쉽게 설명하는 대수위상학의 사슬복합체

1. 사슬(chain)과 경계(boundary)

1.1 셀 복합체의 기본 아이디어

격자나 다면체를 다룰 때,

• 0–셀 = 점(vertex)
• 1–셀 = 선분(edge)
• 2–셀 = 면(face)
• 3–셀 = 부피(volume)

이런 식으로 “조각”을 세는 게 자연스럽다.
이 조각들을 정수 계수로 선형 결합한 것이 사슬(chain)이다.

예를 들어,
\[
c = e_1 + e_2 - e_3
\]
는 세 개의 엣지를 더하거나 빼서 만든 1–사슬.
‘–’ 부호는 방향을 바꿨다는 뜻. 참고로 점은 방향이 없고 면의 경우는 경계의 회전방향으로 방향을 결정하고 부피의 경우는 기본 축으로 결정.

 

1.2 경계 연산자 \( \partial \)

각 셀은 자신의 “경계”를 갖죠.

• 선분(edge)의 경계는 두 끝점.
  \[
  \partial e = v_\text{end} - v_\text{start}.
  \]
• 면(face)의 경계는 그 둘레의 엣지들의 합.
  예를 들어 사각형 면 (f)라면
  \[
  \partial f = e_1 + e_2 - e_3 - e_4.
  \]

경계 연산자는 항상 하나 아래 차원의 사슬로 간다

\[
\partial_2 : C_2 \to C_1,\quad
\partial_1 : C_1 \to C_0.
\]

그리고 중요한 성질이 있습니다.

\[
\boxed{\partial\circ\partial = 0}
\]
즉, “경계의 경계는 없다.”
(면의 둘레를 따라 한 바퀴 돌면 닫혀 있기때문.)

 

2. 주인공: 사슬군(chain group)과 코사이클(cocycle)

사슬들이 정수 계수를 가지면 \(C_k=\mathbb Z^{(\text{k–셀})}\)은 단순히 정수 격자.
여기에 경계 연산자 \(\partial_k\)가 작용.

그런데 어떤 1–사슬이 실제로는 어떤 면들의 경계라면, 그건 “닫힌 경로(closed loop)”와 동등하지 않다고 봐야 한다.

즉:

• “경계에서 온 것들” = 이미지(im)
• “경계가 없는 것들” = 커널(ker)

이 둘의 몫
\[
H_k = \ker\partial_k / \operatorname{im}\partial_{k+1}
\]
을 호몰로지 그룹(homology group)이라고 부름. 이게 위상적 형태를 분류한다.
예를 들어:

• 구(S²)는 구멍이 없어서 \(H_1=0\).
• 도넛(T²)은 고리 하나가 있어서 \(H_1=\mathbb Z\).

 

3. FCC 격자에선 뭐가 대응되나?

당신의 논문에서 쓰는 표기와 연결해보면:  

일반적 용어	이 논문에서의 대응	의미
\(C_2\)	2–셀 사슬 (삼각, 사각)	면들의 정수합
\(C_1\)	1–셀 사슬 (링크, 엣지)	엣지들의 정수합
\(\partial_2:C_2\to C_1\)	경계사상	면 → 둘레엣지
\(\Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)	위상 사상	각 엣지의 위상차
\(\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0\)	코사이클 조건	닫힌 면의 위상합은 0. “플라켓 경계의 위상합은 0” → 게이지 일관성
\(A=C_1/\operatorname{im}\partial_2\)	1–차 호몰로지	독립된 위상 위상차의 집합. 즉, 면의 경계로 만들어질 수 없는 엣지 조합
\([e] \in A\)	진짜 독립적인 위상 위상차의 클래스	엣지 동치류, 즉 위상적으로 구별되는 플럭스 클래스

즉,

• 면의 경계들(im ∂₂) 은 “게이지 중복” (물리적으로 0인 루프)

 

4. “차수(order)”가 뭐길래?

\([e]\in A\)가 “차수 \(n\)”를 가진다는 건,
\[
n[e]=0
\]
즉, 같은 엣지를 (n)번 더한 사슬이 어떤 면들의 경계로 닫힌다는 뜻.
위상적으로 말하면, 그 엣지는 (n)번 돌면 완전히 닫힌 루프가 된다는 것.

그래서 위상 위상차 \(\phi_e\)도 \(n\)번 더하면 \(2\pi\)의 배수가 된다:
\[
n\phi_e \equiv 0 \ (\bmod 2\pi).
\]
이게 곧 “위상차 양자화”의 수학적 버전.

 

5. 정수 대수로 보는 구조

이제 사슬군을 단순히 정수 벡터공간이라 보면,
\[
\partial_2: \mathbb Z^F \to \mathbb Z^E
\]
는 정수 행렬입니다.
그 행렬의 **Smith 정규형(SNF)**을 구하면,
\[
\operatorname{coker}(\partial_2) \cong
\mathbb Z^{r}\oplus
\mathbb Z/n_1\oplus\dots\oplus\mathbb Z/n_k,
\]
이때 \(n_i\)들이 바로 유한차수 위상량의 크기입니다.

당신이 얻은 결과는
\[
\operatorname{coker}(\partial_2)\cong\mathbb Z/12\mathbb Z.
\]
즉, “한 엣지는 12번 합쳐야 닫히는 위상”이라는 의미.
이게 \( \phi_e \in (2\pi/12)\mathbb Z \)로 이어진다.

 

6. 물리적 직관 요약

수학적 구조	물리적 의미
\(C_1, C_2\)	링크 위상차, 면 위상조건
\(\partial_2\)	면 → 둘레의 위상 합
\(\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0\)	게이지 일관성 (클로즈 루프의 위상합=0)
\(A=C_1/\operatorname{im}\partial_2\)	독립 위상 자유도
\([e]\)의 차수 \(n\)	\(n\)번 돌면 2π주기 복귀
\(\phi_e\in(2\pi/n)\mathbb Z\)	위상차의 양자화 단위

 

요약하면,

 

“사슬과 경계”는 공간의 정수 구조를, “호몰로지(혹은 코사이클)”는 그 안에서 진짜 닫히는 위상 변수를 분류한다.