재미로 해보는 Qaether 홀로노미의 색상 스펙트럼 매핑

핵심 아이디어

Qaether의 홀로노미(Plaquette holonomy)를 단일 ‘위상 각도’로 대표할 때, 그 범위를 Principal Value ($[-\pi, \pi)$)로 고정하면 일단 값이 유일해지고, 다음으로 에너지 함수를 $E(\phi) = E(|\phi|)$ 꼴(우함수)로 정의하기 용이해져, Red = 평형(0), Blue = 경계($\pm\pi$)인 ‘대칭 에너지-색상 스펙트럼’이 자연스럽게 도출된다. 이 체계는 기존의 D4-궤도 기반 3-색(‘QCD color’) 라벨과 충돌하지 않으며, 그 위에 별개의 ‘에너지 시각화 색(‘spectral color’)’ 층으로 얹힐 수 있어서 만들어 봤다. 이렇게 색으로 정의하면 눈으로 보기에 편할것 같아서 이렇게 만들어 봤다.

 

1. Qaether 홀로노미를 “주치 위상”으로 정의하기

Qaether에서 링크 위상이 $\pi/6$ 단위로 양자화($\mathbb{Z}_{12}$)된다는 토대 위에서, 각 플라켓(Plaquette, $p$)에 대한 유효 위상(아벨형 표현)을 다음과 같이 정의한다.

$$ \Phi_p \equiv \sum_{e \in \partial p} \phi_e \pmod{2\pi} $$

이후, 이 대표값을 주치(Principal Value) 범위로 고정한다.

$$ \phi_p := \mathrm{PV}(\Phi_p) \in [-\pi, \pi) $$

• 유일성: $\mathrm{PV}$는 $2\pi$ 주기 동치류 중에서 $[-\pi, \pi)$에 속하는 단 하나의 대표값을 선택한다.
• 경계 접합: $+\pi$는 범위에 포함되지 않고 $-\pi$로 귀속됩니다. 이는 시각화 시 “Blue가 양 끝점에서 서로 맞닿는” 위상적 연속성을 수학적으로 깔끔하게 보장한다.

 

2. 12단계($\mathbb{Z}_{12}$) 위상의 $[-\pi, \pi)$ 정밀 매핑

링크 및 홀로노미 위상을 정수 $k \in \mathbb{Z}_{12}$로 둘 때, $\phi(k) = \frac{\pi}{6}k$를 $[-\pi, \pi)$ 범위로 PV 정규화하면 다음과 같은 대표 정수 집합을 얻는다.

$$ k_{\mathrm{PV}} \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} $$

이때 $k_{\mathrm{PV}} = -6$이 $-\pi$에 해당하며, $+6(\pi)$은 $-6(-\pi)$으로 흡수됩니다. 이 매핑을 통해 “Red 중심, Blue 경계”의 스펙트럼이 완성된다.

• Red (RRR): $k_{\mathrm{PV}} = 0 \Rightarrow \phi = 0$ (에너지 최저점)
• Blue (BBB): $k_{\mathrm{PV}} = -6 \Rightarrow \phi = -\pi$ (에너지 최고점, 경계 접합)
• 중간 단계: $|k|$가 증가함에 따라 Red → Orange → Yellow → Green → Cyan → Blue 순으로 변화한다.
• 이를 순서대로 나타내보면 RRR → RRG → RGG → GGG → GGB → GBB → BBB
• 우함수 구조: 색상은 위상의 부호와 상관없이 크기 $|\phi|$ 또는 $|k|$의 함수가 된다.

 

3. 조화진동자 매칭: 에너지를 우함수로 정의

주치 위상 $\phi \in [-\pi, \pi)$를 잡았을 때, 물리적으로 가장 타당한 에너지 모델은 다음 두 가지이다.

(A) Wilson / XY 모델 (주기성 존중)

$$ E_p(\phi) = \kappa (1 - \cos\phi) $$

• 최소값: $\phi = 0$ (Red)
• 최대값: $\phi = \pm\pi$ (Blue)
• 자동으로 우함수($E(\phi) = E(-\phi)$) 성질을 만족한다.

(B) 소각도 근사 (조화진동자)

$$ E_p(\phi) \approx \frac{\kappa}{2}\phi^2 \quad (|\phi| \ll 1) $$

• “평형점(0)에서 멀어질수록 에너지가 증가”하는 조화진동자의 직관과 일치한다.

결론적으로, 에너지 함수를 $E(|\phi|)$로 설정하는 순간, 사용자가 의도한 “중심 Red, 끝 Blue, 좌우 대칭”의 스펙트럼이 물리적 정당성을 얻게 된다.

 

4. 핵심 포인트: ‘에너지 색’과 ‘색전하 3색’의 직교화

Qaether 모델에서 정사각 플라켓의 4상 배치($a, b, c, d$)가 D4 대칭 아래 3개의 궤도로 분류되는 것은 매우 강력한 조합론적 근거입니다. 이를 혼동하지 않기 위해 다음과 같이 층(Layer)을 분리한다.

1. 내부 색(Internal/Orbit Color): $c(p) \in \{1, 2, 3 \}$. D4 궤도에서 기인하는 ‘QCD형 색전하’. 바리온 형성 및 구속(Confinement) 규칙에 관여.
2. 스펙트럼 색(Spectral/Energy Color): $s(p) = f(|\phi_p|)$. 홀로노미 크기에서 기인하는 ‘상태/에너지 색’. 시스템의 여기(Excitation) 정도와 안정도를 시각화.

이 시스템을 적용하면, “3색 전하를 가진 입자가 에너지를 얻어 Blue(고에너지) 상태로 여기되는 과정”을 하나의 화면에 중첩하여 표현할 수 있다.