쉽게 설명하는 대수위상수학의 사슬복합체

1. 사슬(chain)과 경계(boundary)

1.1 셀 복합체의 기본 아이디어

격자나 다면체를 다룰 때, 다음과 같이 정의할 수 있다.

• 0–(차원) 셀 = 점(vertex)
• 1–(차원) 셀 = 선분(edge)
• 2–(차원) 셀 = 면(face)
• 3–(차원) 셀 = 부피(volume)

이 셀들을 정수 계수로 선형 결합한 것이 사슬(chain)이다.

예를 들어,
\[
c = e_1 + e_2 - e_3
\]
는 세 개의 엣지를 더하거나 빼서 만든 1–사슬.
이 사슬을 결합할때 ‘–’ 부호는 방향을 바꿨다는 뜻으로 점은 방향이 없고, 선분은 방향을 가질 수 있으며, 면의 경우는 경계의 회전방향으로 방향을 결정하고 부피의 경우는 기본 축으로 결정.

 

1.2 경계 연산자 \( \partial \)

각 셀은 모두 다음과 같이 자신의 경계를 갖는다.

• 선분(edge)의 경계는 두 끝점으로 다음과 같이 표현 가능하다.
  \[
  \partial e = v_\text{end} - v_\text{start}.
  \]
• 면(face)의 경계는 그 둘레의 엣지들의 합으로 예를 들어 사각형 면 \(f\)라면 다음과 같이 표현이 가능하다.
  \[
  \partial f = e_1 + e_2 - e_3 - e_4.
  \]

즉, 경계 연산자는 항상 하나 아래 차원의 사슬로 가게 만든다.

\[
\partial_2 : C_2 \to C_1,\quad
\partial_1 : C_1 \to C_0.
\]

그와 더불어 경계 연산자는 중요한 성질이 있는데 그것은 경계의 경계는 없다는 것이다. (면의 둘레를 따라 한 바퀴 돌면 닫혀 있기때문)

\[
\partial\circ\partial = 0
\]

 

2. 주인공: 사슬군(chain group)과 코사이클(cocycle)

2.1 사슬군

사슬들이 정수 계수를 가지면 \(C_k=\mathbb Z^{(\text{k–셀})}\)은 단순히 정수 격자이고 여기에 경계 연산자 \(\partial_k\)가 작용한다.

어떤 1–사슬이 실제로는 어떤 면들의 경계라면 그건 닫혀 있더라도, 위상적으로 비자명한 루프가 아니다.

즉,

• 경계에서 온 것들 = 이미지(im)
• 경계가 없는 것들 = 커널(ker)

이 둘의 몫을 호몰로지 그룹(homology group)이라고 부르며 이게 위상적 형태를 분류한다.
\[
H_k = \ker\partial_k / \operatorname{im}\partial_{k+1}
\]

예를 들어:

• 구(S²)는 구멍이 없어서 \(H_1=0\).
• 도넛(T²)은 고리 하나가 있어서 \(H_1=\mathbb Z\).

 

2.2 코사이클

사슬군이 \( C_k \)라면, 그 쌍대인 공사슬군은
\[
C^k = \operatorname{Hom}(C_k, \mathbb Z)
\]
즉, 각 \(k\)-사슬에 정수를 대응시키는 선형함수들의 집합으로 이게 공사슬군(cochain group).

코경계 연산자 \( \delta \)

경계 연산자 \(\partial_{k+1}:C_{k+1}\to C_k\)의 쌍대사상으로 다음과 같이 정의한다.
\[
\delta_k : C^k \to C^{k+1}, \quad
(\delta_k \phi)(c_{k+1}) = \phi(\partial_{k+1} c_{k+1})
\]
즉, “경계를 먼저 취한 뒤 값을 매긴다”는 뜻으로 이때도 경계의 경계가 0이기 때문에 그 쌍대도 0이다

\[
\delta \circ \delta = 0
\]

코사이클과 코경계

• 코사이클(cocycle): \(\delta\phi=0\)인 공사슬. 즉, 닫힌 형태의 위상장
• 코경계(coboundary): 어떤 \(\phi=\delta\psi\)로 표현되는 공사슬. 즉, “정의역을 옮겨온” 형태.

코호몰로지

이들의 몫공간이
\[
H^k = \ker \delta_k / \operatorname{im} \delta_{k-1}
\]
이고, 이는 호몰로지의 쌍대이며 물리적으로 보면

• \(C_1\): 엣지 변수 (위상차)
• \(C^1\): 엣지에 값을 주는 함수, 즉 “위상장(potential)”
• \(\delta \Phi = 0\): 닫힌 루프의 위상합이 0 → 코사이클 조건
• 코호몰로지 \(H^1\): 게이지 변환으로 지워지지 않는 진짜 위상구조

 

 

3. FCC 격자에선 뭐가 대응되나?

일반적 용어	대응표기	의미
\(C_2\)	2–셀 사슬 (삼각, 사각)	면들의 정수합
\(C_1\)	1–셀 사슬 (링크, 엣지)	엣지들의 정수합
\(\partial_2:C_2\to C_1\)	경계사상	면 → 둘레엣지
\(\Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)	위상 사상	각 엣지의 위상차
\(\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0\)	코사이클 조건	닫힌 면의 위상합은 0. “플라켓 경계의 위상합은 0” → 게이지 일관성
\(A=C_1/\operatorname{im}\partial_2\)	1–차 호몰로지	독립된 위상 위상차의 집합. 즉, 면의 경계로 만들어질 수 없는 엣지 조합
\([e] \in A\)	진짜 독립적인 위상 위상차의 클래스	엣지 동치류, 즉 위상적으로 구별되는 플럭스 클래스

즉,

• 면의 경계들(im ∂₂) 은 “게이지 중복” (물리적으로 0인 루프)

 

4. “차수(order)”의 의미

\([e]\in A\)가 “차수 \(n\)”를 가진다는 건,
\[
n[e]=0
\]
즉, 같은 엣지를 \(n\)번 더한 사슬이 어떤 면들의 경계로 닫힌다는 뜻.
위상적으로 말하면, 그 엣지는 \(n\)번 돌면 완전히 닫힌 루프가 된다는 것.

그래서 위상 위상차 \(\phi_e\)도 \(n\)번 더하면 \(2\pi\)의 배수가 된다:
\[
n\phi_e \equiv 0 \ (\bmod 2\pi).
\]
이게 곧 “위상차 양자화”의 수학적 버전.

 

5. 정수 대수로 보는 구조

이제 사슬군을 단순히 정수 벡터공간이라 보면, 다음은 정수행렬이다.
\[
\partial_2: \mathbb Z^F \to \mathbb Z^E
\]
그 행렬의 Smith 정규형(SNF)을 구하면,
\[
\operatorname{coker}(\partial_2) \cong
\mathbb Z^{r}\oplus
\mathbb Z/n_1\oplus\dots\oplus\mathbb Z/n_k,
\]
이때 \(n_i\)들이 바로 유한차수 위상량의 크기.

따라서 결과는 다음과 같다. 즉, “한 엣지는 12번 합쳐야 닫히는 위상”이라는 의미.
\[
\operatorname{coker}(\partial_2)\cong\mathbb Z/12\mathbb Z.
\]
이게 \( \phi_e \in (2\pi/12)\mathbb Z \)로 이어진다.

 

6. 물리적 직관 요약

수학적 구조	물리적 의미
\(C_1, C_2\)	링크 위상차, 면 위상조건
\(\partial_2\)	면 → 둘레의 위상 합
\(\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0\)	게이지 일관성 (클로즈 루프의 위상합=0)
\(A=C_1/\operatorname{im}\partial_2\)	독립 위상 자유도
\([e]\)의 차수 \(n\)	\(n\)번 돌면 \(2\pi\)주기 복귀
\(\phi_e\in(2\pi/n)\mathbb Z\)	위상차의 양자화 단위

 

요약하면,

 

“사슬과 경계”는 공간의 정수 구조를, “호몰로지(혹은 코사이클)”는 그 안에서 진짜 닫히는 위상 변수를 분류한다.