[v1.9] Qaether: 정상파·결함·전파로 보는 질량과 중력의 창발

0) 기초정의

(K0.1) 2-complex
$$
X=(V,E,P), \qquad P=P_\triangle \sqcup P_\square
$$
여기서 $P_\triangle$는 길이 3 최소루프(삼각), $P_\square$는 길이 4 최소루프(사각)이다.

(K0.2) 셀 프레임(쿼터니안)
$$
\mathbf q_i = \exp\left(i\frac{\phi_i}{2}\mathbf n_i\cdot\boldsymbol\sigma\right) \in SU(2), \quad \phi_i \sim \phi_i + 4\pi
$$
즉 $SU(2)$ 스피너 프레임(=단위 쿼터니안) 성질을 채택한다.

(K0.3) 커넥션과 관측 링크
$$
\mathbf h_{ij} \in SU(2), \quad \mathbf h_{ji} = \mathbf h_{ij}^{-1}, \qquad
\boxed{U_{ij} := \mathbf q_i^{-1}\mathbf h_{ij}\mathbf q_j \in SU(2)}
$$
로컬 재표현(“게이지”) 변환에도 $U_{ij}$는 관측링크 정의로 불변하며, ${\mathbf q_i, \mathbf h_{ij}}$는 잉여(redundant) 변수이고 오직 $U_{ij}$만이 실재 데이터이다. (물리적 관측량은 $U_{ij}$의 루프 불변량으로 구성됨)

(K0.4) 플라켓 홀로노미와 관측량
$$
\boxed{U_p(i_1) := \prod_{k=1}^{n} U_{i_k i_{k+1}} \in SU(2)}
$$
기저점 변경은 켤레변환 $U_p \to g U_p g^{-1}$이므로, 플라켓 물리 관측량은 $U_p$ 자체가 아니라 $[U_p]$ (켤레류) 또는 $\mathrm{Tr}(U_p)$ 같은 클래스 함수로 취한다.

(K0.5) 결함(스피너-민감 곡률)
$$
\boxed{U_p = -\mathbb I \Rightarrow \text{spinor-sensitive defect (곡률 섹터)}}
$$
$SO(3)$에선 항등($\mathbb I$)과 구별되지 않지만, $SU(2)$에선 중심원소($-\mathbb I$)로 명확히 구별된다는 점이 핵심이다.

1) 구조 가정

도입 배경에서 “FCC형 정렬 시나리오”는 가능한 자기조직화 결과 중 하나로 언급됨.

• 결합수(차수):
  $$
  b_i := \deg(i), \qquad 0 \le b_i \le 12 \quad (\text{FCC 최근접 상한을 모델 가정으로 채택})
  $$
• 결합 패치 점유율 감쇠: 기하학적 면적이라기 보다는 정상파가 차지할 수 있는 유효 자유도/유효 부피(또는 모드 밀도)를 의미 $$ \mathfrak A_s \approx \pi l_p^2, \qquad \alpha := \frac{\mathfrak A_b}{\mathfrak A_s} \ll 1, \qquad \boxed{\mathfrak A_i(b_i) = (1-\alpha b_i)\mathfrak A_s} $$ $$ (1-\alpha b_i) > 0 \rightarrow \alpha < \frac{1}{12} $$

2) “단독 정상파 $l_p$” 기반 온사이트 에너지

도입 배경에서 “정상파 모드의 zero-point energy $E_q = \tfrac12\hbar\omega_q$”를 기본으로 둔다.

• 최소 모드 가정:
  $$
  \omega_q := \frac{2\pi c}{l_p}, \qquad \boxed{E_q := \tfrac12\hbar\omega_q}
  $$
• 국소 곡률 드레싱 계수 $K_i$ (플라켓 관측량은 $\mathrm{Tr}(U_p)$로 취해야 하므로 v1.9와 정합)
  $$ \boxed{ K_i := \begin{cases} 1 + \frac{\sum_{p\ni i}\omega_p\Bigl|1-\tfrac12\mathrm{ReTr}(U_p)\Bigr|}{\sum_{p\ni i}\omega_p}, & \sum_{p\ni i}\omega_p > 0 \\ 1, & \text{otherwise} \end{cases}} \quad (\omega_p > 0) $$
  • 온사이트 에너지 “한 덩어리” 정의 (ZPE 중복 카운트 방지):
    $$
    \boxed{
    E_{\rm sw}(i) := \frac {2E_q} {1+\exp \Bigl[ \xi \bigl((1-\alpha b_i)K_i - 1\bigr)\Bigr]}
    }
    $$
    여기서 $ \xi = \mathcal O(1)$는 “정상파 스펙트럼 드레싱 강도”이다.
  • 온사이트 정상파 에너지는 다음과 같이 변화분만 기여한다고 본다. \[ \Delta E_{\rm sw}(i):= \max \Bigl[ E_q-E_{\rm sw}(i), 0 \Bigr] \]
• 기초질량:
  $$
  \boxed{m_{\rm base}(i) := \frac{\Delta E_{\rm sw}(i)}{c^2}}
  $$

이 한 줄이 “결합↑ → 유효에너지↓ → 기초질량 형성, 양자요동의 근원”이라는 서술을 가장 깔끔하게 담는다.

3) 링크질량: “루프가 있어야 정지성(rest)으로 고정된다”

Qaether에서 링크 교란은 기본적으로 링크를 따라 전파할 수 있는 모드(광자 후보)로 존재한다.
루프(플라켓)가 형성되지 않는 링크 교란은 위상/홀로노미 제약에 의해 고정되지 않으므로 ‘정지성(rest) 에너지’로 집계하지 않는다.
반대로 링크가 어떤 플라켓의 경계에 포함되면, 그 링크는 플라켓 홀로노미(루프 제약)에 의해 국소 패턴으로 “잠길(lock)” 수 있고, 이때의 링크 에너지만을 정지성 바인딩 에너지(링크질량) 로 해석한다.

• 링크 관측량(방향 불변 클래스 함수):
  $$
  u_{ij} := 1 - \tfrac12\mathrm{ReTr}(U_{ij}) \ge 0
  $$
• 플라켓 경계 링크 게이트:
  $$
  \mathbb s_{ij} := \mathbf 1 \{\exists,p\in P:\ {i,j}\subset \partial p \}\in{0,1}
  $$
• 온사이트 링크에너지: 정점 \(i\)에서의 링크질량을 정의하려면 엣지 에너지를 기준으로두고 양 끝 정점에 균등 분배하면 다음과 같다. \[
  \boxed{
  U_{\rm link}(i):=\frac{J}{4}\sum_{j\sim i} \mathbb s_{ij} u_{ij}
  }
  \] 
• 그러면 다음과 같이 전역-국소 일치가 자동으로 성립한다. \[
  \sum_{i\in V}U_{\rm link}(i)=H_{\rm link}.
  \]
• 링크질량: 링크질량은 ‘정지성(영속적) 에너지’만 집계하며, 이는 루프 제약이 있을 때만 보존된다.
  $$
  \boxed{m_{\rm link}(i) := \frac{U_{\rm link}(i)}{c^2}}
  $$
• 링크 에너지(전역 링크항): $$ \boxed{ H_{\rm link} := \frac {J}{2}\sum_{\{i,j\} \in E} \mathbb s_{ij} u_{ij} } \qquad (J > 0) $$

“플라켓을 형성하지 못한 Qaether(루프 없는 링크)”도 상호작용은 가능하지만, 그 에너지는 ‘정지질량’으로 집계하지 않고 전파(광자) 섹터로 남긴다. 반대로 루프가 생기면(특히 결함/홀로노미 섹터) 링크 에너지가 국소 패턴으로 고정되어 링크질량으로 해석된다.

 

4) 삼각=글루온 / 사각=입자: 결함 코어 에너지(질량)로 구현

도입 배경의 역할 분담: 삼각 플라켓=글루온, 사각 플라켓=입자(국소 실체).
또 v1.9는 사각 플라켓의 결함 $U_p = -\mathbb I$를 기본 페르미온 패턴 후보로 둔다.

• 결함 지시자:
  $$
  \delta_p := \mathbf 1 \{U_p = -\mathbb I \}
  $$ 결함 판정: 이론적 정의는 위와 같이 두되, 수치 구현/측정에서는 \(\delta_p^{(\varepsilon)}=\mathbf1 \{\mathrm{ReTr}(U_p)\le-2+\varepsilon \}\)로 근접 판정을 허용하며 \(K_i\) 계산에는 \(\delta_p\)를 직접 쓰지 않고 \(\delta_p^{(\varepsilon)}\)만 사용한다. 결함에너지는 \(U_{core}\)가 전담한다.
• 코어 에너지(플라켓 에너지를 꼭짓점에 균등 분배):
  $$
  \boxed{
  U_{\rm core}(i) = \frac{\mu_\triangle}{3}\sum_{p\in P_\triangle:\ i\in p}\delta_p + \frac{\mu_\square}{4}\sum_{p\in P_\square:\ i\in p}\delta_p
  }
  $$
  $\mu_\triangle, \mu_\square > 0$는 각각 “글루온 코어”, “입자(페르미온) 코어”의 최소 에너지 스케일이다.
• 코어질량:
  $$
  \boxed{m_{\rm core}(i) := \frac{U_{\rm core}(i)}{c^2}}
  $$

여기서 $K_i$는 “연속적/약한 곡률 세기(드레싱)”에, $\delta_p$는 “스피너-민감 위상 섹터(센터 결함)”에 대응시켜 서로 다른 물리 의미로 분리했다. 이것이 중복을 최소화하는 포인트이다.

5) 최종 유효질량과 총 에너지

• 온사이트 정상파 에너지: \[
  \boxed{
  \Delta E_{\rm sw}(i):= \max \Bigl[ E_q-E_{\rm sw}(i), 0 \Bigr]
  }
  \]
• 총 해밀토니안(정적 에너지 함수)은 “변화분 정상파 + 정지성 링크 바인딩 + 결함 코어”의 합으로 정의한다:
  \[
  \boxed{
  H
  :=\sum_{i\in V}\Delta E_{\rm sw}(i) \;+ \;H_{\rm link} \;+ \;H_{\rm core}
  }
  \]
  즉,
  \[
  \boxed{
  H
  =\sum_{i\in V}  \max \Bigl[ E_q-E_{\rm sw}(i), 0 \Bigr]
  +\frac{J}{2}\sum_{\{i,j\}\in E}s_{ij}u_{ij}
  +\sum_{i\in V}U_{\rm core}(i)
  }
  \]
• 전역 유효질량(물리적 총 정지질량)은 다음과 같이 정의한다. \[
  \boxed{
  M_{\rm eff}:=\frac{H}{c^2}
  }
  \] 정점별 “유효질량 지도”는 전역 에너지의 일관된 분배로 다음과 같이 둔다.
  \[
  \boxed{
  m_{\rm eff}(i):=\frac{1}{c^2}\Bigl(\Delta E_{\rm sw}(i)+U_{\rm link}(i)+U_{\rm core}(i)\Bigr)
  }
  \]
  이때 분배의 정합성으로 다음이 항상 성립한다. 
  \[
  \boxed{
  \sum_{i\in V} m_{\rm eff}(i)=M_{\rm eff}
  }
  \]