[v1.8] 해밀토니안

1. 힐베르트 공간과 기본 연산자

(1) 링크 자유도
각 edge $e$마다 힐베르트 공간은 다음과 같이 정의된다.
$$
\mathcal H_e = \mathrm{span}{ |k_e\rangle \mid k_e \in \mathbb Z_{12} }
$$
전체 시스템의 총 힐베르트 공간은 모든 edge 공간의 텐서곱이다.
$$
\mathcal H = \bigotimes_{e\in E}\mathcal H_e
$$

각 링크에 대해 $Z_{12}$ clock/shift 연산자를 도입한다.
$$
Z_e |k_e\rangle = \exp\left(\frac{2\pi i}{12}k_e\right) |k_e\rangle, \qquad
X_e |k_e\rangle = |k_e+1 \pmod{12}\rangle
$$
두 연산자 사이의 교환 관계(Commutation relation)는 다음과 같다.
$$
X_e Z_e = \exp\left(\frac{2\pi i}{12}\right) Z_e X_e
$$
이는 앞서 논의된 논문의 $Z_{12}$ rotor 모델과 동일한 구조로 이해하면 된다.

 

2. Gauss law와 플라켓 닫힘: 제약 Hamiltonian

(1) Vertex Gauss law
각 vertex $v$에 연결된 edge들($e \ni v$)에 대해 방향(orientation)을 고려한 "정수 흐름"의 발산 $G_v$를 정의한다.
$$
G_v = \sum_{e\ni v} s_{v,e} k_e \pmod{12}, \qquad s_{v,e} = \pm 1
$$
물리적 상태는 Gauss law sector $G_v \equiv 0 \pmod{12}$에 존재해야 한다. 이를 강제하기 위한 Hamiltonian penalty term은 다음과 같다.
$$
H_{\text{Gauss}} = \Lambda_G \sum_v \left( 1 - \delta_{G_v, 0}^{(12)} \right)
$$
여기서 $\delta^{(12)}$는 mod-12 Kronecker delta이다. $\Lambda_G$를 충분히 크게 설정하면, 저에너지 상태(Ground sector)는 사실상 Gauss law를 충족하는 상태로 제한된다.

(2) 플라켓 닫힘 (Flux Constraint)
각 정사각형 plaquette $\square$의 테두리를 이루는 네 개의 edge를 $\partial_\square = \{e_1, \dots, e_4\}$라 하고, 순환 방향을 맞추어 플라켓 자속 $K_\square$를 정의한다.
$$
K_\square = k_{e_1} + k_{e_2} + k_{e_3} + k_{e_4} \pmod{12}
$$
우리가 일관되게 적용해 온 "닫힘 섹터" 조건은 다음과 같다.
$$
K_\square \equiv 0 \pmod{12}
$$
마찬가지로 이를 위한 penalty term은 다음과 같다.
$$
H_{\text{flux}} = \Lambda_F \sum_\square \left( 1 - \delta_{K_\square, 0}^{(12)} \right)
$$
$\Lambda_F$도 크게 설정하면, 저에너지 섹터에는 자동으로 $\sum k_i \equiv 0$인 플라켓들만 남게 된다.
이때 각 플라켓의 상태는 네 정수의 멀티셋(Multiset)으로 표현되며, 색전하 정의의 정의역(Domain)이 완성된다.
$$
K_\square = \{k_1, k_2, k_3, k_4\}, \qquad \sum k_i \equiv 0
$$

 

3. 플라켓 에너지: ${k_i}$ 멀티셋 의존성

핵심 가정:
플라켓 에너지(또는 $\mathrm{Tr}U_\square$)는 edge 값들의 순서(sequence)가 아니라, 구성된 값들의 멀티셋 ${k_i}$ 패턴에만 의존한다.
즉, 같은 멀티셋 구성을 가진 24가지 순환열(sequence)은 모두 같은 에너지를 갖는다.

이를 Hamiltonian으로 구현하기 위해 각 플라켓에 대해 다음과 같은 형태를 도입한다.
$$
H_{\text{plaq}} = \sum_\square V(K_\square)
$$
여기서 $V$는 $(k_1, \dots, k_4)$의 정렬 순서에 무관한 함수이다. 즉, $D_4$ 궤도 내부에서는 완전한 축퇴(degeneracy)가 유지된다.
멀티셋 패턴에 따라 에너지를 분류하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $1+1+1+1$ (네 값이 모두 다름, 쿼크형):
  $$ V(K) = E_{\text{quark}}(K) $$
• $2+2$ (렙톤형):
  $$ V(K) = E_{\text{lep}}(K) $$
• $4$-equal (뉴트리노형):
  $$ V(K) = E_{\nu}(K) $$

특히 색전하 $\kappa$는 $E_{\text{quark}}(K)$ 퇴화층 내부의 $D_4$ 궤도 3개에 붙는 라벨(Label)이므로, Hamiltonian 레벨에서는 의도적으로 이를 구분하지 않고 축퇴 상태로 남겨둔다.

이를 구체화한 Hamiltonian 조각은 다음과 같다.

$$ H_{\text{plaq}} = \sum_\square \Big(V_{\text{1+1+1+1}}(K_\square) P_{\text{1+1+1+1}}^\square + V_{\text{2+2}}(K_\square) P_{\text{2+2}}^\square V_{\text{4}}(K_\square) P_{\text{4}}^\square \Big) $$ 여기서 $P_{\text{type}}^\square$는 해당 패턴(1+1+1+1, 2+2, 4-equal)을 투영(project)하는 국소 연산자(Projector)이다.

 

4. 정팔면체(바리온) 정합성과 14 대표 패턴 선호

이제 "정팔면체 정합성 + 색삼중 = 바리온 Singlet" 개념을 Hamiltonian에 반영한다.

각 정팔면체(Octahedron) $O$의 표면에는 8개의 삼각면, 12개의 edge, 그리고 내부를 가로지르는 3개의 직교 플라켓(XY, YZ, ZX 평면)이 존재한다. 이 3개의 직교 플라켓이 다음의 패턴을 공유하면 이를 "바리온 셀"이라 한다.
$$
K = \{0, x, y, z\}, \quad x,y,z \text{ 서로 다름}, \quad x+y+z \equiv 0 \pmod{12}
$$
이러한 조건을 만족하는 $K$의 패밀리는 총 14개가 존재한다. 이를 에너지 항으로 구현하면:
$$
H_{\text{oct}} = \sum_{O} U_{\text{oct}}(O)
$$
여기서 $U_{\text{oct}}(O)$는 정팔면체 $O$에 속한 세 직교 플라켓의 멀티셋 조합을 확인하여, 그 조합이 "정팔면체 정합 가능한 14류"에 속하면 에너지를 낮춰주고, 그렇지 않으면 페널티를 부여한다.
$$
U_{\text{oct}}(O) =
\begin{cases}
-E_B & \text{if } O \text{ contains a triple } (XY,YZ,ZX) \text{ with } K=\{0,x,y,z\},\ x+y+z \equiv 0 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
$E_B > 0$이면, 기저 상태(Ground state)에서는 가능한 한 많은 정팔면체가 바리온 정합 조건을 만족하는 쪽으로 정렬된다. 이로 인해 다음이 자연스럽게 유도된다.

1. 유색 쿼크 플라켓들은 정팔면체 바리온 셀 안으로 배치되려 한다.
2. 그 구조 안에서 $\omega_1+\omega_2+\omega_3=0$이라는 색중성 조건이 구현된다.

 

5. 정사면체(글루온) 상호작용: Adjoint 방향

정사면체(Tetrahedron)는 네 꼭짓점 벡터의 합이 0이 되는 3-simplex이며, 격자 구조상 각 정팔면체 사이에 끼워져 있다. 이를 "글루온 하나"로 간주하고, 정사면체 하나당 Adjoint 색 방향 $\alpha_{ij} = \omega_i - \omega_j$를 라벨링한다.

Hamiltonian 수준에서는 정사면체를 공유하는 두 정팔면체 $O, O'$ 사이에 "색 방향이 $\alpha_{ij}$"인 모드가 존재할 때 에너지 보상 또는 운동항(Kinetic term)을 부여한다. 도식적으로는 다음과 같다.
$$
H_{\text{tet}} = -J_g \sum_{\text{tetra } T} \sum_{(i,j)} \Pi_T(\alpha_{ij})
$$
여기서 $\Pi_T(\alpha_{ij})$는 정사면체 $T$가 주변 정팔면체들의 색 상태를 $\omega_i \to \omega_j$로 회전시키는 Adjoint 모드를 가졌을 때 1(또는 활성), 그렇지 않으면 0인 Projector와 유사한 연산자이다.
이는 "정사면체가 색 전달 채널로서 Adjoint 방향을 매개한다"는 사실을 Hamiltonian에 인코딩한 항이다.

 

6. 전체 Qaether Hamiltonian (요약)

위의 모든 요소를 종합하면, 로컬 Qaether Hamiltonian의 표준형(Canonical Ansatz)은 다음과 같다.

$$ \boxed{ H_{\text{Qaether}} = H_{\text{Gauss}} + H_{\text{flux}} + H_{\text{plaq}} + H_{\text{oct}} + H_{\text{tet}}} $$

각 항의 역할은 다음과 같다:

1. $H_{\text{Gauss}}$: $\Lambda_G \sum_v (1-\delta^{(12)}_{G_v,0})$
   • Vertex에서의 $Z_{12}$ Gauss law 강제 $\to$ 전하 보존 및 Torsion 제약.
2. $H_{\text{flux}}$: $\Lambda_F \sum_\square (1-\delta^{(12)}_{K_\square,0})$
   • 플라켓 닫힘 강제 $\to$ 네 값의 합 $\equiv 0 \pmod{12}$.
3. $H_{\text{plaq}}$: $\sum_\square V(K_\square)$
   • 에너지가 오직 멀티셋 ${k_i}$에만 의존하게 함.
   • Quark/Lepton/Neutrino 섹터의 기본 스펙트럼 형성.
   • $D_4$ 궤도(3개)는 완전히 축퇴 $\to$ 그 내부의 라벨이 색전하 $\kappa$가 됨.
4. $H_{\text{oct}}$: $\sum_{O} U_{\text{oct}}(O)$
   • 바리온 정합 조건($K=\{0,x,y,z\}, x+y+z\equiv0$)을 만족하는 구성을 에너지적으로 선호.
   • 바리온 색중성이 기하학적 및 에너지 최소화 조건으로 자동 구현됨.
5. $H_{\text{tet}}$: $\sim -J_g \sum_T \Pi_T(\alpha)$
   • 정사면체를 통한 색 흐름($\omega_i \to \omega_j$)에 대한 상호작용 항.
   • Emergent Gluon dynamics의 씨앗.

필요하다면 여기에 Edge kinetic term ($-t\sum_e (X_e + X_e^\dagger)$)이나 Chirality/위치에 따른 Mass term을 추가하여, 연속체 극한(Continuum limit)에서 Dirac + Yang–Mills + Standard Model과 유사한 거동을 유도하는 것이 다음 단계이다.

 

7. 이 Hamiltonian이 색전하 정의와 어떻게 맞물리는가?

핵심 연결 고리는 다음 세 가지로 요약된다.

1. $H_{\text{flux}}$로 $\sum k_i \equiv 0$ 섹터를 고정한다.
2. $H_{\text{plaq}}$에 의해 에너지가 멀티셋 ${k_i}$에만 의존하게 됨으로써, 각 $K$마다 $D_4$ 궤도 3개가 정확히 축퇴(Degenerate)된다.
   • 이 3개의 상태를 ${r, g, b}$로 라벨링한 것이 바로 색전하 $\kappa$의 정의이다.
3. $H_{\text{oct}}$로 특정 $K=\{0,x,y,z\}$ ($x+y+z \equiv 0$) 조합을 선호하게 만든다.
   • 이 14개 조합이 SU(3) Weight lattice 위의 정수점에 놓이며, 바리온/글루온/색가둠 구조가 창발(Emergent)하게 된다.

즉, 이 Hamiltonian은 의도적으로 색전하 $\kappa$를 에너지 퇴화층의 위상적 인덱스(Topological index)로 남겨두고, 정팔면체-정사면체 로컬 항들을 통해 QCD와 유사한 구조를 유도하도록 설계되어 있다.