Lattice Gauge Theories and Spin Models

Lattice Gauge Theories and Spin Models.pdf

0.86MB

Written by Manu Mathur  and T. P. Sreeraj

1. 이 논문이 하는 일 한 줄 요약

• Wegner의 Z₂ 게이지–Ising 스핀 듀얼리티를 “정준변환(canonical transformations)”으로 다시 구성하고,
• 그 방식을 그대로 SU(N) 격자 게이지 이론으로 일반화해서 “SU(N) 스핀 모델” 듀얼 기술을 만든 다음,
• 그 위에서 **새로운 비가환 게이지 불변 ‘자기장 무질서(disorder) 연산자’**와
• SU(2) 스핀 모델의 변분적 바닥상태까지 분석하는 논문이다.

 

2. 구조별로 요점

(1) 서론 – 왜 듀얼리티 + 스핀모델인가?

• Wegner (1971): 2D Z₂ lattice gauge theory ↔ Z₂ Ising spin model 듀얼리티 제시.
• 동기:
  • 비섭동적인 QCD(특히 confinement)를 듀얼 기술(예: dual superconductor picture)로 이해하려는 흐름.
  • cold atom, tensor network 등에서 게이지 자유도를 제거한 스핀 기술이 구현 및 계산에 더 편함.
• 이 논문 목표:
  1. Kramers–Wannier, Wegner 듀얼리티를 Hamiltonian + 정준변환 언어로 다시 구성.
  2. 같은 아이디어로 SU(N) 격자 게이지 이론을 SU(N) 스핀 모델로 듀얼화.
  3. 이 듀얼 기술 위에서 Gauss 법칙의 완전한 해와 자기 무질서 연산자를 정의/분석.

 

(2) Kramers–Wannier 듀얼리티 (1D Ising)

• 1D Ising 모델의 스핀 연산자 {σ¹, σ³}를 정준변환으로 재정의해서:
  • 원래 스핀 대신 **“듀얼 스핀”(domain wall / kink 변수)**로 기술.
• 여기서 order–disorder 연산자, kink 생성/소멸 연산자 구조를 정리해서
  나중 Z₂, SU(N) 듀얼리티에서 그대로 패턴을 재사용.

 

(3) Wegner Z₂ gauge ↔ Z₂ Ising spin 모델

핵심 포인트 두 개:

1. 게이지 자유도 제거
   • 링크에 있던 Z₂ 스핀 {σ₁(l), σ₃(l)}로 쓰인 Z₂ lattice gauge theory에서
     정준변환을 반복해서 적용하면,
     • **플라켓에 살고 있는 ‘물리적 Z₂ 스핀(루프 연산자)’**와
     • 스트링 연산자(순수 게이지 자유도)
       두 세트로 분리된다.
   • Gauss law를 imposing 하면 스트링 자유도는 전부 freeze되고,
     남는 건 플라켓 스핀만 → 제약 없는 Z₂ Ising 스핀 모델.
2. 결합상수 역전 (strong–weak duality)
   • Z₂ 게이지 해밀토니안
     $$ H_{\text{gauge}}(\lambda) = H_E + \lambda H_B $$
   • 듀얼 Ising 스핀 해밀토니안은
     \( H_{\text{spin}}(\lambda^{-1}) \) 꼴로 등장 →
     상호작용/비상호작용 term가 서로 뒤바뀌면서 coupling이 \(\lambda \leftrightarrow 1/\lambda\).

추가로:

• 물리 섹터: 플라켓 루프 스핀 {µ₁(p), µ₃(p)} = Z₂ 자기장 & 그에 상응하는 스칼라 포텐셜.
• 비물리 섹터: 스트링 연산자 = 전기장 및 플럭스, 전부 Gauss law가 고정.
• 이 과정에서 게이지 고정(gauge fixing) 필요 없음, 그냥 정준변환 + Gauss law로 해결.

또, Z₂에서도 magnetic disorder operator를 정의해서
자기 보텍스(플라켓에 π 플럭스)를 생성하는 연산자를 정리한다.

 

(4) SU(N) 듀얼리티 & SU(N) 스핀 모델

여기가 이 논문의 본론.

1. 링크 변수 → (플라켓 스핀 + 스트링) 분해
   • 원래 Kogut–Susskind SU(N) 격자 게이지 이론: 링크에
     • 게이지장 \( U(l) \in SU(N) \)
     • 전기장 \( E^a(l) \)
   • 정준변환을 반복적으로 실행해서:
     • 플라켓에 사는 SU(N) 스핀(루프) 연산자: SU(N) 자기장 W(p)와 그에 상응하는 “전기 스칼라 포텐셜” E(p)
     • 스트링 연산자: 여전히 SU(N) 전기장/플럭스지만, 순수 게이지 자유도만 담음.
2. Gauss 법칙의 완전한 해
   • SU(N) lattice gauge theory에서는 각 격자점마다 Gauss law가 있고,
     이게 Hilbert 공간을 엄청 복잡하게 만든다.
   • 듀얼 SU(N) 스핀 기술에서는:
     • 스트링 자유도에 Gauss law가 걸려서 (N–1)개의 스트링이 Gauss law로 freeze됨.
     • 남는 건 플라켓 SU(N) 스핀들 + 단 하나의 global Gauss law뿐.
   • 이게 논문에서 말하는 “exact & complete solutions of SU(N) Gauss laws in terms of spin/dual potentials”.
3. 듀얼 SU(N) 스핀 해밀토니안 & coupling inversion
   • 원래 SU(N) Kogut–Susskind 해밀토니안 \(H_{\text{gauge}}(1/g^2)\)를
     듀얼 스핀 변수로 표현하면,
     nonlocal term들이 잔뜩 들어간 SU(N) 스핀 해밀토니안이 나온다.
   • continuum 약결합 한계 \(g^2 \to 0\)에서 nonlocal term은 높은 차수에 suppressed 되므로
     근사적으로 최근접 플라켓 간의 상호작용만 남는 local SU(N) 스핀 모델:
     \[
     H_{\text{spin}} \sim \frac{g^2}{2}\tilde H_E' + \frac{1}{2g^2} \tilde H_B
     \]
   • 결론:
     \[
     H^{SU(N)}{\text{gauge}}(1/g^2) \simeq H^{SU(N)}{\text{spin}}(g^2)
     \]
     → Z₂와 마찬가지로 결합상수가 역전된 듀얼 스핀 모델.
4. Non-abelian magnetic disorder operator (SU(N))
   • 듀얼 변수를 이용해, 플라켓에 자기 보텍스를 생성하는 게이지 불변 SU(N) disorder operator를 구성.
   • θ = 2π일 때는 이 연산자가 ’t Hooft center vortex operator로 환원됨.
   • 이 연산자는 Monte-Carlo 시뮬레이션에서 측정 가능하고,
     confinement–deconfinement 전이에서 그 expectation value의 거동을 볼 수 있을 것으로 기대.
   • 부록에서는 이 연산자가 원래 SU(N) 게이지 변수 표현에서는 국소적으로 작용하도록 만드는 엄청 많은 비국소 term들의 상쇄를 보여준다. (non-abelian duality의 nonlocal 구조 분석)

 

(5) SU(2) 스핀 모델의 변분 바닥상태

• 듀얼 SU(2) 스핀 해밀토니안에 대해, 완전히 무질서한(plaquette factorized) 변분 ansatz를 사용해서 바닥상태 에너지를 계산.
• modified Bessel 함수 \( I_\ell(2\alpha) \)가 등장하는 형태로 기대값을 평가하고,
  약결합 한계에서 최적 α ~ 1/g²를 얻는다.
• 이때 스트링 장력(string tension)
  $$\sigma_T(1/g^2) = \ln\left( I_1(1/g^2)/I_2(1/g^2)\right)$$
  를 얻는데,
  이게 기존 Kogut–Susskind 해밀토니안으로 계산한 결과와 일치함을 보여준다.
• 또, 비국소 term의 기대값이 이 변분 상태에서 0이 된다는 걸 부록에서 증명해서,
  최근접 상호작용만 가진 truncation이 약결합 한계에서 정당화됨을 보인다.

 

(6) 요약 & 전망 (논문 결론)

논문이 주장하는 메인 메시지:

1. **정준변환(canonical transformations)**을 통해
   • Kramers–Wannier (Ising),
   • Wegner Z₂ gauge–spin 듀얼리티를 재구성했고,
   • 이를 SU(N) 격자 게이지 이론으로 일반화했다.
2. 결과적으로:
   • 가우스 제약이 사라진(또는 극도로 단순해진) SU(N) 스핀 모델로 갈 수 있고,
   • 여기서 정확한 Gauss 법칙 해와
     SU(N) 자기 무질서 연산자를 자연스럽게 정의할 수 있다.
3. 이 SU(N) 스핀 모델은:
   • low-energy, continuum 약결합 한계에서
     효과적인 최근접 상호작용 스핀 모델로 축약 가능하고,
   • 변분 분석 결과가 원래 Kogut–Susskind 결과와 일치한다.
4. 앞으로 할 일:
   • (3+1)D로 일반화해서 듀얼 전기 벡터포텐셜 + dual gauge group을 정의하는 것,
   • SU(N) 스핀 모델의 스펙트럼/상전이 구조 분석,
   • Monte Carlo에서 disorder operator expectation을 실제로 재는 것.