[v0.9] 격자 게이지 이론 유도

1. 개요

• 목표: Qaether 이론의 위상장 변수와 결합벡터를 이용해 격자상에서 U(1)·SU(3) 등의 게이지장을 정의하고, Wilson 작용을 통해 이론의 이산 격자판 버전을 세운다.
• 핵심 전략
  1. Qaether 링크 위상의 최소 결합 형태로 게이지 링크 변수 도입
  2. 폐회로(plaquette)에 대한 Wilson 루프 작용 정의
  3. 연속극한에서 연속 게이지 이론(Lagrangian)을 복원

 

2. 링크 변수 정의

1. Qaether 위상 총합
   링크 \(i\to j\) 에서의 총 위상차$$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} \;=\;\phi_j - \phi_i \;-\; q_e\,A_{ij}^{U(1)} \;-\; g\,\mathbf C_i\!\cdot\!A_{ij}^{SU(3)}$$
2. 격자 게이지 링크 변수
   이를 지수화하여 U(1)·SU(3) 복소 링크장으로 정의$$U_{ij} = \exp\bigl(i\,q_e\,A_{ij}^{U(1)}\bigr),\qquad G_{ij} = \exp\bigl(i\,g\,\mathbf C_i\cdot A_{ij}^{SU(3)}\bigr)$$
3. 역방향 링크
   $$U_{ji}=U_{ij}^\dagger,\;G_{ji}=G_{ij}^\dagger$$ 로 설정.

 

3. 플라켓(plaquette)과 Wilson 루프

1. 플라켓 순환 변수
   사각형 루프 \(\ell_4 = (i\to j\to k\to l\to i)\) 상의 링크 곱으로 정의$$W_{\ell_4}^{U(1)} = U_{ij}\,U_{jk}\,U_{kl}\,U_{li}, \quad W_{\ell_4}^{SU(3)} = G_{ij}\,G_{jk}\,G_{kl}\,G_{li}$$
2. Wilson 작용 항
   각 플라켓에 대한 작용밀도$$S_{\rm gauge} = -\frac{\beta_{U(1)}}{2}\sum_{\ell_4}\Re\bigl[W_{\ell_4}^{U(1)}\bigr] \;-\;\frac{\beta_{SU(3)}}{3}\sum_{\ell_4}\Re\bigl[\Tr\,W_{\ell_4}^{SU(3)}\bigr]$$
   • \(\beta_{U(1)}=1/e^2\), \(\beta_{SU(3)}=2N_c/g^2\) (여기서 \(N_c=3\)).

 

4. 전체 격자 작용

• 물질장 + 게이지장 결합 작용$$S_{\rm total} = S_{\rm matter}[\phi,\Psi;U,G] \;+\; S_{\rm gauge}[U,G]$$
• 물질장 내 최소 결합
  \(\phi\)와 \(\Psi\)의 운동항에 링크장을 삽입:$$\partial_\mu\phi \;\to\; \frac{1}{a}\bigl(U_{i,i+\hat\mu}\,\phi_{i+\hat\mu}-\phi_i\bigr), \quad \Psi_i \;\to\; U_{i,i+\hat\mu}\,\Psi_{i+\hat\mu}$$ $$\bar\Psi\,\gamma^\mu\partial_\mu\Psi \;\to\; \frac{1}{2a}\bigl[\bar\Psi_i\,\gamma^\mu\,U_{i,i+\hat\mu}\Psi_{i+\hat\mu} -\bar\Psi_{i+\hat\mu}\,\gamma^\mu\,U_{i,i+\hat\mu}^\dagger\Psi_i\bigr]$$

 

5. 연속극한 복원

1. 격자 상수 \(a\to0\)
   플라켓 순환변수의 지수 전개:$$W_{\ell_4} = \exp\bigl(i\,a^2F_{\mu\nu}+\mathcal O(a^3)\bigr) \;\approx\;1 + i\,a^2F_{\mu\nu} - \tfrac12a^4F_{\mu\nu}^2+\cdots$$
2. 행동 밀도 일치$$S_{\rm gauge} \;\xrightarrow{a\to0}\; \int d^4x\;\frac{1}{4e^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \;+\; \int d^4x\;\frac{1}{4g^2}\Tr\bigl[G_{\mu\nu}G^{\mu\nu}\bigr]$$
3. 물질장 게이지 동역학
   최소 결합 대체를 통해
   $$\bar\Psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\Psi, \tfrac12(\partial_\mu\phi)^2$$ 형태로 연속복원.

 

6. 요약된 유도 흐름

단계 내용

1. 링크장 도입	Qaether 위상→U(1), SU(3) 게이지 링크 \(U_{ij},G_{ij}\) 정의
2. 플라켓 작용	Wilson 루프 \(W_{\ell_4}\) → 격자 게이지 작용 \(S_{\rm gauge}\) 구성
3. 물질-게이지 결합	최소결합 방식으로 \(\phi,\Psi\) 운동항에 링크 변수 삽입
4. 연속극한 전개	\(a\to0\) → \(F_{\mu\nu}^2\), \(\bar\Psi i\gamma^\mu D_\mu\Psi\) 복원

이로써 Qaether 이론으로부터 출발해, 격자 게이지 이론(U(1)·SU(3) 포함)을 일관되게 유도할 수 있습니다.