[v1.5] 색전하의 정의 - 플라켓 순환열의 D4 위상과 SU(3) 매핑

0. 전제·기호

• 격자: FCC, 링크 변수 $$U_{ij}=\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}\in SU(2)$$
• 링크 총위상은 반드시 \(\Delta\phi^{\text{tot}}_{ij}=n\,\frac{\pi}{6}\)으로 양자화됨(\(n\in\mathbb Z\)) → 잔여 \(\mathbb Z_{12}\) 위상 구조.
• 플라켓 홀로노미 $$U_\square=\prod_{(i,j)\in\square}U_{ij}$$$$\Theta_\square=\arccos\!\big(\tfrac12\mathrm{Tr}\,U_\square\big)$$
• “유효 쿼크” = 플라켓(사각 루프), “바리온” = 서로 직교하는 플라켓 3장이 닫혀 만든 정팔면체(12모서리 일관성). (정합 세트·맛 라벨은 아래 선택 규칙 참조)

 

1. 색전하의 근본 실체: 플라켓 위상차 순환열과 \(D_4\) 궤도

• 한 플라켓의 네 링크 위상(정수) \((a,b,c,d)\in(\mathbb Z_{12})^4\)를 원순열(cycle)로 읽는다(시작점·방향은 임의).
• 정사각형의 대칭군 \(D_4\) (회전·반사)가 이 원순열 집합에 작용. 네 값이 모두 다르면 원순열 24개가 \(D_4\)로 정확히 3개의 서로 다른 궤도(동치류)로 분류됨(번사이드 보조정리).
• 이 3개 궤도를 색 라벨 \(\{r,g,b\}\)로 정의한다.
• 값에 중복이 생기면 궤도 수가 \(3\to2\to1\)로 붕괴(“무색/부분파손”).
  ⇒ 색을 가지는 “진정한 쿼크 플라켓”은 네 값이 모두 다른 경우로 제한된다.(필요충분조건)

정리 1(관측 불변성). 시작점 변경(순환), 회전·반사에 대해 궤도 라벨 \(\{r,g,b\}\)는 불변이다.

이유: \(D_4\)·원순환 작용으로 같은 궤도에 속하면 같은 색, 서로 다른 궤도는 어떤 \(D_4\)·원순환으로도 서로 변환 불가.

정리 2(반색). 원순열 방향 반전(orientation reversal)은 반색(anti-color)에 대응한다.

이유: 방향 반전은 궤도의 지향을 바꾸며, SU(3) 매핑에서 \(\omega\mapsto -\omega\)로 대응시킬 수 있다.

 

2. 왜 Qaether에서 “순환열 3종 = 색 3종”이 물리적 불변량인가?

• 표준 LGT에서는 순환열은 관측불변량이 아니다(윌슨 루프의 \(\mathrm{Tr}\)만 관측됨)
• Qaether에서는 아래 두가지 조건으로 동일 에너지 부문 안에서 남는 미세배치의 조합학적 불변량이 실제 색 라벨이 된다. 즉, “색=미세배치의 위상적 클래스”라는 새 관측층위가 정의된다.
  • 링크 위상 \(\pi/6\) 양자화
  • 플럭스 부문 고정 \(\sum_\square\zeta_{ij}=12\) (곧 \(\sum\Delta\phi=2\pi\))
    
    

 

3. SU(3) 리대수로의 정적 임베딩(Static Embedding)

• 세 동치류 \(\{C_r,C_g,C_b\}\)를 SU(3) 기본표현의 가중치 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 고정 매핑한다:

$$r\mapsto\omega_1,\quad g\mapsto\omega_2,\quad b\mapsto\omega_3,\qquad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$ $$\alpha_1=\omega_1-\omega_2,\quad \alpha_2=\omega_2-\omega_3,\quad \alpha_3=\omega_1-\omega_3=\alpha_1+\alpha_2$$

• 이 매핑은 색중성(벡터합 0), 단순근·Cartan 구조를 그대로 재현한다.

 

정리 3(글루온 교환). 색 변화 \(r\leftrightarrow g,\,g\leftrightarrow b,\,r\leftrightarrow b\)는 각각 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)에 따른 가중치 이동으로 표현된다.

동역학적으로는 “포트 교환 + 내부 궤도 재배치”가 BCH 혼합을 통해 비대각 글루온도 유발한다(모식적 형식 \(\Xi_{ij}=e^{iC\cdot H}\,e^{-ig_s A_{ij}})\).

 

4. 결합 규칙 — 바리온(정팔면체)·메손·보존 법칙

(a) 바리온 = 정팔면체(플라켓 3장 직교 결합)

• 서로 직교하는 3장 \(\{\ell_x,\ell_y,\ell_z\}\)의 플라켓을 정팔면체 12모서리 일관성으로 닫은 구조만 바리온으로 허용한다.
• 색중성 조건: 세 플라켓의 색이 서로 달라야 하며(\(r,g,b\) 한 번씩) SU(3) 가중치 합이 0이 되어 외부 색이 사라진다:

$$\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\quad\Longrightarrow\quad \text{color-singlet}【:contentReference[oaicite:17]{index=17}】$$

 

보존 정리(삼발 Y-정합). 입방체 면 플럭스 \(k_f=\frac1{12}\sum_{e\subset f}\zeta_e\in\mathbb Z\)가 \(\sum_f \sigma_f k_f=0\)를 만족해야 하므로, 색 플럭스는 삼발(Y) 점에서만 분기·종결되고, 그때 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)이 국소 보존법칙으로 작동한다.

(b) 메손 = 플라켓–반플라켓

• 한 플라켓 색 \(\omega\)와 반대 지향(반색) \(-\omega\)의 결합은 즉시 색중성:

$$\omega+(-\omega)=0$$

(c) 선택 규칙과 경계

• 색 쿼크 플라켓: (a,b,c,d) 네 값이 모두 달라야 함(그렇지 않으면 궤도 붕괴로 무색 또는 결함).
• 바리온 허용성: 세 플라켓의 \(D_4\) 궤도가 \(r,g,b\)로 모두 달라야 하고, 정팔면체의 12모서리 접속 제약을 만족해야 함(면 방향·모서리의 위상 일관성).
• 부문 고정: \(\sum_\square \zeta_{ij}=12\) 같은 플럭스 부문이 고정되어야 색 라벨이 안정하다(갭이 충분히 커야 초선택 유지).

 

5. 게이지 불변성과 물리적 층위

• 링크·플라켓의 켤레불변량(예: \(\mathrm{Tr}\,U_\square\), \(\Theta_\square\))만이 관측량이지만, Qaether에선 부문 고정 + \(\pi/6\) 양자화로 동일 에너지 부문에서 남는 조합학적 미세배치(궤도)가 새 관측층위(색)가 된다.
• 스핀·홀로노미 섹터와도 위상적으로 양립 가능(루프 기반 불변량 사용).

 

6. (요약) 한 줄 정의

• 색전하란, \(\pi/6\) 양자화된 링크 위상에서 플라켓 원순열을 \(D_4\)로 분류해 얻는 3개의 궤도(동치류)이며, 이것을 SU(3)가중치 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 정적으로 임베딩하여 다음을 만족하는 색 보존·중성 규칙을 구현한다.
  • 반색: \(\omega\mapsto-\omega\)
  • 메손: \(\omega+(-\omega)=0\), (iii) 바리온(정팔면체): \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)