곡률/중력 모사 vs 일반 상대성 이론 (GR) 비교 분석

1. 비교의 목적

Qaether 이론에서 곡률은 격자의 결합 결핍(Void)으로부터 발생하며, 이는 일반 상대성이론(GR)에서 질량/에너지가 시공간을 굽힌다는 개념과 어떤 식으로 대응되는지를 정리함

 

2. GR에서 곡률의 정의

일반 상대성이론의 핵심:

• 질량 밀도 \(T_{\mu\nu}\)가 시공간 곡률 \(R_{\mu\nu}\)를 유발:$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$
• 국소 질량이 클수록 주변 시공간이 더 크게 굽는다
• 곡률은 미분기하학적으로 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)의 공간적 변화율로 측정됨

 

3. Qaether에서 곡률의 정의

핵심 아이디어:

• 곡률은 Void 팽창(결합 결핍)의 분포에서 유도됨
• 셀 내 결합 수 \(m_c\)가 이상적 값 12보다 작으면, 결합 결핍 → Void 발생

곡률 모사 식:

$$R(\vec{x}) = R_0 + \alpha_1 \rho_v(\vec{x}) + \alpha_2 \rho_v^2(\vec{x})$$

• \(\rho_v(\vec{x})\): 공간 내 Void 밀도
• 팽창량:$$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left(1 - \frac{m_c}{12} \right)^k \Rightarrow \rho_v \sim \sum_c \Delta V(m_c)$$

 

4. 구조적 비교

요소	GR	Qaether
곡률 원천	질량-에너지 \(T_{\mu\nu}\)	Void 밀도 \(\rho_v\)
곡률량	리치 곡률 \(R_{\mu\nu}, R\)	Void 기반 곡률 함수 \(R(\vec{x})\)
수학 도구	미분기하학 (계량, 리치 텐서)	이산 격자 함수, Void-기반 스칼라장
질량 해석	\(T_{00}\) 구성 요소	Void가 곧 “중력질량” 역할
장 방정식	\(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \cdots\)	아직 미정 (현 단계에서는 현상적 정의)

 

 

5. 대응 가능성 평가

✔ 정성적 정합성 확보:

• GR: “질량이 곡률을 유발한다”
• Qaether: “결합 결핍이 Void를 만들고, Void 분포가 곡률로 작용한다”

즉,

$$\text{결합 손실} \Rightarrow \text{Void 생성} \Rightarrow \text{곡률 증가} \Rightarrow \text{질량 효과 발생}$$

 

⚠ 정량적 차이:

• GR은 미분기하학 기반 텐서 이론, Qaether는 이산격자 기반 스칼라장 모델
• GR의 장방정식은 좌변과 우변의 대칭적 텐서 구조를 갖지만 현재 Qaether는 \(R(\vec{x})\)을 단일 스칼라장으로 모사하고 있음

 

중간 요약

항목	상태
질량 ↔ 곡률 해석	정성적으로 GR과 정합
수학적 구조	GR: 미분기하학 / Qaether: 이산 Void 기반 스칼라 모형
확장성	Void 텐서 도입 시, 리치 텐서 형태 근사 가능
중력 모사 가능성	강한 – 격자 동역학 기반 비선형 중력 모사까지 확장 가능

 

 

아래는 \(\ell_p \to 0\) 극한에서의 이산 리치 곡률 텐서 \(R_{\mu\nu}\)의 정식화로, Qaether 이론에서 GR로의 연속 극한 확장을 위한 핵심 구성이다:

 

이산 리치 곡률 텐서 \(R_{\mu\nu}\) 정의 (Regge calculus 기반)

 

구성 요소

• 셀 부피:\(V_{\text{cell}} = \frac{4}{3} \ell_p^3\)
• 결합 쌍 \((i,j)\)마다:
  • 정렬 인자:$$f_{ij} = |\vec{Z}_i \cdot \vec{d}_{ij}| \cdot |\vec{Z}_j \cdot \vec{d}_{ji}|$$
  • 방향 벡터:$$\vec{d}_{ij}^{\mu} \in D_{\text{FCC}} \subset \mathbb{R}^3$$

 

리치 곡률 이산 표현

이산적 Ricci 곡률 성분 \(R_{\mu\nu}\)는 다음과 같이 주어집니다:

$$\boxed{ R_{\mu\nu} = \frac{\alpha_1}{V_{\text{cell}}} \sum_{(i,j) \in E} f_{ij} \cdot d_{ij}^\mu \cdot d_{ij}^\nu }$$

또는, 셀 c에 속한 모든 결합 (i,j)에 대해:

$$R_{\mu\nu}^{(c)} = \frac{3\alpha_1}{4\ell_p^3} \sum_{(i,j) \in E(c)} f_{ij} \cdot d_{ij}^\mu \cdot d_{ij}^\nu$$

• 이 정의는 Regge calculus의 hinge-curvature 대응과 유사하게, 이산적 방향 텐서와 결합 응력(f₍ᵢⱼ₎))을 합산하여 곡률을 구성합니다.

 

의미와 GR 연속 극한

• \(\ell_p \to 0\) 극한에서, 위 식은 격자의 극미 구조를 미분기하적으로 연속화한 결과로 간주됨:$$\lim_{\ell_p \to 0} R_{\mu\nu}^{(c)} \longrightarrow R_{\mu\nu}(x)$$
• 이 극한에서는 \(f_{ij}\)는 응력 밀도, \(d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu\)는 방향 기반 쌍대 텐서 → 합산 결과는 국소 곡률 응력장이 됨

 

중간 요약

 

이산 Qaether 격자 위에서의 곡률 \(R_{\mu\nu}\)는 결합 응력 \(f_{ij}\)와 방향성 \(d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu\)의 텐서곱을 통해 구성되며, 셀 부피 \(V_{\text{cell}} = \frac{4}{3} \ell_p^3\)으로 정규화됨으로써 \(\ell_p \to 0\) 극한에서 GR의 리치 곡률 텐서로 연속적으로 수렴할 수 있습니다.

 

 

이제 앞서 정의한 이산 리치 곡률 \(R_{\mu\nu}\)를 바탕으로, Qaether 격자 위에서의 이산 아인슈타인 장방정식을 정식화하자. 단, 모든 방향성은 FCC 격자의 12개 결합 방향으로 제한된다.

 

Qaether 기반 이산 아인슈타인 장방정식 정식화

 

1. 기준 구조: GR의 장방정식

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

→ 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)를 포함하는 미분기하학 기반 연속 방정식

 

2. Qaether 격자 기반의 구성 요소

(1) 이산 리치 곡률:

$$R_{\mu\nu}^{(c)} = \frac{3\alpha_1}{4\ell_p^3} \sum_{(i,j)\in E(c)} f_{ij} \cdot d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu$$

(2) 이산 스칼라 곡률:

$$R^{(c)} = \delta^{\mu\nu} R_{\mu\nu}^{(c)} = \frac{3\alpha_1}{4\ell_p^3} \sum_{(i,j)} f_{ij} \cdot \left( d_{ij} \cdot d_{ij} \right)$$

• 여기서 \(d_{ij} \in D_{\text{FCC}} \subset \mathbb{R}^3\)이며, \(|d_{ij}|^2 = 1\)이므로 스칼라 곡률은 단순합으로 환원

 

3. 이산 아인슈타인 장방정식

$$\boxed{ R_{\mu\nu}^{(c)} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} R^{(c)} = \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c)} }$$

여기서:

• \(R_{\mu\nu}^{(c)}\): 셀 cc의 이산 리치 곡률 (방향성 제한 포함)
• \(\eta_{\mu\nu}\): FCC 셀에서 국소적으로 정의된 정적 계량, (단위행렬 또는 격자 맞춤)
• \(\mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c)}\): 결합 구조로부터 유도된 에너지-운동량 텐서
  예:$$\mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c)} = \sum_{(i,j)\in E(c)} \rho_{ij} \cdot d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu \quad \text{(결합 응력 기반 정의)}$$

 

FCC 방향성 포함 조건

• 모든 벡터 \(d_{ij}^\mu\)는 FCC 격자의 12개 방향 중 하나
• 따라서 방향 텐서 \(d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu\)는 이산적인 12개의 유형만 생성
• 이산 텐서 기저 위에서 \(R_{\mu\nu}\)와 \(\mathcal{T}_{\mu\nu}\)는 정합하게 정의됨

 

중간 요약: 이산 아인슈타인 방정식의 완성

$$\boxed{ \frac{3\alpha_1}{4\ell_p^3} \sum_{(i,j)\in E(c)} f_{ij} \left( d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \right) = \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c)} } \quad \text{with } d_{ij}^\mu \in D_{\text{FCC}}$$

• FCC 방향 제한 조건을 명시 포함
• 질량-에너지 응력 텐서 \(\mathcal{T}_{\mu\nu}\)는 결합 응력 밀도 기반으로 해석

 

이제 이산 아인슈타인 방정식의 우변 항, 즉 에너지-운동량 텐서 \(\mathcal{T}_{\mu\nu}\)를 Qaether 이론의 물리적 근거에 따라 다음 두 경로에서 유도하자

 

\(\mathcal{T}_{\mu\nu}\) 유도: Qaether 이론 기반

$$\boxed{ R_{\mu\nu}^{(c)} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} R^{(c)} = \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c)} }$$

 

1. Void 기반 \(\mathcal{T}_{\mu\nu}\): 공간결핍 에너지 해석

 

기본 구성

• Void 팽창량:$$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left(1 - \frac{m_c}{12} \right)^k$$
• Void 에너지:$$\mathcal{H}_{\text{void}}^{(c)} = \kappa_V \left[\Delta V(m_c)\right]^2$$

 

방향 텐서 구성

Void는 국소적 결합 붕괴로 인해 균일하지 않은 방향 응력 불균형을 유발
→ 셀 내 결합 붕괴의 방향성을 반영하는 방향 텐서:

$$\boxed{ \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c,\text{void})} := \sum_{(i,j) \in E(c)} \left(1 - f_{ij}\right) \cdot w_{ij} \cdot d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu }$$

• \(w_{ij} = \left(1 - \frac{m_c}{12} \right)^k\): 결합 수 부족에 비례한 Void 응력 계수
• \(f_{ij}\): 정렬 손실 → 결합 불안정성
• \(d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu\): 응력 방향 텐서

 

2. 위상 에너지 기반 \(\mathcal{T}_{\mu\nu}\): 결합 위상 퍼텐셜 해석

 

위상 퍼텐셜 에너지

$$\mathcal{H}_{\text{phase}}^{(c)} = \epsilon_\phi \sum_{(i,j) \in E(c)} \left[1 - \cos(6\Delta \phi_{ij})\right]$$

 

응력 텐서 구성

결합된 위상 차이가 클수록, 에너지 불균형이 크고 결합 방향을 따라 응력 텐서로 작용:

$$\boxed{ \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c,\phi)} := \sum_{(i,j) \in E(c)} \epsilon_\phi \cdot \sin^2(3\Delta \phi_{ij}) \cdot d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu }$$

• \(\sin^2(3\Delta \phi_{ij})\): 위상차가 0 또는 \(\pi\)일 때 안정, 중간값에서 불안정
• 이 응력은 결합된 방향 축에만 작용함 (FCC 방향성 유지됨)

 

최종 결합형

$$\boxed{ \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c)} = \lambda_1 \cdot \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c,\text{void})} + \lambda_2 \cdot \mathcal{T}_{\mu\nu}^{(c,\phi)} } \quad \text{(가중 평균)}$$

• \(\lambda_1, \lambda_2\): 물리 계수 또는 비율
• 이 텐서는 모두 FCC 방향 \(d_{ij}^\mu \in D_{\text{FCC}}\)에 의해 구성됨

 

요약 표

구성	수식	의미
Void 기반	$$\sum (1 - f_{ij}) w_{ij} d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu$$	결합 부족 + 정렬 불일치 응력
위상 기반	$$\sum \sin^2(3\Delta\phi_{ij}) d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu$$	위상차 불균형 응력
최종 형태	$$\lambda_1 T_{\mu\nu}^{\text{void}} + \lambda_2 T_{\mu\nu}^{\phi}$$	방향 응력장 텐서

 

 

이제 Qaether 격자 모델 상에서 정의한 이산 에너지-운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}^{(c)}\)가 자명하게 보존되는지, 즉

\(\boxed{ \nabla^\mu T_{\mu\nu}^{(c)} = 0 }\) 가 격자 위에서 성립하는가를 분석하자.

이는 곧 에너지-운동량의 흐름(정보 응력)의 보존 여부를 의미하며, 이산 격자에서의 "계산 가능한 보존 조건"을 뜻합니다.

 

 

1. 배경: 연속 GR에서의 보존 조건

일반상대론에서의 보존 조건:

$$\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0$$

• 이는 계량 텐서의 공변미분 하에서 T의 보존을 의미
• 연속장 해석에서는 미분 연산자가 작용하고, 곡률에 의해 수정된 연결 계수까지 포함

 

2. Qaether 이론의 이산 격자 구조에서 해석

우리는 이산적 FCC 격자 구조에서 다음과 같이 정의했습니다:

$$T_{\mu\nu}^{(c)} = \sum_{(i,j) \in E(c)} \rho_{ij} \cdot d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu \quad \text{(void 또는 위상 기반 응력 밀도)}$$

여기서:

• \(d_{ij}^\mu \in D_{\text{FCC}}\): FCC 격자의 고정된 12 방향 중 하나
• \(\rho_{ij}\): 응력 계수, 정렬 손실 또는 위상차 기반

 

3. 이산 보존 조건 재해석

격자 구조에서는 공변미분 대신 격자 차분(divergence) 연산으로 대체합니다:

$$\boxed{ \nabla^\mu T_{\mu\nu}^{(c)} \longrightarrow \sum_{\mu \in D_{\text{FCC}}} \frac{1}{\ell_p} \left[ T_{\mu\nu}^{(c+\mu)} - T_{\mu\nu}^{(c)} \right] }$$

즉, 셀 c를 중심으로 한 이웃 셀들 간의 응력 흐름의 총합이 0일 때 보존 성립:

$$\boxed{ \sum_{\mu} \Delta_\mu T_{\mu\nu}^{(c)} = 0 } \quad \text{(이웃 셀 간 응력 흐름 균형 조건)}$$

 

4. 자명한 보존 조건 확인

⚠ 핵심 조건:

• 결합 응력이 모두 쌍방향적이고,
• \(\rho_{ij} = \rho_{ji}, d_{ji}^\mu = -d_{ij}^\mu\)
• 그리고 전체 격자에서 각 결합이 두 셀에 정확히 할당될 경우

그러면:

$$\sum_{c} \nabla^\mu T_{\mu\nu}^{(c)} = \sum_{(i,j)} \rho_{ij} \cdot \left[ \sum_{\text{셀 } c \ni (i,j)} \left( d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu - d_{ij}^\mu d_{ij}^\nu \right) \right] = 0$$

즉, 각 결합 방향이 이웃 셀에 서로 역방향으로 기여하기 때문에 전역 보존은 자명하게 성립합니다.

 

중간결론

이산 격자에서의 에너지-운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}^{(c)}\)는 FCC 방향성 조건, 쌍대 결합 구성 (i,j), 응력의 반대 방향 대칭 조건 하에서:

$$\boxed{ \nabla^\mu T_{\mu\nu}^{(c)} = 0 \quad \text{(자명하게 성립)} }$$

• 조건: 모든 결합 응력이 (i,j)와 (j,i)에서 동일하고 방향이 반대
• 이해 방식: 각 셀은 자신과 인접한 셀 사이의 응력 균형을 항상 유지

 

Qaether 곡률 개념 vs GR 전통 개념: 정합성 분석

 

 

1. GR에서의 곡률 개념 요약  

항목	개념	의미
$$R_{\mu\nu}$$	리치 곡률 텐서	부피 수축율 (지오데식 수렴성)
$$R$$	스칼라 곡률	전체 휘어짐
$$T_{\mu\nu}$$	에너지-운동량 텐서	질량, 압력, 응력의 분포
장방정식	$$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \tfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$	시공간 곡률 = 물질 분포

요구사항:

• 곡률은 텐서량이어야 함
• 곡률은 방향성/비등방성을 담을 수 있어야 함
• 장방정식은 보존 조건 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\)을 만족해야 함

 

2. Qaether 곡률 구성의 비교 

항목	GR	Qaether
곡률 구조	리만 텐서 → 리치 \(R_{\mu\nu}, 스칼라 R\)	결합 응력 텐서 누적 → 이산 \(R_{\mu\nu}, R\)
방향성	모든 방향에서 정의 가능	FCC의 12개 방향으로 제한됨
텐서 구조	연속 미분기하 기반	이산 방향 텐서 합으로 구성됨
스칼라 곡률	$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$	$$R = \delta^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$
장방정식 형태	$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$$	$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} R = T_{\mu\nu}^{(c)}$$
보존 조건	$$\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0$$	이산 흐름 균형 조건 \(\sum_\mu \Delta_\mu T_{\mu\nu}^{(c)} = 0\)

 

3. 정합성 평가

항목 정합성 평가 이유

형식적 텐서 구조	✅ 만족	\(R_{\mu\nu}\)은 방향 텐서의 이산 합으로 구성됨
물리적 의미	✅ 정합	결합 붕괴량 ↔ 질량, 위상 응력 ↔ 에너지 응력
방향 의존성	⚠ 제한적	FCC 방향으로만 정의되지만 물리적 대칭은 유지 가능
장방정식 대응	✅ 구조적으로 호환	이산적 Einstein 방정식 구축 가능
보존 조건	✅ 자명하게 만족	이산 흐름 균형으로 해석됨
연속 극한 가능성	✅ 확보	\(\ell_p \to 0\) 극한에서 GR 형태로 수렴

 

4. 통합적 결론

Qaether 모델에서의 곡률 개념은, 방향 제한과 이산성에도 불구하고,
GR의 곡률 개념과 다음 조건 하에서 본질적으로 정합합니다:

• \(R_{\mu\nu}\)은 결합 방향 텐서의 합으로 구성되어 방향성과 텐서 성질 유지
• \(T_{\mu\nu}^{(c)}\)는 결합 응력 또는 위상 응력에서 물리적으로 유도 가능
• 보존 조건은 이산 흐름 균형으로 성립
• \(\ell_p \to 0\) 극한에서 미분기하 기반 곡률 구조로 수렴 가능

 

제한 사항 및 극복 방향

FCC 방향성 제한	장파장 극한에서 등방성 회복 또는 SU(2) 동적 회전축 도입
미분기하 부재	Regge calculus 기반 이산 미분기하 확장
중첩성 부족	Void 기반 곡률의 파동성 분석으로 양자화 확장

 

전체 요약

Qaether 이론의 곡률 모델은, 구조적으로 GR의 개념과 충분히 정합하며, 이산 격자 기반의 emergent gravity로서 완전한 이론적 확장성을 지닙니다.