[v1.8] 전하 (Q), 이소스핀 (T3), 하이퍼전하 (Y)의 정식화

9. 전하 \(Q\), 이소스핀 \(T_3\), 하이퍼전하 \(Y\)의 통합 정의

색전하 \(\kappa\)와는 독립적으로, 각 플라켓 모드(쿼크/렙톤)에 대해 전하 \(Q\), 이소스핀 \(T_3\), 하이퍼전하 \(Y\)를 정의한다.

(a) 전하 단위

전자기 전하 대신
\[
q_0 := \frac{e}{2}
\]
를 기준 단위로 쓰고, 다음과 같이 둔다.
\[
\hat Q := \frac{2Q}{e},\qquad Q = \frac{e}{2}\hat Q
\]

(b) 표준모형 관계식의 재정식화

\[
Q = T_3 + \frac{Y}{2}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\hat Q = 2T_3 + Y
\quad\Longleftrightarrow\quad
Y = \hat Q - 2T_3.
\]

따라서 모든 Qaether 모드에 대해
\[
\boxed{
\hat Q := \frac{2Q}{e},\qquad
Y := \hat Q - 2T_3,\qquad
Q = \frac{e}{2}\hat Q
}
\]
이 기본 정의이며, 자동으로 표준모형식 \(Q=T_3+Y/2\)을 만족한다.

 

10. 렙톤 sector: 2+2, 4-equal 플라켓

(a) 전하 \(Q_\ell\) 정의 (내부 이징 자유도 기반)

2+2 패턴은 게이지로 \(K=(0,0,6,6)\) 대표자를 선택할 수 있다
(일반적 형태 (\(k,k,k+6,k+6\))는 전체위상 shift로 \(k\to0\) gauge-fix 가능).

정의:
\[
\varepsilon_i =
\begin{cases}
1 & (k_i = 6)\\
0 & (k_i = 0)
\end{cases}
\qquad
\sigma_i\in \{\pm1\}
\]
여기서 \(\sigma_i\)는 물리 스핀과 독립인 내부 이징 자유도(입자/반입자 branch 라벨)이다.

전하:
\[
Q_\ell = \frac{e}{2}\sum_{i=1}^4 \sigma_i\varepsilon_i
\]

가능한 값:
\[
\sum \sigma_i\varepsilon_i \in \{-2,0,2\}
\]
\[
Q_\ell/e \in \{-1,0,+1\},\qquad \hat Q_\ell\in \{-2,0,+2\}
\]

4-equal (\(0,0,0,0\))은 항상 \(Q=0\).

(b) 렙톤의 (\(\hat Q,T_3,Y\))

\[
\begin{array}{c|ccc}
& \hat Q & T_3 & Y \\
\hline
\nu_L & 0 & +\tfrac12 & -1 \\
e_L & -2 & -\tfrac12 & -1 \\
e_R & -2 & 0 & -2 \\
(\nu_R) & 0 & 0 & 0
\end{array}
\]

모두 표준모형 값과 일치한다. 이들은 \(\kappa=0\)인 플라켓 패턴(2+2, 4-equal)에 해당한다.

 

11. 쿼크 sector: 1+1+1+1 플라켓

전하:
\[
Q_q/e \in \{-\frac13, +\frac23\},\qquad
\hat Q_q \in \{-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\}
\]

좌측 doublet:
\[
\begin{array}{c|ccc}
& \hat Q & T_3 & Y \\
\hline
d_L & -\tfrac23 & -\tfrac12 & +\tfrac13 \\
u_L & +\tfrac43 & +\tfrac12 & +\tfrac13
\end{array}
\]

우측 singlet:
\[
\begin{array}{c|ccc}
& \hat Q & T_3 & Y \\
\hline
d_R & -\tfrac23 & 0 & -\tfrac23 \\
u_R & +\tfrac43 & 0 & +\tfrac43
\end{array}
\]

본문에서는 대표성을 위해 (\(0,0,6,6\)) 패턴을 한 세대 charged lepton \(e\)의 기본 모드로 사용하였으나, 일반적인 2+2 패턴
\[
(a,a,b,b),\qquad a\neq b,\quad 2a+2b\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 12)
\]
역시 모두 렙톤류 플라켓으로 해석할 수 있다. 이들 2+2 패턴은 전하 \(Q\)가 \(\sum_i\sigma_i\varepsilon_i\)의 부호구조에 의해 동일하게 결정되며, 절대 위상값 (\(a,b\))은 전하가 아니라 질량·세대 구조에 대응한다. 따라서 (\(1,1,5,5\)), (\(2,2,4,4\)) 등은 동일 전하를 갖는 상위 세대(μ, τ) 또는 더 무거운 렙톤 모드로 자연스럽게 일반화된다.

 

12. 정리: Qaether 플라켓 위상 → SM (\(Q, T_3, Y\))

플라켓 패턴이

• 1+1+1+1 → 쿼크 (\(\kappa\neq0\)),
• 2+2 → charged lepton (\(\kappa=0, Q\neq0\)),
• 4-equal → neutrino (\(\kappa=0, Q=0\))

로 sector가 먼저 결정되고,

전하 \(Q\)는

• 쿼크: \(-\frac13 e, +\frac23 e\),
• 렙톤: \(-e,0,+e\)

로 정해지며,
\[
\hat Q=\frac{2Q}{e},\qquad Y=\hat Q - 2T_3
\]
을 적용하면 모든 상태가
\[
Q = T_3 + \frac{Y}{2}
\]
을 만족한다.

결론:

Qaether 격자 위상 패턴(플라켓 1+1+1+1 / 2+2 / 4-equal)과 SU(2)·SU(3) emergent labeling, 전하 공액 \(C\)만으로 표준모형 한 세대의 모든 입자(쿼크, 렙톤)의 (\(Q,T_3,Y\)) 양자수를 완전히 재현할 수 있다.