양밀스 난제

양–밀스(Yang–Mills) 질량 간극(mass gap) 난제

4차원(3+1)에서 컴팩트 단순 리군(예: SU(2), SU(3))에 대한 순수 양–밀스 이론이

1. 수학적으로 잘 정의된 양자장(QFT)으로 존재하고,
2. 바닥상태(진공) 위 스펙트럼에 0이 아닌 유한한 간극 \(m>0\)이 있음을 증명하라.

이를 보이면 클레이 수학연구소는 상금 100만 달러를 수여.

 

목차

1) 양–밀스 이론이란?

게이지장 \(A_\mu(x)\) 가 비가환 군 G (예: SU(3))의 리대수 값이며, 장세기(강도)는 $$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+[A_\mu,A_\nu]$$

라그랑지안: $$\displaystyle \mathcal L_{\rm YM}=-\frac{1}{4g^2}\,\mathrm{Tr}\,(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$$

게이지대칭을 보존하려면 \(\tfrac12 m^2\,\mathrm{Tr}(A_\mu A^\mu)\) 같은 질량항은 허용되지 않는다.

2) 그런데 왜 ‘질량 간극’이 문제인가

라그랑지안에 질량항이 없어도, 양자 효과와 강결합 때문에 저에너지에서 무질량 들뜸이 사라진다는 것이 물리학적 정설입니다.

스펙트럼 형태: $$\mathrm{Spec}(H)=\{0\}\cup [m,\infty),   \quad m>0$$

동치 서술(유클리드 형식): 적당한 국소 연산자 O에 대해 큰 거리 r에서 다음과 같이 지수 감쇄. $$\langle O(x)O(0)\rangle \sim e^{-mr}/r^{\alpha}$$

3) 쉬운 물리적 직관

• 가환 전자기(U(1)) 파동은 장거리에서도 쉽게 퍼짐(무질량).
• 비가환 YM은 자가상호작용이 강해, 매질의 유효 장력처럼 작동 → 최저 모드 에너지 > 0 (간극).

드럼막의 최저 고유진동수가 0이 아니듯, YM의 장거리 자유 모드는 억제.

4) QCD와의 연결

• 현실의 강한힘 QCD = 양–밀스 + 쿼크. 쿼크를 빼면 순수 YM.
• 라그랑지안엔 스케일이 없지만, 양자화·재규격화로 동역학적 스케일 \(\Lambda_{\rm QCD}\) 생성(차원 추이).
• 질량 간극은 색가두림, 글루볼 질량 등과 직결. 수치 격자는 강력한 증거이나 엄밀 증명은 미완.

5) 수학적 요구사항

1. 존재성: 4D에서 컴팩트 단순군 G에 대한 YM의 연속 극한을 공리적 QFT(Wightman 또는 Osterwalder–Schrader)로 구성. 반사 양성, 군/회전 불변, 군집성 등.
2. 질량 간극: 진공 다음의 최저 고유값이 양수임(또는 상관함수 지수 감쇄) 증명.

6) 4차원이 특히 어려운 이유

• 베타함수 $$\beta(g)=-\beta_0\,g^3/(16\pi^2)+\cdots, \quad \beta_0>0 → \text{점근자유 (UV 약결합)}$$
• IR에서는 강결합으로 전환 → 섭동론 붕괴, 비선형·비가환성, 게이지고정과 그리보프 문제 등 난제.

7) 증명 로드맵

1. 격자 정식화(윌슨): $$\displaystyle S_{\rm lat}=\frac{\beta}{N}\sum_{\square} \mathrm{Re}\,\mathrm{tr}(\mathbf{1}-U_{\square})$$
2. 반사 양성, 지배적 수렴, 균일 경계 확보.
3. \(a\to0\) 연속 극한 존재와 OS 공리 충족 증명.
4. 게이지불변 연산자(윌슨 루프, 글루볼 연산자) 상관함수의 지수 감쇄 → 스펙트럼 간극 \(m>0\)
5. (선택) 면적법칙 등 가두림 지표를 함께 제시.

8) 흔한 오해 정리

• 간극 = 질량항 추가: 아님. 질량항은 게이지대칭을 깨서 금지. 간극은 비섭동적 동역학의 결과.
• 히그스와 동일? 다른 문제. 여기선 히그스장 없음(순수 YM).
• 수치 계산이면 충분? 클레이 문제는 수학적 존재 증명을 요구.

9) 핵심 요약

• 이론: $$\mathcal L=-\tfrac14 g^{-2}\,\mathrm{tr}F^2 \quad \text{(무질량, 비가환 게이지)}$$
• 양자효과: 점근자유 + 차원추이 → 스케일 \(\Lambda\) 생성
• 주장: $$\mathrm{Spec}(H)=\{0\}\cup[m,\infty), \quad m=\mathcal O(\Lambda)>0$$
• 과제: 4D에서 존재성 + 간극을 공리적으로 엄밀 증명

FAQ

포톤은 왜 무질량인데 YM은 간극이 생기나?

U(1)은 가환이라 자기상호작용이 없습니다. 비가환 YM은 IR에서 강결합이 되어 장거리 무질량 모드를 억제할 수 있습니다.

간극이 생기면 무엇이 관측 가능한가?

게이지불변 들뜸(특히 글루볼)의 최저 질량이 \(m\)이 됩니다. 격자 계산은 수치값을 제시하지만 수학적 증명은 아직 없습니다.

가장 큰 수학적 난관은?

강결합 IR 제어, 게이지고정의 엄밀성(그리보프), 반사 양성 유지, 연속극한 구성을 하나의 체계로 완성하는 것입니다.