[v2.0] Qaether 이론 공리 체계

제1장: 공간의 기하학적 구조

1.1 FCC 접촉 네트워크의 3-복합체

공리 1.1 (기본 셀 복합체)
공간은 다음과 같은 3-차원 셀 복합체 $X$로 주어진다:
$$
X=(V,E,P,C_3)
$$

• $V$: 0-셀 (사이트, Qaether 위치)
• $E$: 1-셀 (유향 링크). $i\to j$와 $j\to i$는 동일 접촉의 반대 방향
• $P=P_3\cup P_4$: 2-셀 (플라켓)
  • $P_3$: 정삼각 플라켓 (3-셀의 면)
  • $P_4$: 정사각 플라켓 (내부 구조 또는 기하학적 골격)
• $C_3$: 3-셀 (부피 셀)

 

1.2 혼합 3-셀 분해: 정팔면체 + 정사면체

공리 1.2 (Tetra–Octa 혼합 분해)
FCC 접촉 네트워크의 3-셀은 정팔면체와 정사면체로 혼합 분해된다:
$$
\boxed{C_3 = C_3^{(O)}\ \sqcup\ C_3^{(T)}}
$$

공리 1.3 (3-셀 경계는 삼각 플라켓으로만 구성)
각 정팔면체 $O\in C_3^{(O)}$ 및 정사면체 $T\in C_3^{(T)}$의 경계는 삼각 플라켓들로 닫혀 있다:
$$ \boxed{\partial_3 O=\sum_{i=1}^{8}\mathrm{sgn}(O,f_i)f_i,\quad f_i\in P_3} $$ $$ \boxed{\partial_3 T=\sum_{i=1}^{4}\mathrm{sgn}(T,f_i)f_i,\quad f_i\in P_3} $$

공리 1.4 (체인 복합체 항등식)
$$
\boxed{\partial_2\circ\partial_3=0}
$$
(부피의 경계(폐곡면)를 다시 경계 취하면(구멍 없음) 항상 0이다.)

 

1.3 물질 셀 vs 글루온 셀

정의 1.5 (물질 셀 / 게이지 셀 분류)

• 물질 셀(Matter Cell): 정팔면체 $O\in C_3^{(O)}$ 위에서 위상적으로 완결되고 저에너지인 닫힌 상태를 형성하는 구성.
• 글루온 셀(Gluon Cell): 정사면체 $T\in C_3^{(T)}$ 영역, 특히 그 표면인 삼각 플라켓에서 나타나는 국소 진동 및 곡률 여기 상태.

 

제2장: 이산 위상 자유도, $\mathbb{Z}_{12}$ 표준대표, 감김수

2.1 컴팩트 위상

공리 2.1 (U(1) 컴팩트성)
관측 가능한 위상은 원군(Circle Group) 원소이다:
$$
\boxed{\Phi\in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}}
$$

 

2.2 링크 위상 양자화 ($\mathbb{Z}_{12}$)

공리 2.2 (링크 위상)
각 유향 링크 $i\to j$에 대해 위상 변수는 이산화된다:
$$
\boxed{k_{ij}\in\mathbb{Z}_{12},\quad k_{ji}\equiv -k_{ij}\pmod{12}}
$$
이에 대응하는 연속 위상차는 다음과 같다:
$$
\boxed{\Delta\phi_{ij}=\frac{\pi}{6}k_{ij}\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}}
$$

 

2.3 플라켓 위상합: 표준대표(0..11) + 정수 리프트(감김수)

수정: $C_4$대칭에서 거울 대칭을 통해 반물질등을 정의하기 때문에 기존 Principal을 (+)로 모두 수정하고자 한다. 

정의 2.3 (플라켓 플럭스의 표준대표)
임의의 플라켓 $f\in P$에 대해 경계 링크 합의 $\mathbb{Z}_{12}$ 플럭스를
$$
\boxed{Q_f := \sum_{e\in\partial f}\mathrm{sgn}(f,e)k_e \pmod{12}}
$$
로 정의하며, 항상 표준대표
$$
\boxed{Q_f \in \{0,1,\dots,11\}}
$$
로 취한다. 물리적 위상은 다음과 같다:
$$
\boxed{\Phi_f \equiv \frac{\pi}{6}Q_f \pmod{2\pi}}
$$

정의 2.4 (정수 리프트/감김수 및 원형 거리)
플라켓마다 정수 감김수 $m_f\in\mathbb{Z}$를 도입하여 확장된 위상을 정의한다:
$$
\boxed{\tilde Q_f := Q_f + 12m_f\in\mathbb{Z}},\qquad
\boxed{\tilde\Phi_f := \frac{\pi}{6}\tilde Q_f \in\mathbb{R}}
$$
관측 가능한 홀로노미는 $\tilde\Phi_f\pmod{2\pi}$지만, $m_f$는 위상 섹터를 라벨링하는 중요한 물리적 데이터다.

또한 $Q_f$의 “0에서의 이탈 크기”는 원 위 최단 거리로 정의한다:
$$
\boxed{d_{12}(Q_f) := \min(Q_f,\ 12-Q_f)\in \{0,1,2,3,4,5,6\}}
$$

 

2.4 안정 섹터: $m\in \{0,1\}$만 허용

공리 2.5 (이진 감김수와 최저에너지 원리)
저에너지 유효 이론에서 플라켓 감김수는 다음 두 가지 상태만 안정적으로 존재한다:
$$
\boxed{m_f\in \{0,1\}}
$$

• $m_f=0$: 진공 (최저 에너지)
• $m_f=1$: 기본 여기 (최저 비자명 에너지)
• $m_f\ge 2$: 에너지 비용이 커서 불안정하며, 국소 붕괴 과정을 통해 $m=1$ 결함들의 조합으로 나뉜다.

공리 2.6 (저에너지 정합: 플라켓 플럭스 억제)
저에너지 물질/진공 구성에서 플라켓 플럭스의 표준대표는 강하게 억제되어
$$
\boxed{Q_f = 0}
$$
이 선호된다. 따라서 “진공 vs 기본 여기”의 차이는 $Q_f$값이 아니라 $m_f\in \{0,1\}$ 로 구분된다.

 

2.5 이산 시간과 광속

공리 2.7 (플랑크 시간 업데이트)
각 Qaether는 플랑크 시간 $t_p$ 단위로 상태를 갱신한다. 정보는 인접 링크를 통해서만 전달된다.

정의 2.8 (광속 유도)
정보 전달의 한계 속도는 다음과 같이 정의된다:
$$
\boxed{c:=\frac{\ell_p}{t_p}}
$$

 

제3장: 사각 플라켓 물질 분류 — 쿼크(색)와 렙톤(무색)

3.1 사각 플라켓 위상 벡터

정의 3.1 (사각 플라켓 위상 벡터)
사각 플라켓 $p\in P_4$에 대해 경계 링크의 부호 포함 순서열을 다음과 같이 표현한다:
$$
\boxed{w(p)=[a,b,c,d],\quad a,b,c,d\in\mathbb{Z}_{12}}
$$
(각 성분은 표준대표 $0..11$로 취한다.)

정의 3.2 (물질 사각 플라켓: 기본 여기 조건)
사각 플라켓이 물질로 작동하려면 저에너지 정합을 만족해야 한다. 따라서
$$
\boxed{Q_p = a+b+c+d \equiv 0\pmod{12},\quad m_p=1}
$$
인 경우를 기본 물질 플라켓으로 정의한다. (합이 12가 되어 $Q_p=0$이 되고 $m_p=1$인 상태)

 

3.2 쿼크 vs 렙톤

정의 3.3 (쿼크형 패턴)
기본 물질 플라켓 중 네 링크의 값이 모두 서로 다른 경우:
$$
\boxed{\mathcal{W}_{q}=\{w\in(\mathbb{Z}_{12})^4:\ Q=0,\ m=1,\ a,b,c,d\ \text{모두 상이}\}}
$$

정의 3.4 (렙톤형 패턴)
기본 물질 플라켓 중 네 값이 모두 서로 다르지 않고, 적어도 2개가 같은 경우:
$$
\boxed{\mathcal{W}_{\ell}=\{w:\ Q=0,\ m=1,\ \exists x\neq y\ \text{s.t.}\ a_x=a_y\}}
$$

 

3.3 동치 및 반입자

정의 3.5 (회전 동치 $C_4$)
$$
\rho([a,b,c,d])=[b,c,d,a],\quad C_4=\langle\rho\rangle
$$
동일 $C_4$ 궤도에 있는 패턴은 동일 물리 상태로 간주한다.

정의 3.6 (전하 공액/반입자 연산 $\mathcal{A}$)
$$
\boxed{\mathcal{A}([a,b,c,d])=[-d,-c,-b,-a]\ (\bmod 12)}
$$
(링크 방향 반전 및 값 부호 반전). 이 연산은 쿼크↔반쿼크, 렙톤↔반렙톤을 라벨링한다.

 

3.4 색 3중성(쿼크)과 무색성(렙톤)

정리 3.7 (쿼크형 패턴에서 3색 유도: $24\to 6\to 3$)
쿼크형($a,b,c,d$ 모두 상이)에서, 고정된 네 값의 집합 ${a,b,c,d}$에 대한 배열은 $4!=24$개이다. 회전군 $C_4$ 작용에 고정점이 없으므로 24개는 6개의 궤도로 분해되고, 이는 다시 $\mathcal{A}$에 의해 3쌍으로 짝지어진다:
$$
\boxed{24 \xrightarrow{C_4} 6 \xrightarrow{\mathcal{A}} 3}
$$
이 3쌍의 궤도가 색 ${r,g,b}$ 및 반색 ${\bar r,\bar g,\bar b}$에 대응한다.

정리 3.8 (렙톤형 패턴의 무색성)
렙톤형은 값의 중복으로 인해 회전 작용에 대한 안정자(고정 대칭)가 존재할 수 있으며, 쿼크형에서의 3중 축퇴(색) 구조가 강제되지 않는다. 따라서 렙톤형은 색 라벨을 갖지 않는(무색) 섹터로 취급한다.

 

제4장: $SU(2)$ 병렬 수송, 곡률, 글루온

4.1 기본 변수는 $h_{ij}\in SU(2)$

공리 4.1 (링크 연결 변수)
각 유향 링크 $i\to j$에 대해
$$
\boxed{h_{ij}\in SU(2),\quad h_{ji}=h_{ij}^{-1}}
$$

공리 4.2 (게이지 변환)
각 정점 $i$에서 $g_i\in SU(2)$에 대해 변환 규칙은 다음과 같다:
$$
\boxed{h_{ij}\mapsto g_i h_{ij} g_j^{-1}}
$$

 

4.2 병렬 수송과 플라켓 홀로노미

정의 4.3 (병렬 수송: 스핀 섹터)
정점 물질장(스핀 섹터) $\psi_i$에 대해
$$
\boxed{\psi_j = h_{ij}\psi_i}
$$
(필요 시 $\mathbb{Z}_{12}$ 위상 인자를 곱해 $\psi_j=e^{i(\pi/6)k_{ij}}h_{ij}\psi_i$로 확장 가능)

정의 4.4 (플라켓 홀로노미)
$$
\boxed{W_p=\prod_{(ij)\in\partial p} h_{ij}\in SU(2)}
$$

정의 4.5 (곡률각)
$$
\boxed{\theta_p=\arccos\left(\frac{\mathrm{Tr}W_p}{2}\right)\in[0,\pi]}
$$

 

4.3 글루온(삼각 플라켓 진동)

정의 4.6 (글루온)
글루온은 삼각 플라켓 $f\in P_3$에서 $\theta_f(t)$ 또는 $k_e(t)$가 시간에 따라 진동하는 여기 상태로 정의된다.

공리 4.7 (삼각-사각 결합: 색 변환의 기하학적 기원)
삼각 플라켓의 진동은 공유 엣지/꼭짓점을 통해 인접한 사각 플라켓의 위상 벡터 $w(p)$를 국소적으로 변화시킨다. 쿼크형 패턴의 경우 이 변화는 색 라벨 $\{r,g,b\}$ 간의 변환으로 관측된다. (즉, 색 $SU(3)$는 기본 대칭이 아니라 기하학적 결합 규칙에서 창발하는 유효 대칭이다.)

 

제5장: 정팔면체 물질 셀 — 바리온 및 렙톤의 기하학

5.1 쿼크/색원은 루프(1-사이클)

정의 5.1 (쿼크 루프)
쿼크(또는 렙톤) 플라켓 $p\in P_4$의 경계는 유향 루프(1-사이클)이다:
$$
\boxed{\Gamma(p):=\partial p\in Z_1(X)}
$$
Qaether 이론에서 “기본 색원(Color Source)”은 점이 아니라 이 루프 $\Gamma$ 로 정의된다.

 

5.2 직교 사각 결합이 정팔면체를 생성 (E 반영)

정의 5.2 (직교 사각 결합 = 정팔면체 1-스켈레톤 생성)
세 사각 플라켓 $p_x,p_y,p_z\in P_4$가 서로 직교 결합하여 그 경계들이 정팔면체의 모서리를 형성할 때:
$$
\boxed{\partial p_x\ \sqcup\ \partial p_y\ \sqcup\ \partial p_z = \mathrm{Skel}_1(O)}
$$
이를 정팔면체 생성 결합이라 한다. 여기서 $O\in C_3^{(O)}$는 대응되는 정팔면체 3-셀이다.

정의 5.3 (정팔면체의 8개 삼각 플라켓과 공유 조건)
정팔면체 $O$의 경계는 8개의 삼각 플라켓 $\{f_1,\dots,f_8\}\subset P_3$로 주어지며, 각 삼각 플라켓의 엣지는 내부 사각 플라켓들의 경계($\partial p_x,\partial p_y,\partial p_z$)와 공유된다.

 

5.3 바리온 정의

정의 5.4 (바리온 뼈대)
세 사각 플라켓 $p_x,p_y,p_z$가 모두 쿼크형 패턴($\mathcal{W}_q$)일 때, 그 직교 결합을 바리온 뼈대라 한다.

정의 5.5 (바리온: 완전 폐합 조건)
바리온은 바리온 뼈대를 포함하는 정팔면체 $O$에서 경계 삼각 플라켓들이 진공 섹터를 만족하는 완결 상태로 정의한다:
$$
\boxed{\forall i\in{1,\dots,8},\quad m_{f_i}=0\ \text{and}\ Q_{f_i}=0}
$$
(즉, 내부는 $m=1$인 쿼크들로 채워져 있으나 외부 표면은 진공으로 보여야 한다.)

 

5.4 렙톤 정의(사용자 지정) 및 렙톤 셀

정의 5.6 (렙톤 플라켓)
렙톤은 렙톤형 패턴 $\mathcal{W}_\ell$에 속하는 사각 플라켓 $p\in P_4$ (즉 $m_p=1,\ Q_p=0$, 그리고 값 중복 존재)으로 정의한다.

정의 5.7 (렙톤 셀: 정팔면체 내 완결 상태)
렙톤 셀은 정팔면체 $O\in C_3^{(O)}$ 내에서 렙톤 플라켓의 루프 $\Gamma(p)$가 결함면과 함께 위상적으로 닫히며, 경계 삼각 플라켓들이 진공 조건을 만족하는 완결 상태로 정의한다:
$$
\boxed{\forall i,\ m_{f_i}=0,\ Q_{f_i}=0}
$$
(바리온처럼 “정팔면체 완결” 구조를 갖지만, 내부 사각 플라켓 패턴이 쿼크형이 아닌 렙톤형이다.)

 

제6장: 동역학, 결함면, 가둠(Confinement)

6.1 해밀토니안

공리 6.1 (총 해밀토니안)
$$
\boxed{H = H_{SU(2)} + H_{\text{wind}} + H_{\text{prin}}}
$$

정의 6.2 ($SU(2)$ 곡률 에너지)
$$
\boxed{H_{SU(2)}=-J\sum_{p\in P}\cos\theta_p}
$$

정의 6.3 (감김수 결함 에너지)
$$
\boxed{H_{\text{wind}}=\mu\sum_{f\in P_3\cup P_4} m_f^2}
$$
($m_f=0$일 때 최저, $m_f \in {0,1}$ 선호)

정의 6.4 (플럭스 곡률 억제 항: 원형 거리 기반)
저에너지에서 $Q_f=0$을 선호하되, $Q_f=11\equiv -1$과 같은 경우를 $Q_f=1$과 동일한 에너지 비용으로 취급하기 위해 원형 거리를 사용한다(정의 2.4 참조):
$$
\boxed{H_{\text{prin}}=\kappa\sum_{f\in P_3\cup P_4} d_{12}(Q_f)^2}
$$
($\kappa>0$, 안정 섹터에서는 $Q_f=0$이므로 0)

 

6.2 결함면과 색원(루프)

정의 6.5 (결함면)
$m_f=1$인 2-셀들의 집합(또는 그들이 이루는 2-체인)을 결함면 $S$라 한다.

정의 6.6 (색원/쿼크 = 결함면의 경계 루프)
색원은 점이 아니라 결함면의 경계로 정의된다:
$$
\boxed{\partial S=\sum_a \Gamma_a}
$$
여기서 각 $\Gamma_a$는 사각 플라켓 경계와 같은 루프(쿼크/렙톤 루프)다.

정리 6.7 (3D 비안키형 제약: 결함면은 임의로 끝나지 못함)
$\partial_2\circ\partial_3=0$ 위상 성질에 의해, 소스가 없는 영역에서 결함면은 닫혀야 한다. 즉 결함면이 공간 상에서 끊기려면 반드시 그 끝에 경계 루프(색원)를 가져야 한다.

 

6.3 가둠(선형 퍼텐셜)의 정의

정의 6.8 (가둠)
두 색원 루프 $\Gamma_1,\Gamma_2$를 공간적으로 분리할 때, 이를 경계로 갖는 결함면 $S$의 최소 에너지 비용
$$
E(\Gamma_1,\Gamma_2)=\min_{\partial S=\Gamma_1+\Gamma_2}\ \mu |S|
$$
이 분리 척도 $R$에 대해 선형적으로 증가하면 가둠이라 한다. 그리고 $\sigma$는 스트링텐션:
$$
\boxed{E(R)\sim \sigma R\quad(R\to\infty)}
$$

 

제7장: 질량과 시간의 거시적 창발

7.1 질량 = 결합 결손(Binding Deficit)

공리 7.1 (질량의 기원)
질량은 “입자 자체의 본질적 속성”이 아니라, 결함(감김수/곡률/결함면)이 유발하는 국소 결합 손실로 인한 진공 에너지와의 차이이다.
$$
\boxed{M_{\text{eff}}\ \propto\ \Delta E = E_{\text{defect}}-E_{\text{vac}}>0}
$$
여기서 $E_{\text{defect}}$는 $H_{\text{wind}}+H_{\text{prin}}+H_{SU(2)}$에 의해 증가한 에너지다.

 

7.2 시간 지연(상대론적 효과)의 기하학적 유도

공리 7.2 (위상 연산 자원 보존과 시간 지연)
각 Qaether가 단위 시간에 처리할 수 있는 총 연산 자원 $\Omega$는 보존되며, 이는 내부 시간 진행과 공간적 활동으로 분배된다:
$$
\boxed{\omega_\tau^2+\omega_{\text{space}}^2=\Omega^2}
$$

• $\omega_\tau$: 내부 시간 진행 (Time update rate)
• $\omega_{\text{space}}$: 결함면 유지, 곡률 진동, 글루온 활동 등 공간적 상태 변화율
  • 따라서 결함(질량)이 크거나 운동량이 커서 $\omega_{\text{space}}$가 증가하면, 필연적으로 $\omega_\tau$가 감소하여 시간 지연(Time Dilation) 이 발생한다.