[v2.4] O-motif: derived cycle-flatness and orientation-bookkeeping lemma

 

O-motif의 cycle-flatness와 square-reference triangular orientation bookkeeping

이 문서는 공식 Qaether v2.4 위에 놓이는 파생 layer이다.

• 새로운 primitive axiom을 도입하지 않는다.
• 독립적인 link variable을 도입하지 않는다.
• 비자명한 Wilson-loop flux를 도입하지 않는다.
• 새로운 gauge transformation law를 정의하지 않는다.
  
  

이 문서의 역할은 다음 사실들을 명시하는 것이다.

\[
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle,
\]

\[
h_{ab}=q_a^{-1}q_b,
\]

\[
H_{\vec C}=1_{SU(2)}
\quad
\text{for every based oriented representative } \vec C
\text{ of every closed O-cycle}.
\]

또한 이 문서는 O-motif의 여덟 삼각 cycle이 선택된 square-channel orientation convention에 대해 어떻게 읽히는지를 기록하는 representative-dependent sign bookkeeping rule을 정의한다.

따라서 이 문서의 지위는 다음과 같다.
"derived cycle-flatness and orientation-bookkeeping lemma."

$O$를 Qaether v2.4의 O-motif라고 하자.  
labeled O-frame을 다음처럼 선택한다.

\[
V_O=
\{x_1^+,x_1^-,x_2^+,x_2^-,x_3^+,x_3^-\}.
\]

opposite-pair structure는

\[
P_O=
\bigl\{
\{x_1^+,x_1^-\},
\{x_2^+,x_2^-\},
\{x_3^+,x_3^-\}
\bigr\}
\]

이다.

O-boundary graph는

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이다. 따라서

\[
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E(O)
\quad\Longleftrightarrow\quad
i\neq j,
\]

where

\[
i,j\in\{1,2,3\},
\qquad
\epsilon,\delta\in\{+,-\}.
\]

동치로, 같은 index를 갖는 opposite pair는 edge가 아니고, 서로 다른 index를 갖는 모든 non-opposite pair는 edge이다.

여기서 ``labeled''라는 말이 중요하다.  
기호 $(1,2,3)$은 선택된 O-frame convention의 일부이다.  
O-frame 축을 permute하면, 아래에서 정의할 bookkeeping sign의 좌표 표현도 바뀐다.

따라서 아래에서 정의하는 sign bookkeeping은 unlabeled abstract graph $K_{2,2,2}$의 invariant가 아니다.  
그것은 labeled O-frame을 선택한 뒤에만 정의된다.

2. Vertex-induced edge phase

각 vertex는 quaternionic state를 갖는다.

\[
q_v\in SU(2).
\]

oriented O-edge $(a,b)$에 대해

\[
h_{ab}=q_a^{-1}q_b
\]

로 정의한다. 그러면

\[
h_{ba}=h_{ab}^{-1}.
\]

양 $h_{ab}$는 독립 link variable이 아니다.  
그것은 vertex state로부터 유도된다.

3. Boundary support와 based oriented representative의 구분

공식 v2.4의 boundary cycle은 unoriented support이다.

삼각 boundary support는

\[
C_\triangle=[v_0,v_1,v_2]_{D_3}
\]

로 쓴다.

사각 boundary support는

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

로 쓴다.

$D_n$-quotient는 cyclic rotation과 reversal을 모두 동일시한다.

하지만 noncommuting group element의 곱을 계산하려면 based oriented representative를 선택해야 한다.

\[
\vec C=
\langle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\rangle.
\]

그때

\[
H_{\vec C}
=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}
\]

로 정의한다.

엄밀히 말해 $H_C$라는 표기는 shorthand이다.  
수학적으로 정확한 대상은 support $C$의 based oriented representative $\vec C$에 대한 $H_{\vec C}$이다.

basepoint를 바꾸면 일반적인 nonabelian holonomy는 conjugation된다.  
방향을 반전하면 일반적인 holonomy는 inverse가 된다.

하지만 현재 vertex-induced case에서는 모든 based oriented representative에 대해

\[
H_{\vec C}=1_{SU(2)}
\]

이다. 따라서 flatness statement는 basepoint와 reversal에 의존하지 않는다.

4. 세 사각 boundary cycle

$O$의 세 distinguished square boundary cycle은 다음과 같다.

\[
C_\square^{(1)}
=
[x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-]_{D_4},
\]

\[
C_\square^{(2)}
=
[x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-]_{D_4},
\]

\[
C_\square^{(3)}
=
[x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-]_{D_4}.
\]

이들은 각각 index pair

\[
(2,3),
\qquad
(1,3),
\qquad
(1,2)
\]

에 대응한다.

따라서

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp.
}
\]

이것은 boundary-cycle incidence decomposition이지, filled-face decomposition이 아니다.

5. 여덟 삼각 boundary cycle

각 sign triple

\[
\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3
\]

에 대해

\[
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3}
=
[x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
\]

로 정의한다.

이러한 triangular boundary cycle은

\[
2^3=8
\]

개 존재한다. 따라서

\[
\boxed{
O\sim 8C_\triangle.
}
\]

종합하면,

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle.
}
\]

다시 말하지만 이것은 filled octahedron이 아니다.  
이것은 distinguished square and triangular cycle incidence를 갖는 $K_{2,2,2}$ boundary graph이다.

6. Edge incidence decomposition

O-edge set은 세 square-cycle edge set의 disjoint union으로 분해된다.

\[
\boxed{
E(O)
=
E(C_\square^{(1)})
\sqcup
E(C_\square^{(2)})
\sqcup
E(C_\square^{(3)}).
}
\]

따라서 모든 O-edge는 정확히 하나의 square boundary cycle에 속한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\square\in C_\square(O):e\in E(C_\square)\}=1.
}
\]

또한 모든 O-edge는 정확히 두 개의 triangular boundary cycle에 속한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\triangle\in C_\triangle(O):e\in E(C_\triangle)\}=2.
}
\]

두 번째 statement의 증명은 다음과 같다.  
만약

\[
e=\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\},
\qquad
i\neq j,
\]

라면 남은 index $k$는 유일하게 결정된다. 이 edge를 포함하는 triangle의 세 번째 vertex는

\[
x_k^+
\quad
\text{or}
\quad
x_k^-
\]

가 될 수 있다. 따라서 정확히 두 개의 triangular boundary cycle이 $e$를 포함한다.

7. 일반 cycle-flatness identity

\[
\vec C=
\langle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\rangle
\]

를 O-boundary graph 안의 임의의 based oriented closed graph loop라고 하자. 그러면

\[
\begin{aligned}
H_{\vec C}
&=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}
\\
&=
(q_{v_0}^{-1}q_{v_1})
(q_{v_1}^{-1}q_{v_2})
\cdots
(q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0})
\\
&=
1_{SU(2)}.
\end{aligned}
\]

따라서 모든 vertex-induced loop holonomy는 flat하다.

\[
\boxed{
\forall \vec C\subset O,
\qquad
H_{\vec C}=1_{SU(2)}.
}
\]

이 결과는 특히 $O$의 모든 distinguished square and triangular boundary cycle에 적용된다.

8. Square cycle-flatness

세 square cycle에 대해 다음 based oriented representative를 선택한다.

\[
\vec C_\square^{(1)}
=
\langle x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-\rangle_{C_4},
\]

\[
\vec C_\square^{(2)}
=
\langle x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-\rangle_{C_4},
\]

\[
\vec C_\square^{(3)}
=
\langle x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-\rangle_{C_4}.
\]

정의한다.

\[
H_\square^{(1)}
=
h_{x_2^+x_3^+}
h_{x_3^+x_2^-}
h_{x_2^-x_3^-}
h_{x_3^-x_2^+},
\]

\[
H_\square^{(2)}
=
h_{x_1^+x_3^+}
h_{x_3^+x_1^-}
h_{x_1^-x_3^-}
h_{x_3^-x_1^+},
\]

\[
H_\square^{(3)}
=
h_{x_1^+x_2^+}
h_{x_2^+x_1^-}
h_{x_1^-x_2^-}
h_{x_2^-x_1^+}.
\]

그러면

\[
\boxed{
H_\square^{(1)}
=
H_\square^{(2)}
=
H_\square^{(3)}
=
1_{SU(2)}.
}
\]

동치로,

\[
\boxed{
\mathcal H_\square(O;q)
=
(H_\square^{(1)},H_\square^{(2)},H_\square^{(3)})
=
(1,1,1).
}
\]

이것은 $q$에 대한 추가 조건이 아니다.  
그것은 $h_{ab}=q_a^{-1}q_b$에서 따라오는 identity이다.

9. Triangle cycle-flatness

각

\[
\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3
\]

에 대해 based oriented triangular representative를

\[
\vec C_\triangle^\epsilon
=
\langle
x_1^{\epsilon_1},
x_2^{\epsilon_2},
x_3^{\epsilon_3}
\rangle
\]

로 선택한다.

정의한다.

\[
H_\triangle^\epsilon
=
h_{x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}}
h_{x_2^{\epsilon_2}x_3^{\epsilon_3}}
h_{x_3^{\epsilon_3}x_1^{\epsilon_1}}.
\]

그러면

\[
\begin{aligned}
H_\triangle^\epsilon
&=
(q_{x_1^{\epsilon_1}}^{-1}q_{x_2^{\epsilon_2}})
(q_{x_2^{\epsilon_2}}^{-1}q_{x_3^{\epsilon_3}})
(q_{x_3^{\epsilon_3}}^{-1}q_{x_1^{\epsilon_1}})
\\
&=
1_{SU(2)}.
\end{aligned}
\]

따라서

\[
\boxed{
\forall\epsilon\in\{+,-\}^3,
\qquad
H_\triangle^\epsilon=1_{SU(2)}.
}
\]

동치로,

\[
\boxed{
\mathcal H_\triangle(O;q)
=
(1,1,1,1,1,1,1,1).
}
\]

이 역시 $q$에 대한 추가 조건이 아니다.  
vertex-induced telescoping identity이다.

10. O-motif cycle-flatness

square sector와 triangle sector를 합치면

\[
\mathcal H_O(q)
=
\bigl(
\mathcal H_\square(O;q),
\mathcal H_\triangle(O;q)
\bigr)
\]

이다. 따라서

\[
\boxed{
\mathcal H_O(q)
=
(1,1,1;\,1,1,1,1,1,1,1,1).
}
\]

더 엄밀하게는,

\[
\boxed{
\forall C\in C_\square(O)\cup C_\triangle(O),
\quad
\forall \vec C\in \operatorname{Rep}(C),
\quad
H_{\vec C}=1_{SU(2)}.
}
\]

여기서 $\operatorname{Rep}(C)$는 unoriented boundary support $C$의 based oriented representative들의 집합이다.

이것이 nonabelian group에 대해 올바른 flatness statement이다.

11. O-motif에는 Wilson-loop flux가 없다

O-motif에는 비자명한 vertex-induced Wilson-loop flux가 없다.

\[
\boxed{
H_{\vec C}=1_{SU(2)}
\quad
\text{for all distinguished O-cycles.}
}
\]

따라서 이후 charge-like, spin-like, color-like observable은 $h_{ab}$의 nontrivial loop holonomy로 정의될 수 없다.

그것들은 대신 flat-compatible data에서 추출되어야 한다. 예를 들면 다음과 같다.

• ordered square phase patterns,
• oriented square-channel arrangements,
• lifted winding-like labels compatible with $H_{\vec C}=1$,
• inter-channel triangular incidence bookkeeping.

 

12. Inter-square-channel incidence cycle로서의 삼각형

각 triangular cycle

\[
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3}
=
[x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
\]

는 세 edge를 갖는다.

\[
\{x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2}\},
\]

\[
\{x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}\},
\]

\[
\{x_3^{\epsilon_3},x_1^{\epsilon_1}\}.
\]

이들은 각각 다음 square channel에 놓인다.

\[
C_\square^{(3)},
\qquad
C_\square^{(1)},
\qquad
C_\square^{(2)}.
\]

따라서 O-motif의 triangular cycle은 하나의 square channel 내부에 놓인 cycle이 아니다.  
그것은 세 square-channel sector를 각각 한 번씩 가로지른다.

그러므로

\[
\boxed{
C_\triangle(O)
=
\text{inter-square-channel incidence bookkeeping sector}.
}
\]

이것은 triangular sector가 $q$에 대한 추가 dynamical constraint를 부여한다는 뜻이 아니다.  
그 flatness는 이미

\[
h_{ab}=q_a^{-1}q_b
\]

에서 자동으로 따라온다.

13. Coherent square-reference orientation convention

triangular orientation bookkeeping sign을 정의하기 위해 coherent square-reference convention을 선택한다.

\[
\vec C_\square^{(1)}
=
\langle x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-\rangle_{C_4},
\]

\[
\vec C_\square^{(2)}
=
\langle x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-\rangle_{C_4},
\]

\[
\vec C_\square^{(3)}
=
\langle x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-\rangle_{C_4}.
\]

각 O-edge는 정확히 하나의 square cycle에 속하므로, 이 convention은 모든 O-edge에 square-reference orientation을 배정한다.

하지만 이 convention은 선택된 reference structure이다.  
그것은 unoriented O-boundary support의 invariant가 아니다.

14. Square-reference triangular sign

부호를 숫자로 읽는다.

\[
+=+1,
\qquad
-=-1.
\]

따라서

\[
\epsilon_i\in\{+1,-1\}.
\]

based oriented triangular representative

\[
\vec C_\triangle^\epsilon
=
\langle
x_1^{\epsilon_1},
x_2^{\epsilon_2},
x_3^{\epsilon_3}
\rangle
\]

에 대해,

\[
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^\epsilon)
=
(\sigma_{12},\sigma_{23},\sigma_{31})
\]

로 정의한다. 여기서

\[
\sigma_{12}
=
\epsilon_1\epsilon_2,
\]

\[
\sigma_{23}
=
\epsilon_2\epsilon_3,
\]

\[
\sigma_{31}
=
-\epsilon_3\epsilon_1.
\]

$\sigma_{ij}=+1$이면 triangle traversal direction이 해당 square-channel edge의 선택된 square-reference orientation과 일치한다는 뜻이다.

$\sigma_{ij}=-1$이면 triangle traversal direction이 선택된 square-reference orientation과 반대라는 뜻이다.

따라서

\[
\boxed{
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^\epsilon)
=
(\epsilon_1\epsilon_2,\epsilon_2\epsilon_3,-\epsilon_3\epsilon_1).
}
\]

이 coherent square-reference convention에 대해,

\[
\begin{aligned}
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}
&=
(\epsilon_1\epsilon_2)(\epsilon_2\epsilon_3)(-\epsilon_3\epsilon_1)
\\
&=
-1.
\end{aligned}
\]

따라서 이 convention 아래에서

\[
\boxed{
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}=-1.
}
\]

15. 여덟 triangle의 sign-pattern decomposition

위 convention 아래에서 여덟 triangular representative는 다음 sign pattern을 갖는다.

\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{triangle representative}
&
(\sigma_{12},\sigma_{23},\sigma_{31})
&
\text{direction mixture}
\\
\hline
\vec C_\triangle^{+++}
&
(+,+,-)
&
2\text{ forward, }1\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{++-}
&
(+,-,+)
&
2\text{ forward, }1\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{+-+}
&
(-,-,-)
&
0\text{ forward, }3\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{+--}
&
(-,+,+)
&
2\text{ forward, }1\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{-++}
&
(-,+,+)
&
2\text{ forward, }1\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{-+-}
&
(-,-,-)
&
0\text{ forward, }3\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{--+}
&
(+,-,+)
&
2\text{ forward, }1\text{ backward}
\\
\vec C_\triangle^{---}
&
(+,+,-)
&
2\text{ forward, }1\text{ backward}
\end{array}
\]

따라서 실제로 나타나는 sign pattern은 네 종류뿐이다.

\[
(+,+,-),
\qquad
(+,-,+),
\qquad
(-,+,+),
\qquad
(-,-,-).
\]

각 pattern은 두 번씩 나타난다.

\[
(+,+,-):
\quad
+++,\ ---
\]

\[
(+,-,+):
\quad
++-,\ --+
\]

\[
(-,+,+):
\quad
+--,\ -++
\]

\[
(-,-,-):
\quad
+-+,\ -+-.
\]

따라서

\[
\boxed{
8\text{ triangular representatives}
=
2\times 4\text{ square-reference sign patterns}.
}
\]

16. Square orientation flip에 대한 의존성

sign formula는 independent flip of square-reference orientations에 대해 invariant가 아니다.

각 square channel의 square-reference orientation flip을

\[
\tau_{12},\tau_{23},\tau_{31}\in\{\pm1\}
\]

로 기록하자.

그러면

\[
\sigma'_{12}
=
\tau_{12}\sigma_{12},
\]

\[
\sigma'_{23}
=
\tau_{23}\sigma_{23},
\]

\[
\sigma'_{31}
=
\tau_{31}\sigma_{31}.
\]

따라서

\[
\begin{aligned}
\sigma'_{12}\sigma'_{23}\sigma'_{31}
&=
(\tau_{12}\tau_{23}\tau_{31})
(\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31})
\\
&=
-(\tau_{12}\tau_{23}\tau_{31}).
\end{aligned}
\]

따라서

\[
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}=-1
\]

이라는 식은 모든 square-orientation choice에 대해 참인 명제가 아니다.  
그것은 선택한 coherent square-reference convention 아래에서 참이다.

올바른 statement는 다음이다.

\[
\boxed{
\text{For the chosen coherent square-reference convention, }
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}=-1.
}
\]

17. Triangle representative에 대한 의존성

triangular support는

\[
C_\triangle^\epsilon
=
[x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
\]

이다. 이것은 intrinsic orientation을 갖지 않는다.

representative

\[
\vec C_\triangle^\epsilon
=
\langle
x_1^{\epsilon_1},
x_2^{\epsilon_2},
x_3^{\epsilon_3}
\rangle
\]

는 선택된 based oriented representative이다.

만약 reversed representative를 선택하면,

\[
-\vec C_\triangle^\epsilon
=
\langle
x_1^{\epsilon_1},
x_3^{\epsilon_3},
x_2^{\epsilon_2}
\rangle
\]

가 된다.

이 경우 holonomy는 여전히 flat하다.

\[
H_{-\vec C_\triangle^\epsilon}
=
(H_{\vec C_\triangle^\epsilon})^{-1}
=
1.
\]

하지만 square-reference sign bookkeeping은 바뀐다.  
왜냐하면 그것은 $D_3$-support 자체에 대해 정의되는 것이 아니라 oriented representative에 대해 정의되기 때문이다.

따라서

\[
\boxed{
H_\triangle^\epsilon=1
\quad
\text{is support-independent flatness.}
}
\]

반면

\[
\boxed{
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^\epsilon)
\quad
\text{is representative-dependent bookkeeping.}
}
\]

18. Labeled O-frame axes에 대한 의존성

공식

\[
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^\epsilon)
=
(\epsilon_1\epsilon_2,\epsilon_2\epsilon_3,-\epsilon_3\epsilon_1)
\]

은 선택된 O-frame axis labeling

\[
1,2,3
\]

에도 의존한다.

axis permutation

\[
(1,2,3)\mapsto (\pi(1),\pi(2),\pi(3))
\]

을 적용하면 sign triple의 coordinate expression도 그에 따라 바뀐다.

따라서

\[
\boxed{
\operatorname{sgn}_\square
\text{ is not an invariant of the unlabeled }K_{2,2,2}\text{ graph.}
}
\]

그것은 다음을 선택한 뒤에만 정의된다.

\[
\boxed{
\text{a labeled O-frame,}
}
\]

\[
\boxed{
\text{a coherent square-reference orientation convention,}
}
\]

\[
\boxed{
\text{and a based oriented triangular representative.}
}
\]

19. Flatness와 bookkeeping의 분리

두 구조는 분리되어야 한다.

첫째,

\[
\boxed{
H_{\vec C}=1_{SU(2)}
}
\]

은 vertex-induced flatness identity이다.

둘째,

\[
\boxed{
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^\epsilon)
}
\]

는 combinatorial orientation bookkeeping label이다.

sign product

\[
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}=-1
\]

은

\[
H_\triangle^\epsilon=-1
\]

을 뜻하지 않는다. 실제로 항상

\[
\boxed{
H_\triangle^\epsilon=1_{SU(2)}
}
\]

이다.

따라서 triangular sign bookkeeping은 flux도 아니고, curvature도 아니며, independent charge도 아니다.

20. Lemma v2.4-o-motif-3

\[
O=(V_O,P_O,G_Q[V_O],C_\square(O),C_\triangle(O))
\]

를 labeled O-frame

\[
V_O=\{x_1^\pm,x_2^\pm,x_3^\pm\}
\]

를 갖는 Qaether v2.4 O-motif라고 하자.

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이고 opposite pair가

\[
\{x_i^+,x_i^-\},
\qquad
i=1,2,3
\]

라고 하자.

또한

\[
h_{ab}=q_a^{-1}q_b
\]

라고 하자.

그러면 모든 distinguished O-boundary cycle

\[
C\in C_\square(O)\cup C_\triangle(O)
\]

과 모든 based oriented representative

\[
\vec C\in \operatorname{Rep}(C)
\]

에 대해

\[
\boxed{
H_{\vec C}=1_{SU(2)}.
}
\]

또한 coherent square-reference convention

\[
\vec C_\square^{(1)}
=
\langle x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-\rangle_{C_4},
\]

\[
\vec C_\square^{(2)}
=
\langle x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-\rangle_{C_4},
\]

\[
\vec C_\square^{(3)}
=
\langle x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-\rangle_{C_4}
\]

을 선택하고, triangular representative

\[
\vec C_\triangle^\epsilon
=
\langle x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}\rangle
\]

를 선택하면, square-reference triangular sign은

\[
\boxed{
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^\epsilon)
=
(\epsilon_1\epsilon_2,\epsilon_2\epsilon_3,-\epsilon_3\epsilon_1).
}
\]

이 convention에 대해

\[
\boxed{
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}=-1.
}
\]

이 sign formula는 $D_3$-triangular support의 intrinsic invariant가 아니다.  
그것은 선택된 labeled O-frame, 선택된 square-reference orientation, 선택된 based oriented triangular representative에 의존하는 bookkeeping label이다.

21. Lemma의 증명

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이므로 O-edge는 정확히 다음 형태의 pair이다.

\[
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}
\quad
\text{with}
\quad
i\neq j.
\]

세 unordered index pair

\[
(1,2),
\qquad
(2,3),
\qquad
(1,3)
\]

는 정확히 세 square channel에 대응한다.  
따라서 모든 O-edge는 정확히 하나의 square cycle 안에 놓인다.

edge가

\[
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\},
\qquad
i\neq j
\]

형태라고 하자. 그러면 남은 index $k$가 정확히 하나 존재한다. 이 edge를 포함하는 triangle의 세 번째 vertex는 $x_k^+$ 또는 $x_k^-$가 될 수 있다. 따라서 모든 O-edge는 정확히 두 개의 triangular cycle에 속한다.

다음으로 based oriented closed graph loop

\[
\vec C=
\langle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\rangle
\]

에 대해,

\[
\begin{aligned}
H_{\vec C}
&=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}
\\
&=
(q_{v_0}^{-1}q_{v_1})
(q_{v_1}^{-1}q_{v_2})
\cdots
(q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0})
\\
&=
1_{SU(2)}.
\end{aligned}
\]

따라서 모든 square and triangular O-boundary cycle은 flat하다.

마지막으로, 선택한 coherent square-reference convention 아래에서 triangle traversal direction과 square-channel reference orientation을 직접 비교하면

\[
\sigma_{12}
=
\epsilon_1\epsilon_2,
\]

\[
\sigma_{23}
=
\epsilon_2\epsilon_3,
\]

\[
\sigma_{31}
=
-\epsilon_3\epsilon_1
\]

를 얻는다.

따라서

\[
\begin{aligned}
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}
&=
(\epsilon_1\epsilon_2)
(\epsilon_2\epsilon_3)
(-\epsilon_3\epsilon_1)
\\
&=
-1.
\end{aligned}
\]

이로써 lemma가 증명된다.

22. 해석

v2.4-o-motif-3는 다음 구분을 제공한다.

\[
\boxed{
C_\square(O)
=
\text{internal orthogonal square-channel sector}.
}
\]

\[
\boxed{
C_\triangle(O)
=
\text{inter-square-channel incidence bookkeeping sector}.
}
\]

둘 다 vertex-induced holonomy에서 flat하다.

\[
\boxed{
H_{\vec C}=1_{SU(2)}
\quad
\text{for all distinguished O-cycles}.
}
\]

square sector는 이후 flat ordered phase-pattern observable을 지지할 수 있다.

triangular sector는 이후 한 O-motif 내부에서 세 square channel이 어떻게 서로 봉합되어 있는지를 추적하는 데 사용될 수 있다.

하지만 triangular sector 자체는 charge, spin, flux, chirality, curvature를 정의하지 않는다.  
그러한 해석은 별도의 later-layer definition을 필요로 한다.

23. 최종 지위

최종 지위는 다음과 같다.

\[
\boxed{
\text{v2.4-o-motif-3 is mathematically consistent with official Qaether v2.4.}
}
\]

\[
\boxed{
\text{It is not a new axiom.}
}
\]

\[
\boxed{
\text{It is not a Wilson-loop flux theory.}
}
\]

\[
\boxed{
\text{It is not an independent dynamical constraint on }q.
}
\]

\[
\boxed{
\text{It is a derived O-motif cycle-flatness and orientation-bookkeeping layer.}
}
\]

핵심 최종 공식은 다음이다.

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle,
\qquad
\forall \vec C\in\operatorname{Rep}
\bigl(C_\square(O)\cup C_\triangle(O)\bigr),
\quad
H_{\vec C}=1_{SU(2)}.
}
\]

선택된 labeled O-frame과 coherent square-reference convention 아래에서,

\[
\boxed{
\operatorname{sgn}_\square(\vec C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3})
=
(\epsilon_1\epsilon_2,\epsilon_2\epsilon_3,-\epsilon_3\epsilon_1),
}
\]

따라서

\[
\boxed{
\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}=-1.
}
\]

마지막 sign identity는 convention-dependent bookkeeping result이지, intrinsic holonomy나 physical flux가 아니다.