[v1.7] Qaether Lattice EM Theory

Qaether lattice EM 이론 = FCC 격자 위 \(U(1)\) 링크 위상 \(a_e\)의 동역학 + Qaether 전하 \(Q_i\)를 소스로 쓰는 Maxwell 이론

 

1. 자유도 (Degrees of Freedom)

(1) 사이트 변수 – SU(2) 쿼터니언

• 각 Qaether 셀:
  \[
  q_i \in SU(2) \cong S^3
  \]
• 이 안에 스핀(방향) + 내부 위상 정보 포함.

(2) 링크 변수 – SU(2) 상대위상

• 접촉하는 두 셀 \(i,j\):
  \[
  U_{ij} = q_i q_j^{-1} \in SU(2)
  \]

(3) U(1) 축 방향 프로젝션 – EM 위상

• 국소 축 \(m_i\) 따라 ‘t Hooft형 투영:
  \[
  u_{ij}
  = \frac{\mathrm{Tr} \big(\frac{1+m_i\cdot\sigma}{2} U_{ij}\big)}
  {\left|\mathrm{Tr} \big(\frac{1+m_i\cdot\sigma}{2} U_{ij}\big)\right|}
  = e^{i a_{ij}}
  \]
• 여기서 \(a_{ij}\)가 U(1) 링크 위상 (EM gauge field 역할).

(4) 위상 양자화 –  \(Z_{12}\) torsion

• FCC 2-complex에서 edge class \([e]\)가 정확히 12차 torsion:
  \[
  \text{ord}([e]) = 12
  \]
• 결과적으로 링크 위상:
  \[
  a_e \in \frac{\pi}{6}\mathbb Z \quad(\text{mod }2\pi)
  \]
  즉 \(Z_{12}\) 값만 허용.

 

2. 게이지 대칭 (\(U(1)\) on the lattice)

사이트별 \(U(1)\) 게이지 함수 \(\alpha_i\)에 대해:

\[
a_{ij} \to a_{ij}' = a_{ij} + \alpha_i - \alpha_j \quad (\text{mod }2\pi),
\]

이게 Qaether에서의 \(U(1)_\text{EM}\) 게이지 변환.

 

3. E, B 정의 (격자 버전)

(1) 전기장 \(E_e\)

• 링크 \(e\) 위의 위상 \(a_e(t)\)에 대해:
  \[ E_e \equiv C \dot a_e \]
• \(C\): 위상 관성 상수(나중에 \(c\)랑 매칭).

(2) 자기장 \(B_p\)

• 사각 플라켓 \(p\) (경계 링크 집합 \(\partial p\))에 대해:
  \[
  F_p \equiv \sum_{e\in\partial p} s_{p,e} a_e,
  \quad B_p \equiv F_p
  \]
• \(s_{p,e} = \pm1\): 플라켓 방향과 링크 방향 일치/반대 부호.
• \(F_p\)는 \(U(1)\) gauge 불변 → 플라켓 flux, 즉 격자형 B-field.

 

4. 동역학: Lagrangian / Hamiltonian

(1) compact 형태 (UV까지 포함)

• 링크 위상은 실제로 Z₁₂이므로,
  \[
  H = \sum_e \frac{1}{2C} E_e^2 - K \sum_p \cos F_p
  \]
• \(K\): 자기 stiffness (flux 비용).

(2) IR(소각) 근사 – Maxwell 형태

• \(F_p\ll1\)이면
  \(\cos F_p \approx 1 - \tfrac12 F_p^2\),
  상수항 버리고:
  \[
  H \approx \sum_e \frac{1}{2C} E_e^2
  + \sum_p \frac{K}{2} F_p^2
  \]
• 대응 Lagrangian:
  \[
  L = \sum_e \frac{C}{2}\dot a_e^2 + \sum_p \frac{K}{2} F_p^2
  \]

(3) 운동방정식 (무전하)

각 링크 \(e\)에 대해:

\[
C \ddot a_e + K \sum_{p\ni e} s_{p,e} F_p = 0
\]

E, B로 쓰면:

\[
\dot E_e = -K \sum_{p\ni e} s_{p,e} B_p
\]

\( \Longrightarrow \)연속극한에서 \(\partial_t \mathbf{E} = \nabla\times\mathbf{B}\) 구조와 동일.

 

5. 소스: Qaether 전하와 격자 가우스 법칙

(1) Qaether 전하

사이트 (i)에서 sign \(s_i=\pm1\)을 정의하면:

\[
Q_i = \frac{e}{6}s_i
\]

정사면체 셀 \(\mathcal T\)의 전하는:

\[ Q(\mathcal T) = \frac{e}{6}\sum_{i\in\mathcal T}s_i \in \{-\tfrac23,-\tfrac13,0,\tfrac13,\tfrac23 \}e \]

(2) 격자형 가우스 법칙

사이트 \(i\)에 붙은 링크 집합 \(\mathcal N(i)\).
링크 방향 부호:

• \(e=(i\to j)\)이면 \(s_{i,e}=+1\)
• \(e=(j\to i)\)이면 \(s_{i,e}=-1\)

그럼 가우스 법칙:

\[
\boxed{
\sum_{e\in\mathcal N(i)} s_{i,e} E_e
= \frac{Q_i}{\varepsilon_0}
= \frac{e}{6\varepsilon_0}s_i
}
\]

• 좌변: 전기장의 lattice divergence
• 우변: Qaether 전하 밀도.

(3) 전하 보존 (연속 방정식)

Hamilton 방정식을 쓰면:

\[
\dot E_e = - \frac{\partial H}{\partial a_e}
\]

이를 사이트에서 sum하면:

\[
\frac{d}{dt}\Big(\sum_{e\ni i}s_{i,e} E_e\Big) + (\nabla\cdot j)_i = 0 \]

\(\Longrightarrow \dot\rho_i + (\nabla\cdot j)_i = 0 \) 형태의 격자형 전하 보존식 자동 만족.

 

6. 연속극한: Maxwell with sources

FCC 격자 spacing \(l_p\), 링크 중앙 좌표 \(\mathbf x_e\)를 도입하면:

• \(a_e \approx \mathbf A(\mathbf x_e)\cdot\mathbf l_e\)
• \(E_e \approx \mathbf E(\mathbf x_e)\cdot\mathbf l_e\)
• \(F_p \approx (\nabla\times \mathbf A)\cdot\hat n_p \Delta S\)
• \(Q_i / V_{\rm cell} \approx \rho(\mathbf x_i)\)

이렇게 두고 continuum limit을 취하면:

• 가우스 법칙:
  \[
  \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
  \]
• Faraday + Ampère–Maxwell:
  \[
  \partial_t \mathbf{B} = -\nabla\times\mathbf{E},\quad
  \partial_t \mathbf{E} = \nabla\times\mathbf{B} - \mathbf{j}/\varepsilon_0
  \]
• 게이지 선택(Coulomb 등)에서:
  \[
  \partial_t^2\mathbf A - c^2\nabla^2\mathbf A = 0,\quad
  c^2 = \frac{K}{C}
  \]

→ 표준 Maxwell 방정식(with sources) 와 구조적으로 동일.

 

7. 물리적 해석

• Photon
  = FCC 격자 위 U(1) 링크 위상 \(a_e\)의 small fluctuation 모드(파동).
• 전하
  = Qaether 사이트 sign \(s_i\)에서 오는 e/6 단위 소스 \(Q_i\).
• EM field
  = \(a_e\)·\(E_e\)·\(B_p\)의 집합이고,
  compact Z₁₂ 구조 덕분에 UV에서도 유한한 lattice EM 이론으로 잘 정의됨.