '곡률' 또는 '위상 결함'을 나타내는 물리적 관측량이다.

1.3 물리적 동기: 게이지 불변성과 스핀-1/2 대칭성

본 이론의 핵심 동기는 $SU(3)$ 색 대칭성을 포함한 표준 모형의 여러 대칭성과 현상들을 이산 기하학적 원리로부터 창발(Emergence)시키는 데 있다.

• 게이지 불변성 (Frame Re-representation Invariance):
  $U_{ij}$는 물리적 관측량이므로, ${\mathbf q_i, \mathbf h_{ij}}$의 로컬 프레임 재표현에 대해 불변이어야 한다. 임의의 $g_i \in SU(2)$에 대하여, $\mathbf q_i \mapsto g_i \mathbf q_i$와 $\mathbf h_{ij} \mapsto g_i \mathbf h_{ij} g_j^{-1}$의 변환이 일어나더라도 $U_{ij}$는 불변으로 유지된다:
  $$U_{ij} \mapsto (g_i \mathbf q_i)^{-1} (g_i \mathbf h_{ij} g_j^{-1}) (g_j \mathbf q_j) = U_{ij}$$
  여기서의 $SU(2)$ 변환은 물리적 '내부 대칭'을 새로 가정하는 것이 아니라, 각 셀에서 프레임을 표현하는 방식의 수학적 중복성을 의미한다. 따라서 ${\mathbf q_i, \mathbf h_{ij}}$는 잉여 변수(Redundant variables)이며, 오직 ${U_{ij}}$만이 실재적인 물리 데이터이다. 플라켓 홀로노미 $U_p$ 또한 그 트레이스(Trace)나 켤레류(Conjugacy Class)는 이러한 게이지 변환에 불변하다.
• 스피너-민감 곡률의 창발:
  특히, 사각루프 플라켓이 $U_p = -\mathbb{I}$ 조건을 만족할 때, 해당 플라켓은 스핀-1/2에 민감한 위상 결함(Topological Defect) 또는 곡률 섹터를 가진다고 정의한다. (삼각루프 플라켓의 경우는 포함하지 않는다.) 이는 $SO(3)$ 수준에서는 $\mathbb{I}$과 동일하게 보여 '회전이 없는' 것처럼 측정되지만, $SU(2)$ 수준에서는 중심 원소($-\mathbb{I}$)로 구별되어 물리적으로 완전히 다른 섹터(Spinor-sensitive sector)를 형성한다. 이 특성은 페르미온의 스핀-1/2 성질과 직접적으로 연결되며, $2\pi$ 회전 시 파동함수의 부호가 반전되는 현상을 격자 기하학적 결함으로 해석하는 근거가 된다.

이러한 Qaether 네트워크와 변수 정의, 그리고 게이지 불변성은 이산적인 격자 구조 내에서 스핀과 게이지 장의 상호작용을 기술하는 강력한 토대를 마련하며, 다음 장에서 다룰 색전하의 기하학적 유도로 이어진다.

2. 플라켓 스펙트럼과 대칭성 (Plaquette Spectrum and Symmetries)

제1절에서 정의한 관측량인 사각 플라켓 홀로노미 \(U_p\)는 연속적인 \(SU(2)\) 값을 가지지만, 본 이론에서는 이를 양자화된 이산 상태로 분류하여 입자의 종류(쿼크, 렙톤 등)를 정의한다. 이 절에서는 사각 플라켓의 내부 상태를 기술하는 위상 공간(Phase Space)과, 사각형 기하학에 내재된 \(D_4\) 대칭성을 통해 물리적 상태를 분류하는 방법을 다룬다.

2.1 플라켓 위상 공간 (\(\mathcal{W}\))

플라켓 \(p\)의 물리적 상태는 홀로노미 행렬의 고유상(Eigenphase) 집합으로 인코딩된다고 가정한다. 이를 플라켓 스펙트럼 변수라 하며, \(\mathbb{Z}_{12}\) (12진법 모듈러 정수) 위에서 정의된 길이 4의 순환열로 표기한다.

정리 (Edge Phase Quantization). 본 네트워크/플라켓 선택 하에서 모든 링크 위상은 \(\phi_e\in \frac{2\pi}{12}\mathbb Z\)로 양자화되며, 이에 따라 플라켓 스펙트럼은 \(\mathbb Z_{12}\) 원순열 \(w=[k_1,k_2,k_3,k_4]\)로 표현된다. (논문 참조)

• 위상 벡터 (Phase Vector):
  하나의 플라켓에 대하여, 4개의 링크 위상(혹은 유효 고유값)을 성분으로 갖는 벡터 \(w\)를 정의한다. \[ w = [k_1, k_2, k_3, k_4], \quad k_i \in \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, \dots, 11 \} \]
• 닫힘 조건 (Flux Closure Condition):
  물리적으로 유의미한 플라켓은 게이지 장의 발산 없이 국소적으로 닫혀 있어야 한다. 이를 모듈러 덧셈에 대한 0 조건으로 정의한다. \[ \boxed{\sum_{i=1}^4 k_i \equiv 0 \pmod{12}} \] 이 조건을 만족하는 모든 위상 벡터들의 집합을 플라켓 위상 공간 \(\mathcal{W}\)라 한다. \(\mathcal{W}\)의 원소는 플라켓 경계의 원순열이므로 시작점 변경(순환시프트)은 동치로 본다. \[ \mathcal{W} = \{ [k_1, \dots, k_4] \mid k_i \in \mathbb{Z}_{12}, \ \sum k_i \equiv 0 \} \]

2.2 대칭 작용: 정사각형 이면대칭군 (\(D_4\))

플라켓은 기하학적으로 정사각형이므로, 이를 회전하거나 뒤집어도 물리적 성질(에너지, 입자 종류)은 변하지 않아야 한다. 따라서 위상 벡터 \(w\)는 정사각형의 대칭군인 \(D_4\) (Dihedral Group of order 8)의 작용에 대해 동치이다.

• \(D_4\)의 정의:
  \(D_4\)는 4개의 회전 변환(0, 90, 180, 270도)과 4개의 반사 변환(수평, 수직, 두 대각선)으로 이루어진 군을 의미한다.
• 작용 (Action):
  군 원소 \(g \in D_4\)는 인덱스 치환 \(\sigma_g \in S_4\)를 통해 위상 벡터에 작용한다. \[ g \cdot [k_1, k_2, k_3, k_4] = [k_{\sigma_g(1)}, k_{\sigma_g(2)}, k_{\sigma_g(3)}, k_{\sigma_g(4)}] \] 예를 들어, 90도 회전은 \([k_2, k_3, k_4, k_1]\)을 만들고, 반사는 순서를 역순으로 바꾼다.
• 물리적 상태의 정의:
  개별 벡터 \(w\)가 아닌, \(D_4\) 작용에 의한 궤도(Orbit) \([w]\)가 물리적 상태를 나타낸다. 즉, 물리량은 몫공간 \(\mathcal{W}/D_4\) 위에서 정의된다.

2.3 유효 쿼크 조건 (Admissibility)과 입자 분류

위상 벡터 성분 \(k_i\)들의 중복 여부에 따라 플라켓의 대칭성이 달라지며, 이를 통해 쿼크와 렙톤을 기하학적으로 분류한다.

• 쿼크형 유효 플라켓 (Admissible Plaquette):
  4개의 성분 \(k_i\)가 모두 서로 다른 경우를 '유효하다(Admissible)'고 정의하며, 이를 쿼크의 후보로 본다.
  \[\boxed{\mathcal{W}_{\mathrm{adm}} = \{ [k_1, k_2, k_3, k_4] \in \mathcal{W} \mid k_i \neq k_j \text{ for all } i \neq j \}}\]
  이 경우 4개의 숫자가 모두 다르므로, 정사각형 대칭군 \(D_4\)의 작용으로 생기는 동치류(궤도)가 가장 풍부해지며, 이후 다음에서 보이듯 같은 스펙트럼 멀티셋 \(K= \{ k_1,k_2,k_3,k_4\}\)에 대해 정확히 3개의 기하학적 궤도가 존재한다(=3색의 기원).
• 바리온-유효 하위 섹터 (Octahedron-realizable / Baryon-admissible)
  유효 플라켓 중에서도, 3개의 서로 다른 색 플라켓이 3차원에서 정팔면체(바리온)로 폐합될 수 있으려면 추가적인 기하학적 실현 가능 조건이 필요하다. 이를 “바리온-유효”로 정의한다.
  • 스펙트럼 멀티셋을 \(K(w)=\{k_1,k_2,k_3,k_4\}\subset\mathbb Z_{12}\)라 할 때, \[
    \boxed{
    \mathcal W_{\mathrm{bary}}
    := \{ w\in\mathcal W_{\mathrm{adm}}\mid 0\in K(w) \}
    }
    \]
  즉, 플라켓의 4개 위상 성분 중 최소 1개가 0인 경우만 바리온(정팔면체) 폐합에 참여 가능한 후보로 취급한다. 이 조건이 왜 필요한지(그리고 충분한지)는 §5.1에서 정팔면체 닫힘(8개 삼각면 플럭스 폐합)과 동치로 정리한다.
  (요약) “3색(triplet)”은 \(\mathcal W_{\mathrm{adm}}\)에서 발생하지만, “바리온으로 실현 가능한 3색 결합”은 \(\mathcal W_{\mathrm{bary}}\)로 더 좁혀진다.
• 렙톤 및 뉴트리노형 플라켓 (Singlet Sectors):
  \(k_i\)에 중복이 있는 경우는 \(D_4\) 작용 하에서 3중 퇴화(=3색)를 만들지 못하므로 색전하를 가지지 않는(무색, Colorless) 입자로 분류한다.
  • 렙톤형 (2+2): 두 쌍의 같은 수가 존재하는 경우 (예: \([a, a, b, b]\) 또는 \([a, b, a, b]\)).
  • 뉴트리노형 (4-equal): 네 수가 모두 같은 경우 (예: \([k, k, k, k]\)). 닫힘 조건에 의해 \(4k \equiv 0 \pmod{12}\)여야 하므로 \(k \in \{0, 3, 6, 9\}\)만 가능하다.

3. 색전하($\kappa$)의 수학적 유도 (Mathematical Derivation of Color Charge)

표준 모형의 양자색역학(QCD)에서 '색전하'는 $SU(3)$ 게이지 군의 기본 표현(Fundamental Representation)으로 도입되는 추상적인 내부 양자수입니다. 그러나 Qaether 이론에서 색전하는 도입된 공리가 아니라, 유효 플라켓(쿼크)의 위상학적 구조에서 필연적으로 발생하는 기하학적 성질입니다. 본 절에서는 군론(Group Theory)을 통해 왜 쿼크가 정확히 3가지 색을 가져야 하는지 증명합니다.

3.1 궤도 정리 (Orbit Theorem)와 3색의 기원

쿼크형 유효 플라켓 집합 $\mathcal{W}_{\mathrm{adm}}$에 속하는 위상 벡터는 네 성분 $\{k_1, k_2, k_3, k_4\}$가 모두 서로 다릅니다. 이 숫자들의 집합(멀티셋)을 $K$라고 할 때, $K$가 고정된 상태에서 순서만 바꾼 24개($4!$)의 가능한 배열에 대해 $D_4$ 대칭군이 어떻게 작용하는지 분석합니다.

• 정리 (Burnside Lemma의 응용):
  서로 다른 네 값 $K= \{a,b,c,d \}$ ($a+b+c+d \equiv 0$)으로 이루어진 순열 집합에 대해, 정사각형 이면대칭군 $D_4$가 작용할 때 형성되는 궤도(Orbit)의 개수는 정확히 3개이다.
• 증명:
  번사이드 보조정리(Burnside's Lemma)에 의해 궤도의 수 $N$은 다음과 같다.
  \[N = \frac{1}{|D_4|} \sum_{g \in D_4} |\mathrm{fix}(g)| \]
  여기서 $\mathrm{fix}(g)$는 대칭 조작 $g$에 대해 변하지 않는 배열의 개수이다.
  1. 항등원 ($e$): 아무것도 바꾸지 않으므로 모든 24개의 순열이 고정된다. $|\mathrm{fix}(e)| = 24$.
  2. 회전 및 반사 ($g \neq e$): 구성 성분 $a, b, c, d$가 모두 서로 다르므로, 회전(위치 이동)이나 반사(순서 역전)를 가했을 때 원래 배열과 같아질 수 있는 경우는 없다. 즉, 비자명한 조작에 대해서는 고정점이 존재하지 않는다. $|\mathrm{fix}(g)| = 0$.따라서, \[ N = \frac{1}{8} (24 + 0 + \dots + 0) = 3 \]
• 물리적 의미:
  이 정리는 에너지를 결정하는 스펙트럼 성분($K$)이 고정되어 있어도, 기하학적으로 구분 가능한 상태가 항상 3가지 존재함을 의미합니다. 이 3중 퇴화도(3-fold Degeneracy)가 바로 물리학에서 말하는 3색(Red, Green, Blue)의 실체입니다.
• Remark (중요: 3색과 ‘바리온 실현가능성’은 다르다)
  위 정리는 \(\mathcal{W}_{\mathrm{adm}}\)의 모든 \(K\)에 대해 “3색(3개 궤도)”이 존재함을 말할 뿐이다. 그러나 이 3색 플라켓 3개가 정팔면체(바리온)로 3차원 폐합 가능하려면 추가적인 기하학 조건이 필요하며, 그 핵심이
  \[
  \boxed{0\in K}
  \]
  (즉, 네 위상차 중 하나가 0) 조건이다. 이 “Octahedral realizability” 조건은 §5.1에서 정팔면체 닫힘의 필요충분조건으로 따로 정식화한다.

3.2 색전하의 정의

위의 정리에 따라, 각 쿼크형 에너지 준위(멀티셋 $K$)마다 존재하는 3개의 기하학적 궤도 ${\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2, \mathcal{O}_3}$를 색으로 정의합니다.

• 색전하 함수 ($\kappa$):
  임의의 전역적(Global) 규약을 통해 세 궤도를 각각 $r, g, b$ 라벨에 대응시키는 함수 $\kappa$를 정의한다.
  \[\kappa : \mathcal{W}_{\mathrm{adm}}/D_4 \longrightarrow \{r, g, b \} \] \[ w \in \mathcal{W}_{\mathrm{adm}} \implies \kappa([w]) \in \{r, g, b \} \]
  이 라벨링은 임의적이나, 물리적 상호작용(결합 법칙)은 라벨의 이름이 아닌 궤도 간의 관계에 의해 결정되므로 물리적 실재성을 갖습니다.
• 비-쿼크형(Singlet)의 경우:
  만약 $k_i$에 중복이 있는 렙톤형(2+2)이나 뉴트리노형(4-equal)의 경우, 대칭 조작에 의해 고정되는 점들이 생겨나 궤도의 수가 3개가 되지 않습니다(대부분 1개 혹은 2개). 따라서 이들은 3색 구조(트리플렛)를 형성할 수 없으며, 자연스럽게 무색(Colorless, Singlet, $\kappa=0$)으로 분류됩니다.

3.3 전하 공액과 반색 (Charge Conjugation & Anti-Color)

입자물리학에서 모든 입자는 반입자를 갖는다. Qaether 이론에서는 반입자를 “플라켓 위상 스펙트럼의 부호 반전”으로 정의하며, 이 연산은 (i) 조합론적 위상벡터 층위, (ii) \(D_4\) 궤도(색) 층위, 그리고 (iii) 관측량(트레이스 모멘트) 층위에서 서로 정합하게 작용한다.

(A) 전하 공액 연산자 \(C\) (위상 스펙트럼 층위)

플라켓 위상 벡터 \(w=[k_1,k_2,k_3,k_4]\in\mathcal W\)에 대해 전하 공액을 다음과 같이 정의한다.
\[
\boxed{
C(w)=C([k_1,k_2,k_3,k_4])=[-k_1,-k_2,-k_3,-k_4]\pmod{12}
}
\]
이때 다음 성질이 즉시 성립한다.

1. 닫힘 보존:
   \(\sum_i k_i\equiv 0 \Rightarrow \sum_i (-k_i)\equiv 0\) 이므로 \(C(\mathcal W)\subset\mathcal W\)이다.
2. 유효성 보존:
   \(w\in\mathcal W_{\mathrm{adm}}\) (네 성분 모두 서로 다름) 이면 \(C(w)\in\mathcal W_{\mathrm{adm}}\)이다.
3. 대칭군과의 교환:
   \(D_4\)는 성분의 위치만 치환하므로 다음이 성립한다.
   \[
   \boxed{C(g\cdot w)=g\cdot C(w)\quad(\forall g\in D_4)}
   \]
   따라서 \(C\)는 몫공간 \(\mathcal W_{\mathrm{adm}}/D_4\) 위에 잘 정의된 위수 2(Order 2)의 자기동형이며 \(C^2=\mathrm{id}\)이다.

(B) 반색의 정의 (색 지표 \(\kappa\) 층위)

어떤 플라켓 궤도 \([w]\in \mathcal W_{\mathrm{adm}}/D_4\)가 색 \(\kappa([w])\in \{r,g,b\}\)를 가질 때, 그 전하 공액 궤도의 색을 반색(Anti-Color)으로 정의한다:
\[
\boxed{
\kappa([C(w)]) = -\kappa([w]) \in \{\bar r,\bar g,\bar b \}
}
\]
즉, \(C\)는 “색 삼중항(triplet)”을 “반색 삼중항(anti-triplet)”으로 보내는 연산이며, 이는 표준모형의 표현론 언어로는 \(\mathbf{3}\leftrightarrow \mathbf{\bar 3}\) 변환에 해당한다.

(C) 관측량(트레이스 모멘트)에서의 \(C\) 작용

플라켓 스펙트럼 행렬을
\[
U_\square(w)=\mathrm{diag}\left(e^{i\frac{2\pi}{12}k_1},\dots,e^{i\frac{2\pi}{12}k_4}\right)
\]
로 둘 때, 전하 공액은 고유상 위상을 반전\((\theta\mapsto-\theta)\)시키므로
\[
\boxed{U_\square(C(w))=U_\square(w)^*}
\]
가 유도된다. 따라서 게이지 불변 관측량인 트레이스 모멘트 \(M_p(w)=\mathrm{Tr}(U_\square(w)^p)\)는 다음과 같이 변환된다.
\[
\boxed{
M_p(C(w))=\mathrm{Tr}\left((U_\square(w)^{p})^*\right)=M_p(w)^*
}
\]
해석: Qaether 이론에서의 전하 공액 \(C\)는 근본적으로 “위상 스펙트럼의 부호 반전”으로 정의되지만, 이는 관측량 층위에서 “트레이스 모멘트의 복소 켤레”로 자연스럽게 귀결된다. 동시에 색 층위에서는 \(\kappa\mapsto-\kappa \)로 작용하므로, 하나의 연산 \(C\)가 물리적 관측량(클래스 함수)과 내부 대칭성(색 라벨)을 수학적으로 일관되게 연결하고 있음을 보여준다.

4. 연속 군 $SU(3)$로의 임베딩 (Embedding into Continuous Group $SU(3)$)

앞선 절들에서 유도된 '3색($r, g, b$)'은 이산적인 기하학적 라벨입니다. 이 절에서는 이 이산 구조가 어떻게 표준 모형의 게이지 군인 연속적인 $SU(3)$ 리 군(Lie Group)의 구조와 정확히 매핑되는지 설명합니다. 이는 Qaether 이론이 단순한 이산 모델에 그치지 않고, 연속체 극한(Continuum Limit)에서 양자색역학(QCD)을 재현할 수 있음을 보여주는 연결 고리입니다.

4.1 가중치 격자 (Weight Lattice) 매핑

군론에서 입자의 상태는 가중치 벡터(Weight Vector)로 표현됩니다. 우리는 이산적으로 정의된 3색 궤도를 $SU(3)$ 기본 표현(Fundamental Representation, $\mathbf{3}$)의 가중치 벡터 공간에 임베딩합니다.

• 색전하와 가중치 벡터의 대응:
  $D_4$ 궤도 ${\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2, \mathcal{O}_3}$를 벡터로 보고 세 벡터가 이루는 대칭축인 벡터 \((1,1,1)\)에 수직인 평면에 정사영(Orthogonal Projection)하면 2차원 평면(Cartan Subalgebra) 상의 세 벡터 $\{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}$에 다음과 같이 일대일 대응이 가능합니다.
  \[r \leftrightarrow \omega_1 = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6} \right), \quad g \leftrightarrow \omega_2 = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6} \right), \quad b \leftrightarrow \omega_3 = \left( 0, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \] (이 좌표는 $T_3, T_8$ 대각 생성자의 고유값에 해당합니다.)
• 색중성 조건 (Color Neutrality):
  위의 벡터들은 정삼각형의 꼭짓점을 이루며, 그 벡터 합은 0이 됩니다.
  \[\boxed{\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0}\]
  이 벡터 합 규칙은 이산 모델의 "색을 더한다"는 개념을 기하학적 벡터 덧셈으로 구체화합니다.
• 반색(Anti-Color)과 $C$-대칭의 기하학:
  전하 공액 $C$는 위상 $k \mapsto -k$를 만듭니다. 이는 가중치 공간에서 원점 대칭(Inversion)에 해당합니다.
  \[\kappa(C[w]) \leftrightarrow -\omega_i\]
  이는 $SU(3)$의 반-기본 표현 $\mathbf{\bar{3}}$의 가중치들과 일치하며, $\{-\omega_1, -\omega_2, -\omega_3\}$는 역삼각형을 이룹니다.

4.2 정사면체와 글루온 (Tetrahedrons and Gluons)

사각플라켓(2차원 면)이 쿼크(물질)라면, 공간을 채우는 3차원 셀인 정사면체(Tetrahedron)는 힘을 매개하는 글루온(Gluon)의 기하학적 실체로 해석됩니다.

• 인접 표현과 뿌리 벡터 (Root Vectors):
  두 쿼크 상태 $\omega_i$와 $\omega_j$ 사이의 전이(Transition)는 두 가중치 벡터의 차이로 표현됩니다. 이를 $SU(3)$의 뿌리 벡터(Root Vector) $\alpha$라고 합니다.
  \[\alpha_{ij} = \omega_i - \omega_j\]
  가능한 모든 색 차이의 조합($r\bar{g}, b\bar{r}$ 등)은 6개의 비자명한 뿌리 벡터($\pm \alpha_1, \pm \alpha_2, \pm \alpha_3$)와 2개의 영 벡터(Cartan 방향)를 형성하며, 이는 8개의 글루온(Adjoint Representation, $\mathbf{8}$)에 대응합니다.
• 정사면체의 역할 (Interaction Geometry):
  Qaether 격자(FCC 유사 구조)에서 정사면체를 형성하는 삼각루프 플라켓은 인접한 사각플라켓(쿼크)들을 연결하는 '조인트' 역할을 합니다. 즉, 사각플라켓 3개가 결합하여 정팔면체를 입체루프를 구성할때 8개의 삼각루프 플라켓이 발생하며 이 삼각플라켓을 공유하며 자체적으로 색전하, 전하, 스핀이 없는 상태로 폐합된 정사면체가 정사각루프 3개가 정합하게 결합하여 정팔면체를 구성할 수 있도록 연결 고리가 된다는 뜻이다. 삼각루프(글루온의 투사체)의 홀로노미가 정사각플라켓이 정팔면체를 안정적으로 구성하도록 기하학적 색전하가 교환된다고 본다.
  • 색 보존 법칙 : 하나의 삼각 플라켓을 통해 쿼크와 글루온이 만날 때, 벡터 합은 보존됩니다. \[\omega_{\text{in}} + (\text{gluon}) = \omega_{\text{out}} \quad \Rightarrow \quad \omega_i + (\omega_j - \omega_i) = \omega_j\]
  • 즉, "정사면체는 색 공간에서의 글루온 홀로노미 이동을 물리적 공간의 기하학적 연결로 구현한 것"입니다.

5. 가둠(Confinement)의 기하학적 메커니즘 (Geometric Mechanism of Confinement)

표준 모형의 양자색역학(QCD)에서 '색가둠'은 글루온 장의 비선형적 상호작용에 의한 에너지 증가(Flux Tube)로 설명됩니다. 그러나 Qaether 이론에서 가둠은 에너지 이전에 존재하는 위상 기하학적 필수 조건(Topological Necessity)입니다. 즉, "유색 입자는 공간의 위상적 닫힘 조건(Tiling Condition)을 만족하기 위해 반드시 짝을 이뤄야만 존재할 수 있다"는 원리입니다.

 

Gluon mode counting remark

정팔면체 표면의 8개 삼각면 위상 패턴이 8개의 독립 색 방향( \(\pm\alpha_k\) 6개 + Cartan 2개)과 대응

5.1 바리온 구성: 정팔면체 폐합 (Octahedral Closure)

3개의 쿼크가 바리온을 형성하는 과정은, 기하학적으로 서로 직교하는 3개의 사각 플라켓이 한 꼭짓점에서 만나 정팔면체(Octahedron)의 3개 면을 이루고, 그 결과로 생기는 8개의 삼각 면(3-loop)이 모두 플럭스 닫힘을 만족하며 3차원 셀이 완전히 폐합(closed) 되는 과정과 동일합니다.

• 기하학적 구성:
  3차원 격자에서 $(x, y, z)$ 축에 수직인 세 플라켓이 한 점(Vertex)에서 만난다고 가정합니다. 이때 물리적으로 안정한 3차원 셀(바리온)을 이루려면, 정팔면체를 구성하는 모든 면에서 위상 결함이 남지 않도록 삼각 면 플럭스가 전부 소거되어야 합니다.

(A) 정팔면체 실현가능성 정리 (Octahedral Realizability / Zero-Phase Condition)

각 플라켓 (w)는 스펙트럼 멀티셋
\[
K(w)= \{k_1,k_2,k_3,k_4\}\subset\mathbb Z_{12},\qquad \sum_i k_i\equiv 0\pmod{12}
\]
로 특징지어진다고 하자(순서는 \(D_4\)로만 의미를 가짐).

정리(필요충분조건).
서로 다른 색(즉 서로 다른 \(D_4\) 궤도)에 해당하는 3개의 쿼크형 플라켓 \(w_1,w_2,w_3\)를 직교 배치하여 정팔면체를 구성하고, 그 과정에서 생기는 8개의 삼각 면 플럭스가 모두
\[
\Phi_\triangle \equiv 0 \pmod{12}
\]
을 만족하도록 하는 배치가 존재할 필요충분조건은
\[
\boxed{0\in K(w)}\quad(\text{즉, 플라켓 위상차 성분 중 하나는 반드시 }0)
\]
이다.

• 구성(충분성의 표준 예시)
  \(K=\{0,x,y,z\}\)일 때, 다음과 같이 3개의 플라켓을 배치할 수 있다:
  \[
  XY=[0,x,y,z],\quad YZ=[0,y,z,x],\quad ZX=[0,z,x,y],
  \]
  이 배치는 정팔면체의 모든 삼각 면에서 위상합이 \(0\pmod{12}\)가 되도록 만든다.

(B) 색중성과 폐합의 동치 (Color Neutrality as Closure)

위 정리가 만족되는(즉 \(0\in K\)인) 쿼크형 플라켓들에 대해, 3개의 플라켓이 정팔면체로 폐합될 때의 닫힘 조건은 색공간에서의 합 조건으로 재표현된다:
\[
\boxed{\omega(w_1)+\omega(w_2)+\omega(w_3)=0.}
\]
따라서 “정팔면체가 기하학적으로 틈 없이 닫힌다”는 것은 “세 플라켓이 서로 다른 색을 이루어 색중성(white) 을 만든다”는 것과 동치로 해석된다. 반대로 색이 겹치거나(동일 궤도/동일 색) 또는 \(0\notin K\)로 인해 정팔면체 실현 자체가 불가능하면, 3차원 셀로 폐합될 수 없으므로 그러한 유색 상태는 고립된 입자 형태로 존재하지 못한다(가둠).

5.2 메손 구성: 플럭스 루프와 반입자

메손(Meson)은 쿼크와 반쿼크의 결합입니다. 이는 기하학적으로 가장 단순한 닫힌 루프(Closed Loop) 구조입니다.

• 구조:
  어떤 플라켓 $w$ (색 $\omega$)와 그 전하 공액 플라켓 $C(w)$ (색 $-\omega$)가 인접하여 배치되면, 두 플라켓 사이의 경계면 혹은 전체 쉘에서 플럭스가 상쇄됩니다.
  \[\omega + (-\omega) = 0\]
• 해석:
  이는 공간상에서 시작된 색 플럭스 선(Line)이 무한대로 뻗어나가지 않고, 바로 옆의 반대 위상 플라켓을 통해 즉시 종결되어 닫힌 회로를 이루는 형태입니다. 따라서 메손은 격자 위에서 가장 작은 크기의 색중성 여기(Excitation) 상태입니다.

5.3 렙톤의 디커플링 (Geometric Decoupling of Leptons)

"왜 렙톤은 강한 상호작용(색전하)을 하지 않는가?"에 대한 Qaether 이론의 답은 명쾌합니다. 그들의 내부 기하학(2+2 패턴)이 정팔면체 블록을 만들 수 없기 때문입니다.

• 비-정합성 (Incompatibility):
  앞서 정의한 렙톤형 플라켓(성분 중복, 예: $[a, a, b, b]$)을 가지고 정팔면체를 구성하려 하면 모순이 발생합니다.
  • 3개의 면을 직교하도록 배치했을 때, 공유하는 모서리에서 $\mathbb{Z}_{12}$ 덧셈 규칙을 만족시키면서 동시에 닫힌 입체 도형을 만드는 해(Solution)가 존재하지 않거나,
  • 존재하더라도 그것은 모든 위상이 상쇄되어 버리는 평탄한 진공(Trivial Vacuum) 상태뿐입니다.
• 결론:
  렙톤형 위상 패턴을 가진 플라켓은 기하학적으로 다른 플라켓들과 결합하여 3차원 구조물(바리온)을 형성할 수 없습니다. 따라서 이들은 색 네트워크(강한 상호작용)에서 완전히 분리(Decoupled)되어, 독립적인 점 입자(Point Particle)처럼 행동합니다. 이것이 렙톤이 'Singlet'인 이유입니다.

5.4 가둠의 원리 요약

이 이론에서 색가둠(Confinement)은 힘의 세기 문제가 아니라 공간의 문법(Syntax of Space) 문제입니다.

"유색 플라켓(쿼크)은 그 자체로는 불완전한 타일(Tile) 조각이다. 우주라는 바닥을 빈틈없이 채우기(Tiling) 위해서는 반드시 서로 다른 3개의 조각(바리온)이나, 자신을 반전시킨 조각(메손)과 짝을 맞춰야만 한다."

이 기하학적 불가능성(Geometric Impossibility)이 바로 고립된 쿼크가 관측되지 않는 근본적인 이유입니다.

6. 에너지와 관측 가능성 (Energy and Observables)

앞선 절들에서 우리는 기하학적 구조가 어떻게 입자의 종류(쿼크, 렙톤)와 상호작용의 규칙(색전하, 가둠)을 결정하는지 살펴보았습니다. 이제 마지막 단계로, 이 기하학적 상태들이 물리적으로 측정 가능한 양인 에너지(질량)와 어떻게 연결되는지 정의합니다. 이 절의 핵심 원리는 "에너지는 입자의 스펙트럼(구성 성분)에만 의존하며, 색(내부 배열)에는 의존하지 않는다"는 것입니다.

6.1 게이지 불변 관측량: 트레이스 모멘트

물리량은 관측자의 좌표계나 내부 프레임 선택(게이지)에 따라 변하지 않아야 합니다. Qaether 이론에서 플라켓의 물리적 실체는 위상 벡터 \(w=[k_1, k_2, k_3, k_4]\)의 순서가 아닌, 그 구성 성분의 집합(멀티셋)입니다. 이를 수학적으로 추출하기 위해 트레이스 모멘트(Trace Moments)를 사용합니다.

• 스펙트럼 행렬 ($U_\square$):
  플라켓의 위상 성분들을 고유값으로 갖는 가상의 대각 행렬을 정의합니다.
  \[\lambda_j = e^{i \frac{2\pi}{12} k_j}, \quad U_\square(w) = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)\]
• 관측량 ($M_p$):
  행렬의 트레이스(대각합)는 기저 변환이나 순열에 대해 불변인 클래스 함수(Class Function)입니다.
  \[M_p(w) := \mathrm{Tr}(U_\square^p) = \sum_{j=1}^4 \lambda_j^p = \sum_{j=1}^4 e^{i \frac{2\pi p}{12} k_j}\]
  뉴턴의 항등식(Newton's Sums)에 의해, 충분한 차수($p=0, \dots, 11$)의 모멘트 집합 \(\{M_p\}\)를 알면 원래의 고유값 집합 ${k_i}$를 정보 손실 없이 완벽하게 복원할 수 있습니다. 따라서 트레이스 모멘트가 곧 게이지 불변인 물리적 상태 변수가 됩니다.

6.2 식별 에너지 함수 ($H_{\square, \text{id}}$)

일반적인 물리학의 해밀토니안이 연속적인 미분 가능성을 중시한다면, 이산 격자 이론인 Qaether 이론의 에너지는 정보이론적인 상태 식별자(Identifier)로서 설계됩니다.

• 히스토그램 ($n_m$):
  플라켓 내부의 위상 값 $m \in \{0, \dots, 11\}$이 몇 번 등장하는지를 세는 함수입니다. 이는 트레이스 모멘트의 역변환(이산 푸리에 변환)으로 정확히 얻어집니다.
  \[n_m(w) = \text{Count}(k_i = m)\]
• 에너지 정의 (B-진법 전개):
  서로 다른 스펙트럼 구성을 가진 플라켓은 반드시 서로 다른 에너지를 가져야 한다는 '완전 식별' 원칙에 따라, 에너지를 다음과 같이 정의합니다. ($B \ge 5$인 정수)
  \[\boxed{H_{\square, \text{id}}(w) := \sum_{m=0}^{11} n_m(w) B^m}\]
  이 함수는 히스토그램이 다르면 에너지 값이 겹치지 않도록 설계되었습니다.
• 물리적 해석 (Color Blindness):
  • 질량 쉘(Mass Shell): 같은 멀티셋 ${k_i}$를 가지는 플라켓들은 배열 순서가 달라도 히스토그램 $n_m$이 동일하므로, 정확히 같은 에너지를 가집니다.
  • 색전하의 축퇴: 앞서 3절에서 정의한 3가지 색 궤도($r, g, b$)는 모두 같은 멀티셋에서 파생된 것이므로, 이들은 에너지적으로 구분되지 않는 축퇴 상태(Degenerate State)입니다.
  • 이로써 "강한 상호작용(색)은 질량에 영향을 주지 않는다"는 게이지 이론의 기본 전제가 기하학적 구성 원리(멀티셋 vs 순열)를 통해 구현됩니다.

6.3 질량 분열과 C-대칭 (Mass Splitting & C-Symmetry)

표준 모형에서는 입자와 반입자의 질량이 같아야 한다(CPT 정리)고 요구하지만, Qaether 모델의 기하학적 에너지는 흥미로운 비대칭 가능성을 열어둡니다.

• 전하 공액의 에너지:
  전하 공액 $C$는 위상 $m$을 $-m \pmod{12}$로 바꿉니다. 에너지 함수에서의 항은 $n_m B^m$에서 $n_m B^{12-m}$으로 변합니다.
  \[H(K) = \sum n_m B^m \quad \neq \quad H(-K) = \sum n_m B^{12-m}\]
  일반적으로 $B^m \neq B^{12-m}$이므로, 입자와 반입자는 서로 다른 '기하학적 에너지(질량)'를 가질 수 있습니다.
• 해석:
  이는 Qaether 이론이 정의된 진공 자체가 특정한 배경장(Background Field)이나 카이랄성(Chirality)을 가지고 있어 C-대칭이 자발적으로 깨져 있음을 시사합니다. 이는 우주 초기 물질-반물질 비대칭(Baryon Asymmetry)의 기원을 설명할 수 있는 잠재적인 이론적 자원이 될 수 있습니다.

7. 결론 및 표준 모형과의 대응 요약 (Conclusion and Correspondence to Standard Model)

본 문서를 통해 제안된 Qaether 격자 이론은 연속적인 게이지 대칭성을 전제로 하는 기존의 양자장론과 달리, 이산적인 공간 구조와 기하학적 대칭성($D_4, \mathbb{Z}_{12}$)으로부터 표준 모형의 핵심 현상들을 유도해내는 새로운 프레임워크를 제시하였다. 이 이론은 쿼크의 3색 구조, 색가둠, 그리고 렙톤의 비-상호작용성을 "공간을 채우는 위상 기하학적 타일링 규칙"으로 재해석한다.

7.1 Qaether 이론과 표준 모형의 대응 (Correspondence Table)

Qaether 이론의 기하학적 요소들과 현대 입자물리학(표준 모형, 특히 QCD)의 대응 관계는 다음과 같이 요약된다.

Qaether 기하학적 요소	표준 모형 (Standard Model) 대응	비고
사이트 쿼터니온 ($\mathbf{q}_i$)	스핀 1/2, 약한 아이소스핀	$2\pi$ 회전 시 위상 반전($-\mathbb{I}$)
플라켓 위상 벡터 ($w$)	쿼크의 맛(Flavor) 및 질량 상태	구성 성분(멀티셋)이 에너지를 결정
$D_4$ 궤도 (3-fold)	색전하 (Color Charge: $r, g, b$)	기하학적 배열의 3중 퇴화
정사면체 (3-loop)	글루온 (Gluon Field)	색전하($\Delta \omega$)를 매개하는 공간 셀
정팔면체 폐합 (Octahedron)	바리온 (Baryon)	3색의 기하학적 닫힘 (Color Singlet) requires \(0\in K\)
루프 결합 ($w + C[w]$)	메손 (Meson)	입자-반입자 색 플럭스 상쇄
중복 패턴 (2+2, 4-equal)	렙톤, 뉴트리노 (Leptons)	기하학적 닫힘 불가 $\to$ 색 상호작용 배제
위상 결함 ($U_p = -\mathbb{I}$)	페르미온 여기 (Fermionic Excitation)	스핀 통계성을 갖는 기본 물질

7.2 이론의 핵심 성취 (Key Achievements)

• 색전하의 기하학적 유도:
  $SU(3)$라는 게이지 군을 선험적으로 가정하지 않고, 사각형($D_4$)에 서로 다른 4개의 위상을 배치하는 조합론적 문제로부터 "왜 색은 3가지인가?"를 증명하였다. 이는 내부 대칭성(Internal Symmetry)이 사실은 미시 공간의 기하학(Space-time Geometry)일 수 있음을 시사한다.
• 색가둠의 필연성 설명:
  가둠을 '강한 힘에 의한 구속'이 아니라 '불완전한 기하학의 타일링 불가능성'으로 정의했다. 유색 입자는 그 자체로는 공간을 닫을 수 없는 '열린 조각'이며, 오직 백색(Singlet) 상태가 되어야만 기하학적으로 완전한 3차원 객체(입자)로 존재할 수 있음을 보였다.
• 물질과 힘의 통합적 기원:
  스핀(쿼터니온)과 색(플라켓)을 서로 다른 격자 요소(Site vs Plaquette)에 할당하되, 이들이 상호작용하여 관측량($U_{ij}$)을 만들어내는 일관된 구조를 완성하였다. 특히 렙톤이 왜 색전하를 가지지 않는지를 에너지나 대칭성 파괴가 아닌 위상학적 호환성(Topological Compatibility) 문제로 명쾌하게 설명하였다.

7.3 향후 전망 (Future Prospects)

본 문서는 Qaether 이론의 운동학(Kinematics), 즉 '어떤 상태가 존재 가능한가'를 정의하였다. 이론의 완성을 위해서는 다음과 같은 동역학(Dynamics) 및 확장이 연구되어야 한다.

• 해밀토니안과 시간 발전: 정의된 에너지 함수 $H$를 바탕으로, 시스템이 시간이 지남에 따라 어떻게 상태를 바꾸는지(플라켓 플립 등)에 대한 마스터 방정식(Master Equation) 또는 경로 적분(Path Integral) 형식의 도입.
• 중력과의 통합: 격자 구조 자체의 곡률이나 결함을 일반 상대성 이론의 시공간 곡률로 해석할 수 있는 가능성 탐구. (테트라드 형식과의 유사성 활용)
• 우주론적 적용: 입자-반입자 에너지 비대칭($H(K) \neq H(-K)$)을 초기 우주 바리온 비대칭 문제 해결에 적용.

결론적으로, Qaether 이론은 추상적인 수학적 구조로 여겨지던 표준 모형의 대칭성들이, 사실은 "이산적인 플랑크 스케일 공간의 기하학적 문법"일 가능성을 강력하게 제시한다.