Qaether 연구일지

사슬군과 경계사상 \(\partial_k\)이 실제로 어떻게 작동하는지 확인하기 위해 FCC 격자의 국소 단위체인 정팔면체(octahedron)를 예로 들어보자.1. 정팔면체의 셀 구조정팔면체는 다음으로 구성됩니다:꼭짓점(0–셀): 6개\[V=\{\pm x,\pm y,\pm z\}\]엣지(1–셀): 12개각 축 방향 쌍 사이를 잇는 선분들.예: \((+x,+y), (+x,-y), (+x,+z), (+x,-z), \dots\)면(2–셀): 8개 삼각형예: \(T_{+x,+y,+z}\)는 꼭짓점 \(+x,+y,+z\)로 이루어진 삼각면.체적(3–셀): 1개 (전체 정팔면체)즉,\[C_0 = \mathbb Z^6,\quadC_1 = \mathbb Z^{12},\quadC_2 = \mathbb Z^{8},\qu..

표기·가정 (공통)\( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프 (주기경계).2–셀 \( F \):사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.사슬군 및 경계사상\[C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.\]각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는\[\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }\]한 엣지 \( e \)의..

플라켓의 위상차 합이 고정되고 각각의 위상차가 이산화되어 있을 경우 3가지 순환열 동치류가 존재한다는 증명이다.이 증명은 SU(3)에서 쿼크의 색이 3가지인것을 표현하기에 적합해서 중요한 구조로 보고 있다.더해서 이 쿼크류의 3가지 색을 각각 다른 순환열과 결합하여 정팔면체 결합까지 만들어 바리온 구조를 설명하려고 하고 있다.다만 현재 이 논문은 거기까지 간 내용은 아니고 수학적으로 존재성을 입증할 뿐이다. 본 논문을 genodo에서 DOI 받아서 researchgate에 올렸다. 수학적으로 증명만 하면 되서 엄밀하게 증명하였다. https://www.researchgate.net/publication/396437920_Counting_Distinct_Plaquette_Phase_Configuration..

14개 조합 → (a,b,c) 벡터화 → Cartan( \(T_3,T_8\) ) 투영 → 기본가중치 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저 좌표 순서로 정리됨.1) 14개 정팔면체 결합 가능 조합플라켓 네 값 중 \(0\)을 공통으로 포함하므로, 나머지 세 값만 (\(a,b,c\))로 본다. 합 조건에 따라 두 묶음.합 ≡ 0 (mod 12) — 11개\begin{aligned}&(-5,-4,-3),(-5,-1,6),(-5,1,4),(-5,2,3)\\&(-4,-2,6),(-4,-1,5),(-4,1,3)\\&(-3,-2,5),(-3,-1,4),(-3,1,2)\\&(-2,-1,3).\end{aligned}합 ≡ 12 (mod 12) — 3개\[(1,5,6),(2,4,6),(3,4,5).\]2) RG..

[문제1]정사각형 플라켓의 네 변에 위상차 (\(a,b,c,d\))가 배정되어 있다고 하자. 다음을 가정한다.1. 위상차는 \((-\pi,\pi]\) 범위에 있고, **최소 단위가 \(\pi/6\)** 로 양자화되어 있다.2. 네 값은 서로 달라 엄밀히 **오름차순** \((a3. 닫힘 조건: \(a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}\).이때 가능한 모든 \((a,b,c,d)\)를 구하라.[해답]편의를 위해 \(a=k_1\frac{\pi}{6},,b=k_2\frac{\pi}{6},,c=k_3\frac{\pi}{6},,d=k_4\frac{\pi}{6}\) 로 두고\[k_i\in{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},\quad k_1\]라고 하자. 닫힘 조건 \(a+b+c+d\eq..

* 앞서 이 문제는 https://qaether.tistory.com/entry/v12 에서 풀이했지만 완전히 수학적으로만 정의하고자 다시 여기서 정리한다. [문제]앞서 유도한 링크의 위상차 양자화 조건을 바탕으로 어떤 플라켓의 링크 4개의 위상차를 \((a,b,c,d)\) 로 표현하고 \(a,b,c,d\) 는 모두 다르다고 하자. 궤도 대칭과 반사 대칭은 같은 조합으로 본다고 했을때 \(a,b,c,d\) 4개 요소를 모두 써서 만들 수 있는 조합은 몇개인지 번사이드 정리 이용해서 풀어보자.[풀이]플라켓 4자리에 서로 다른 \((a,b,c,d)\)를 모두 한 번씩 배치한다고 하고, 회전(궤도 대칭)과 반사 대칭을 같은 조합으로 보겠습니다. 즉 정사각형의 이면군 \(D_4\) (원소 8개)가 작용하는 배..