디렉방정식 유도 (v0.8)

고전적 상대론적 파동 방정식인 Klein–Gordon 방정식의 이차 시공간 미분자를 일차로 ‘인수분해’하여 Dirac 방정식을 유도하는 과정을 단계별로 보여드립니다. 모든 식은 자연단위계(\(\hbar=c=1\))를 사용하며, 마지막에 복원하는 방식으로 \(\hbar,\,c\)를 표시할 수 있습니다.

 

1. 출발점: 에너지-운동량 관계와 Klein–Gordon 방정식

1. 상대론적 에너지-운동량 관계: \(E^2 = \mathbf p^2 + m^2\)여기서 E는 에너지, \(\mathbf p=(p_x,p_y,p_z)\)는 3-운동량, m은 질량입니다.
2. 양자화: \(E \to i\,\frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf p \to -i\,\nabla\).대입하면$$\left(i\frac{\partial}{\partial t}\right)^2 \psi = \left(-i\nabla\right)^2 \psi + m^2\psi \;\Longrightarrow\; \left(\Box + m^2\right)\psi = 0$$즉 Klein–Gordon 방정식:$$\boxed{\bigl(\partial_\mu \partial^\mu + m^2\bigr)\,\psi(x)=0.}$$
3. 문제점
   • 이차 시공간 미분으로 인해 파동함수 \(\psi\)의 시간 방향 해밀토니언이 양·음 에너지 모드를 동시에 갖습니다.
   • 스피노르 구조 없이 스핀½의 행동을 설명할 수 없습니다.

 

2. 일차 미분자 도입: Dirac의 가정

Dirac은 “에너지-운동량 관계를 시공간 미분의 일차 식으로 표현하자”는 아이디어를 냅니다:

$$E = \boldsymbol\alpha\cdot\mathbf p + \beta\,m$$

양자화하면

$$\psi = \bigl(\boldsymbol\alpha\cdot(-i\nabla) + \beta\,m\bigr)\psi$$

여기서 \(\boldsymbol\alpha=(\alpha^1,\alpha^2,\alpha^3)\)와 \(\beta\)는 아직 정의되지 않은 행렬 연산자입니다.

 

3. 일차식 제곱이 Klein–Gordon 구조를 주려면

$$\bigl(i\partial_t - H\bigr)\psi=0, \quad H = -i\,\alpha^i\partial_i + \beta\,m$$

이 식을 다시 한번 작용시켜 Klein–Gordon 방정식을 얻어야 하므로,

$$\bigl(i\partial_t - H\bigr)\bigl(i\partial_t + H\bigr)\psi = 0 \;\Longrightarrow\; (\partial_t^2 + H^2)\,\psi = 0$$

이어야 합니다. 따라서

$$H^2 = -\nabla^2 + m^2$$

즉

$$\bigl(-i\alpha^i\partial_i + \beta\,m\bigr)^2 = -\partial_i\partial_i + m^2$$

이 전개를 실행하면 다음 조건들이 필요합니다:

1. \(\alpha^i\alpha^j + \alpha^j\alpha^i = 2\delta^{ij}\,I\)
2. \(\alpha^i\beta + \beta\,\alpha^i = 0\)
3. \(\beta^2 = I\)

이 세 조건을 만족하면

$$H^2 = -\alpha^i\alpha^j\,\partial_i\partial_j + m(\alpha^i\beta + \beta\,\alpha^i)(-i\partial_i) + \beta^2 m^2 = -\nabla^2 + m^2$$

이차 방정식을 정확히 재현합니다.

 

4. 감마 행렬과 Dirac 방정식

위 조건을 만족하는 최소 차원 행렬 표현은 4×4 행렬입니다. 이들을 감마 행렬 \(\gamma^\mu\) 로 묶으면:

$$\gamma^0 = \beta,\quad \gamma^i = \beta\,\alpha^i$$

그리고 이들은 다음 반교환 관계(Clifford 대수)를 만족합니다:

$$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2\,g^{\mu\nu}\,I_{4\times4}$$

여기서 \(g^{\mu\nu}={\rm diag}(+1,-1,-1,-1)\) 입니다.

따라서 위상 방정식은

$$\gamma^\mu\partial_\mu \psi - m\,\psi = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (\,i\slashed{\partial} - m\,)\,\psi(x) = 0$$

을 얻게 됩니다. 여기서 슬래시 표기는
$$\slashed{\partial} \equiv \gamma^\mu\partial_\mu$$

 

5. \(\hbar,\,c\) 복원

자연단위를 복원하면,

$$\boxed{ \bigl(i\hbar\,\gamma^\mu\partial_\mu - m c\,\bigr)\,\psi = 0, }$$

또는 시공간 분리 형태로

$$\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = \bigl(-i\hbar c\,\boldsymbol\alpha\cdot\nabla + \beta\,m c^2\bigr)\,\psi$$

 

6. 요약

1. Klein–Gordon → 일차 미분자 도입
2. 행렬 조건으로 Klein–Gordon 복원 ⇒ 감마 행렬 클리포드 대수
3. Dirac 방정식: \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi=0\)

이로써 스핀½ 입자(4성분 스피너)의 상대론적 파동 방정식인 Dirac 방정식을 완전 유도했습니다.