Qaether 연구일지

0. 설정: $\mathbb{Z}_{12}$ 위상과 플라켓 폐합 조건각 방향 엣지의 위상 증분을$$\Delta\phi = k \cdot \frac{\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, \dots, 11\}$$로 둡니다. 루프 $\gamma$의 (가환) 홀로노미가 경계합$$\sum_{e \in \gamma} k_e \equiv 0 \pmod{12}$$일 때, 해당 루프는 “닫힌다(closed)”고 정의합니다. 구체적으로 다음과 같습니다.사각 플라켓(4-사이클): $k_1 + k_2 + k_3 + k_4 \equiv 0 \pmod{12}$삼각 플라켓(3-사이클): $u + v + w \equiv 0 \pmod{12}$이제 정팔면체를 서로 직교하는 3개의 사각 루..

정팔면체 위상 폐합 조건을 위한 $\mathbb{Z}_{12}$ 위상차 분류초록본 문서는 Qaether의 이산 위상 규약(링크 위상차가 $\frac{\pi}{6}$ 단위로 양자화되고, 대표는 $\mathbb{Z}_{12}=\{0,1,\dots,11\}$로 취함) 아래에서 다음 두 가지 문제를 해결한다.정사각 플라켓(plaquette) 경계의 위상차 4-튜플(tuple)이 닫힘 조건을 만족하는 모든 조합을 완전 분류한다.동일한 4-집합을 정팔면체의 세 직교 플라켓(XY, YZ, ZX)에 배치할 때, 생성되는 8개의 삼각 루프가 모두 $\pmod{2\pi}$로 닫히는지($\pmod{12}$로 0) 여부를 판정한다.결론적으로 문제 1의 해는 총 42개이며, 문제 2(삼각 루프 전부 폐합)는 $0\in K$일 ..

0. 목표 (비공식 진술)보이고 싶은 것은 다음과 같다.정리 (비공식)Qaether 이론에서 사용하는링크 위상 $\theta_\ell = \frac{\pi}{6}k_\ell$ ($k_\ell\in\mathbb Z_{12}$)플라켓 닫힘 조건 (flatness)국소 게이지 변환으로 정의된 “게이지 sector”가, 표준 $\mathbb Z_{12}$ lattice gauge theory (LGT)의 링크 변수, $\mathbb Z_{12}$ 게이지군, Wilson-type 국소 해밀토니안과 상태공간(구성 공간), 게이지군 작용과 gauge orbit, 국소 해밀토니안 및 윌슨 루프 관측량의 수준에서 동형이라는 것을 보인다.단, 여기서 동형성은 “zero-flux(flat) 섹터”에 대한 진술이며, 일반적 ..

Qaether lattice EM 이론 = FCC 격자 위 \(U(1)\) 링크 위상 \(a_e\)의 동역학 + Qaether 전하 \(Q_i\)를 소스로 쓰는 Maxwell 이론 1. 자유도 (Degrees of Freedom)(1) 사이트 변수 – SU(2) 쿼터니언각 Qaether 셀:\[q_i \in SU(2) \cong S^3\]이 안에 스핀(방향) + 내부 위상 정보 포함.(2) 링크 변수 – SU(2) 상대위상접촉하는 두 셀 \(i,j\):\[U_{ij} = q_i q_j^{-1} \in SU(2)\](3) U(1) 축 방향 프로젝션 – EM 위상국소 축 \(m_i\) 따라 ‘t Hooft형 투영:\[u_{ij}= \frac{\mathrm{Tr} \big(\frac{1+m_i\cdot\sig..

0. 표기·가정 (공통)\( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프 (주기경계).2–셀 \( F \):사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.사슬군 및 경계사상\[C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.\]각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는\[\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }\]한 엣지 \( e ..

0. 목표(Clay YM Mass Gap의 수학적 형태)문제정의: \(G=\mathrm{SU}(N)\) (주로 N=3) 4차원 순수 Yang–Mills에 대해, 격자 자외선 절단 \(a>0\)와 부피 절단 \(\Lambda(질량 갭) 어떤 비상수 게이지-불변 로컬 연산자 O 에 대해 $$\exists\,m>0,\,C(OS 복원 및 동치) OS 복원으로 얻는 물리 힐베르트공간 \(\mathcal H\)과 자가수반 해밀토니안 \(H\ge0\)이 존재하며, 진공 \(\Omega\)가 평행이동 불변·유일이고 에너지-운동량 스펙트럼이 원뿔 내부에 놓인다. 이때 (1)의 \(m>0\)은 \(\mathcal H\)에서의 스펙트럼 갭 $$\operatorname{spec}(H)\cap(0,m)=\varnothing$$..