[v1.8] Qaether 이론의 rigorous한 LGT 동형성 증명

0. 목표 (비공식 진술)

보이고 싶은 것은 다음과 같다.

정리 (비공식)

Qaether 이론에서 사용하는

• 링크 위상 $\theta_\ell = \frac{\pi}{6}k_\ell$ ($k_\ell\in\mathbb Z_{12}$)
• 플라켓 닫힘 조건 (flatness)
• 국소 게이지 변환

으로 정의된 “게이지 sector”가, 표준 $\mathbb Z_{12}$ lattice gauge theory (LGT)의 링크 변수, $\mathbb Z_{12}$ 게이지군, Wilson-type 국소 해밀토니안과 상태공간(구성 공간), 게이지군 작용과 gauge orbit, 국소 해밀토니안 및 윌슨 루프 관측량의 수준에서 동형이라는 것을 보인다.

단, 여기서 동형성은 “zero-flux(flat) 섹터”에 대한 진술이며, 일반적 LGT의 $f\neq0$ 섹터는 별도의 확장을 통해 포함될 수 있음을 명시한다.

 

1. 공통 세팅: 격자와 코체인

1.1 격자

$\Lambda$: 유한 3차원 CW-complex (예: FCC 격자 혹은 그 유한 부분).

• 0-셀: 정점 ($V$)
• 1-셀: 링크 ($E$)
• 2-셀: 플라켓 ($P$)
• 3-셀: 3D 셀 (Volume)

기하적으로는 FCC 정팔면체–정사면체 타일링을 상정하지만, 게이지 이론 레벨에서는 단순히 유한 3D CW-complex로 보면 충분하다.

1.2 $\mathbb Z_{12}$-코체인

$C^k(\Lambda,\mathbb Z_{12})$: 각 $k$-셀에 $\mathbb Z_{12}$ 값을 할당하는 $k$-cochain.

코경계(coboundary) 연산자:
$$
d : C^k(\Lambda,\mathbb Z_{12}) \to C^{k+1}(\Lambda,\mathbb Z_{12}),
$$
$$
d^2 = 0.
$$

표준 Abelian LGT에서:

• 게이지장: $a \in C^1(\Lambda,\mathbb Z_{12})$
• 곡률(플럭스): $f = da \in C^2(\Lambda,\mathbb Z_{12})$

 

2. 표준 $\mathbb Z_{12}$ lattice gauge theory

2.1 구성 공간

링크 변수: 각 링크 $\ell\in E$에 $a_\ell\in\mathbb Z_{12}$.
즉, 1-cochain
$$
a\in C^1(\Lambda,\mathbb Z_{12}).
$$
구성 공간:
$$
\mathcal A := C^1(\Lambda,\mathbb Z_{12}) \cong \mathbb Z_{12}^{|E|}.
$$

2.2 곡률(플라켓 변수)

각 플라켓(2-셀) $p\in P$에 대해
$$
f_p = (da)(p) \in\mathbb Z_{12}.
$$
즉, $f=da\in C^2(\Lambda,\mathbb Z_{12})$가 곡률이다.

2.3 게이지 변환

정점(0-셀)마다 $\alpha_x\in\mathbb Z_{12}$.

• 0-cochain: $\alpha\in C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})$.
• 게이지군: $G := C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})\cong \mathbb Z_{12}^{|V|}$.

작용:
$$
a \mapsto a' = a + d\alpha.
$$
곡률은 게이지 불변이다:
$$
f' = d(a+d\alpha) = da + d^2\alpha = da = f.
$$

2.4 해밀토니안 (Wilson-type)

플라켓별 포텐셜 $V:\mathbb Z_{12}\to\mathbb R$에 대해
$$
H_{\rm gauge}(a) = \sum_{p\in P} V\big(f_p\big)
= \sum_{p\in P} V\big((da)(p)\big).
$$

 

3. Qaether gauge sector를 cochain 언어로 재정식화

Qaether에서 실제로 쓰는 것은:

• 링크 위상: $\theta_\ell = \frac{\pi}{6} k_\ell$, $k_\ell\in\mathbb Z_{12}$
• 각 플라켓의 지향된 순환열 $[k_1,k_2,k_3,k_4]$
• 플라켓 닫힘: $\sum_i k_i\equiv 0 \pmod{12}$
• 에너지: 멀티셋 ${k_i}$ 또는 그 합/조합에 의존

이를 cochain 언어로 쓰면 다음과 같다.

3.1 Qaether 링크 변수

각 링크 $\ell$에 $k_\ell\in\mathbb Z_{12}$.
$$
k\in C^1(\Lambda,\mathbb Z_{12}).
$$
형식적으로 $a$와 동일한 타입의 데이터다.

3.2 Qaether 플라켓 변수와 닫힘 조건

플라켓 $p$의 순환열
$$
w_p = [k_1,k_2,k_3,k_4]
$$
은 $p$의 oriented boundary $\partial p$ 위에서 링크 값 $k_\ell$을 순서대로 나열한 것에 불과하다.

플라켓 닫힘 조건:
$$
\sum_i k_i \equiv 0 \pmod{12}
$$
은 cochain 언어로 정확히
$$
(dk)_p = 0
$$
에 해당한다.

따라서 Qaether가 “닫힘 섹터”라고 부르는 것은
$$
K_{\rm flat} := {k\in C^1(\Lambda,\mathbb Z_{12}) \mid dk=0},
$$
즉, flat connection sector와 완전히 동치다.
이는 표준 $\mathbb Z_{12}$ LGT에서의 zero-flux 섹터와 동일한 조건이다.

 

4. 동형성 1: 구성 공간 (flat sector)에서의 동형

4.1 상태공간 정의

링크 DOF 기준 힐베르트 공간:
$$
\mathcal H_{\rm gauge} = \mathbb C^{\mathcal A}
= \mathbb C^{\mathbb Z_{12}^{|E|}},
$$
$$
\mathcal H_{\rm Qaether} = \mathbb C^{\mathbb Z_{12}^{|E|}}.
$$
따라서 링크 변수만 보면 $\mathcal H_{\rm Qaether} \cong \mathcal H_{\rm gauge}$는 자명하다. 관건은 flat 조건을 어떻게 다루느냐이다.

Qaether gauge sector는
$$
\mathcal H_{\rm Qaether}^{\rm(flat)} := \mathbb C^{K_{\rm flat}},\quad
K_{\rm flat} = {k\mid dk=0}.
$$
표준 LGT 관점에서 보면, 이는
$$
\mathcal H_{\rm gauge}^{\rm(flat)} := \mathbb C^{{a\mid da=0}}
$$
와 동일한 부분공간이다.

4.2 정리 1 (Flat connection의 전위 표현)

정리 1.
격자 $\Lambda$가 단순연결이고 적절한 경계조건 아래 $H^1(\Lambda,\mathbb Z_{12}) = 0$이라 하자.
그러면 다음이 성립한다.
$$
dk=0 \quad\Longleftrightarrow\quad
\exists \phi\in C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})\ \text{s.t.}\ k=d\phi.
$$
이때 $\phi$는 상수 shift까지 유일하다.

증명 (스케치).

1. $dk=0$ $\iff$ $k$가 1-cocycle, 즉 $k\in Z^1(\Lambda,\mathbb Z_{12})$.
2. 정의상 $H^1(\Lambda,\mathbb Z_{12}) = Z^1/B^1$, 여기서 $B^1 = \mathrm{im}(d:C^0\to C^1)$.
3. $H^1=0$이면 $Z^1 = B^1$ 이므로, 모든 cocycle $k$는 어떤 $\phi$에 대해 $k=d\phi$ 꼴이다.
4. $d(\phi + c) = d\phi$ (상수 $c\in\mathbb Z_{12}$) 이므로 $\phi$는 상수 shift까지 유일하다. $\square$

이 정리는 두 이론 모두에 동일하게 적용된다:

• 표준 LGT에서 flat connection $a$는 항상 $a=d\phi$로 써짐.
• Qaether에서 flat 링크 패턴 $k$도 $k=d\phi$로 써짐.

결론.
Flat sector에서 Qaether와 $\mathbb Z_{12}$ LGT의 구성 공간과 gauge orbit 구조는 “동일한 1-cochain 공간 위에 같은 flat 조건을 둔 것”에 불과하다.

 

5. 동형성 2: 게이지군과 게이지 변환

5.1 표준 LGT

• 게이지군: $G = C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})$.
• 작용: $a\mapsto a+d\alpha$.

5.2 Qaether에서의 게이지 변환

Qaether에서는 국소 위상 재정의를 게이지로 본다:

가정 (Qaether gauge redundancy).
각 정점 $x\in V$마다 $\alpha_x\in\mathbb Z_{12}$를 택해
$$
k \mapsto k' = k + d\alpha
$$
를 허용되는 gauge redundancy로 정의한다.

이때:

• 플라켓 순환열 $w_p = [k_1,\dots,k_4]$의 멀티셋 ${k_i}$와 합 $\sum k_i$는
  $\sum (k_i + (d\alpha)_i) = \sum k_i + 0$ 이므로 gauge invariant하다.
• 이는 표준 LGT에서 곡률 $f_p=(da)_p$가 gauge invariant인 것과 같은 구조다.

따라서:

정리 2 (게이지군 동형성).
Qaether 이론에서 정의한 국소 위상 재정의는 표준 $\mathbb Z_{12}$ LGT의 gauge group $G=C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})$와 완전히 동일하며, $k\leftrightarrow a$ 식별 아래 게이지 궤도(gauge orbits) 역시 일치한다.

증명.
두 이론 모두에서 게이지군은 같은 집합 $C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})$이다. 두 이론의 구성공간이 $C^1(\Lambda,\mathbb Z_{12})$로 같고, 작용 규칙도 $a\mapsto a+d\alpha$, $k\mapsto k+d\alpha$로 동일하므로 $k\leftrightarrow a$ 식별 아래 orbit 구조가 일치한다. $\square$

 

6. 동형성 3: 해밀토니안/작용

6.1 표준 $\mathbb Z_{12}$ Wilson-type 해밀토니안 (복습)

$$
H_{\rm gauge}(a) = \sum_{p\in P} V\big((da)_p\big).
$$

6.2 Qaether 해밀토니안의 일반형

Qaether에서는 플라켓별로

1. 순환열 $w_p=[k_1,\dots,k_4]$,
2. 닫힘 조건: $\sum k_i\equiv 0$ (flat sector),
3. 에너지: 멀티셋 ${k_i}$에 의해

$$
H_{\rm Qaether}(k) = \sum_{p\in P} E_p\big({k_{\ell\in\partial p}}\big)
$$
을 쓴다.

이제 gauge-invariant “순수 게이지 부분”은, 각 $E_p$가 사실상 곡률 또는 그에 동치인 합만을 본다고 가정할 때 얻어진다.

가정 (Gauge part).
어떤 $V:\mathbb Z_{12}\to\mathbb R$가 존재하여
$$
E_p({k_i}) = V\Big( \sum_{i=1}^4 k_i\Big)
$$
(또는 그와 gauge-equivalent한 함수)로 쓸 수 있다고 하자. 여기서 $\sum_i k_i$는 $(dk)_p$에 해당한다.

이때:
$$
H_{\rm Qaether}^{\rm(gauge)}(k) := \sum_{p} E_p({k_i})
= \sum_p V\Big( \sum_{\ell\in\partial p} k_\ell\Big)
= \sum_p V\big((dk)_p\big).
$$

구성공간 식별 $a\equiv k$ 아래에서
$$
H_{\rm Qaether}^{\rm(gauge)}(k)
= \sum_p V\big((da)p\big)
= H{\rm gauge}(a=k).
$$

정리 3 (국소 작용 동형성; gauge part).
플라켓 에너지가 각 $p$에서 $\sum_{\ell\in\partial p} k_\ell$ (즉 $f_p$)에만 의존하도록 잡으면,
$$
H_{\rm Qaether}^{\rm(gauge)}(k) = H_{\rm gauge}(a=k)
$$
이다. 따라서 순수 게이지 해밀토니안 부분은 $\mathbb Z_{12}$ LGT와 완전히 동형이다.

덧붙임.
Qaether가 실제로 사용하는 전체 해밀토니안은

1. 이 gauge part
2. 플라켓 패턴 ${k_i}$의 더 세부적인 구조(1+1+1+1, 2+2, 4-equal, $D_4$-궤도, $\kappa$ 등)에 의존하는 color/matter part

의 합이라 볼 수 있다. 그중 gauge part만 LGT와 1:1 동형이고, 나머지는 LGT 위에 얹힌 emergent matter/색전하 상호작용으로 해석된다.

 

7. 동형성 4: Gauge-invariant 관측량 – 윌슨 루프

7.1 표준 LGT의 윌슨 루프

폐곡선 $C$ (1-cycle)를 따라:
$$
W(C;a) = \exp\left(\frac{2\pi i}{12}\sum_{\ell\in C} a_\ell\right).
$$
이는 $a\mapsto a+d\alpha$ 아래 불변이다.

7.2 Qaether Loop Observable

Qaether 링크 위상:
$$
\theta_\ell = \frac{\pi}{6}k_\ell.
$$
외부 loop phase:
$$
\Theta(C;k) = \sum_{\ell\in C} \theta_\ell
= \frac{\pi}{6} \sum_{\ell\in C} k_\ell.
$$
이에 대응하는 loop observable:
$$
\tilde W(C;k) := e^{i\Theta(C;k)}
= \exp\left(\frac{2\pi i}{12}\sum_{\ell\in C}k_\ell\right).
$$
구성공간 식별 $a\equiv k$ 아래
$$
\tilde W(C;k) = W(C;a=k).
$$

정리 4 (관측량 동형성).
링크 변수 식별 $k\leftrightarrow a$ 아래에서 Qaether loop observable $\tilde W(C;k)$는 $\mathbb Z_{12}$ LGT의 윌슨 루프 $W(C;a)$와 완전히 동일하다. 특히 gauge invariant observable algebra의 윌슨 루프 부분은 이론간에 동형이다.

 

8. 총 정리: Qaether ↔ $\mathbb Z_{12}$ LGT

한 번에 정리하면 다음과 같다.

정리 5 (Qaether–$\mathbb Z_{12}$ LGT 동형성; 비공식 but rigorous)

격자 $\Lambda$가 단순연결이고 $H^1(\Lambda,\mathbb Z_{12})=0$이라 하자.
Qaether 이론의 “링크 위상 + 플라켓 닫힘 조건 + 국소 게이지 변환”으로 정의된 게이지 sector는 표준 $\mathbb Z_{12}$ lattice gauge theory의 flat sector와 다음 의미에서 동형이다.

1. 구성 공간 / 상태공간 (flat sector):
   Qaether에서 닫힘 조건 $dk=0$을 만족하는 링크 구성의 집합 $K_{\rm flat}$은 $\mathbb Z_{12}$ LGT에서의 flat connection 집합 ${a\mid da=0}$와 $k\leftrightarrow a$ 식별 아래 동일하다.
   힐버트 공간 레벨에서 $\mathcal H_{\rm Qaether}^{\rm(flat)}\cong \mathcal H_{\rm gauge}^{\rm(flat)}$.
2. 게이지군 및 Gauge Orbit:
   두 이론 모두 게이지군 $G=C^0(\Lambda,\mathbb Z_{12})\cong\mathbb Z_{12}^{|V|}$를 가지며, 작용은 동일한 규칙 ($k\mapsto k+d\alpha$, $a\mapsto a+d\alpha$)를 따른다. 따라서 gauge orbit 구조는 완전히 일치한다.
3. 국소 해밀토니안 (Gauge Part):
   플라켓 에너지가 곡률 $f_p=(dk)p$ (또는 그에 동치인 합 $\sum k_i$)만 보는 부분에 대해,
   $$
   H{\rm Qaether}^{\rm(gauge)}(k) = H_{\rm gauge}(a=k)
   $$
   이며, 이는 두 이론의 순수 게이지 해밀토니안이 동일한 함수임을 의미한다.
4. 윌슨 루프 및 관측량:
   모든 폐곡선 $C$에 대해 Qaether loop observable $\tilde W(C;k)=\exp(\frac{2\pi i}{12}\sum_C k_\ell)$은 $\mathbb Z_{12}$ LGT의 윌슨 루프 $W(C;a=k)$와 정확히 일치한다.
   따라서 gauge-invariant observable algebra의 윌슨 루프 부분은 이론간에 동형이다.

추가 DOF의 해석:
Qaether에서 추가로 도입한 색전하 $\kappa$, 전하공액 $C$, 전하 $Q$, 이소스핀 $T_3$, 하이퍼전하 $Y$, 카이럴 연산자 $\Gamma_5$ 등은 이 $\mathbb Z_{12}$ LGT의 링크/플라켓 구성 위에, 플라켓 패턴 ${k_i}$와 위치 $x$에 의해 추가로 라벨링되는 emergent 자유도로 볼 수 있다.
즉, Qaether gauge sector는 $\mathbb Z_{12}$ LGT와 동형이며, 표준모형의 색·플레이버·카이럴 구조는 이 위에 정의된 추가적인 조합학적/기하학적 구조다.