[v2.4] Q-CDT-O: Embedded O-Formation, Marked Internal Boundary, and Causal Persistence

T-space 내부 O의 출현, 표시된 내부경계, 그리고 Q-CDT형 인과 존속

이 글의 목적

본 모듈의 목적은 다음 구조를 최소한의 가정으로 정의하는 것이다.

이 글에서는 세 가지 질문을 다룬다.

첫째, T-모티프의 공간적 운반체 내부에서 국소적인 정점 재배열로 O-모티프가 출현할 수 있는가.

둘째, 이렇게 형성된 O-모티프가 주변의 T-섹터들에 완전히 매립될 경우, 여덟 개의 삼각형 경계 발생(triangular boundary incidences)이 T-섹터들에 대해 닫힌 내부 경계를 이루는가.

셋째, 그 내부 경계를 마크된 경계 데이터(marked boundary data)로 유지한 상태에서, 공간 위상이 고정된 Q-CDT형 인과 접합(causal gluing)을 적용하면 O-모티프가 다음 시간층에도 존속하는가.

본 모듈의 핵심 질문은 다음이다.

 

"T-space 내부에서 한 번 형성된 O-motif를 주변 T-sector의 정상적인 Q-CDT causal gluing만으로 제거할 수 있는가?"

 

본 버전의 결론은 다음과 같다. eks, 이 결과는 O의 절대적인 동역학적 안정성을 주장하지 않는다.

$$(3T\to O)_{\rm embedded} \Longrightarrow O+8T$$
$$O+8T \Longrightarrow \text{closed inward-blocked O-incidence boundary}$$
$$\text{post-formation fixed-topology Q-CDT} + \text{marked O-boundary condition}$$
$$\hspace{15mm}\Longrightarrow O_n\to O_{n+1}$$

 

0. 공식 Qaether v2.4와의 관계

Qaether의 primitive object는 vertex다.

 

Qaether = vertex

 

primitive bond의 관계형은 edge이지만, 본 동역학 모듈에서 현재의 edge incidence는 vertex configuration의 결과로 결정된다.

따라서

$$
\text{vertex configuration}
\longrightarrow
\text{direct-action admissibility}
\longrightarrow
\text{edge incidence}
\longrightarrow
\text{cycle incidence}
\longrightarrow
\text{motif}
$$

edge를 독립적인 동역학적 자유도로 직접 flip하지 않는다.

특히 $3T\to O$는 vertex structural rearrangement이며, 그 결과를 graph 수준에서 edge 변화로 기록할 뿐이다.

또한 공식 v2.4와 동일하게

$$
q_v\in SU(2),
\qquad
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
$$

이고 독립적인 link connection을 추가하지 않는다.

---

1. T-only spatial carrier

시간층 $n$에서 T-motif들로 이루어진 spatial carrier를 $\Sigma_n^T$라고 한다.

본 모듈의 초기 $3T$ configuration은 고립된 세 개의 $T$가 아니라 $ \mathcal N_{3T}\subset\Sigma_n^T $인 국소 부분이다.

T-only carrier의 내부 triangular cycle $C$는 face-to-face incidence에서 $\deg_T(C)=2$를 만족한다고 가정한다.

즉 각 내부 triangle은 양쪽 T-motif에 의해 공유된다.

---

2. 초기 $3T$ configuration

다음 세 T-motif를 취한다.

$$
T_1=[a,b,c,d],\quad T_2=[a,b,c,e],\quad T_3=[a,b,e,f]
$$

공유관계는

$$
T_1\cap T_2=[a,b,c], \quad T_2\cap T_3=[a,b,e]
$$

국소 vertex 집합은

$$
V_{\mathcal N} = \{a,b,c,d,e,f\}
$$

이다.

초기 derived graph는

$$
E_-= \binom{V_{\mathcal N}}2 \setminus \{cf,de,df\}
$$

따라서 초기 non-edge는

$$
cf,\qquad de,\qquad df
$$

이 graph의 $K_4$ subgraphs는 정확히

$$
[a,b,c,d],
\qquad
[a,b,c,e],
\qquad
[a,b,e,f]
$$

따라서 이는 정확히 하나의 $3T$ local configuration이다.

---

3. $3T\to O$ structural bridge transition

3.1 전이의 촉발

공유 triangular interface 근방으로 한 vertex가 접근하면서 local packing instability가 발생할 수 있다고 본다.

그러나 한 vertex만의 이동으로 전체 $3T\to O$가 완성되는 것은 아니다.

따라서 전이는

$$ \text{shared-interface-directed vertex intrusion}
\longrightarrow
\text{local collective vertex relaxation}
\longrightarrow
O\text{ configuration} $$

으로 해석한다.

3.2 핵심 contact rearrangement

collective rearrangement의 결과

$ab$의 직접 contact가 사라지고, $df$의 직접 contact가 생성된다고 하자.

즉,

$$
d_-(a,b)=\ell_Q,
\qquad
d_+(a,b)>\ell_Q,
$$

$$
d_-(d,f)>\ell_Q,
\qquad
d_+(d,f)=\ell_Q
$$

graph 수준에서는 $ab\longrightarrow df$라고 쓸 수 있다.

그러나 $ab\to df$는 primitive edge flip이 아니라 vertex rearrangement의 graph-level shadow이다.

---

4. 최종 O-motif

전이 후 derived edge set이

$$
E_+ = (E_-\setminus{ab})\cup{df}
$$

이면 최종 non-edge는

$$
ab,\qquad cf,\qquad de
$$

이 세 pair는 서로소 perfect matching을 이룬다.

따라서

$$
G_+[V_{\mathcal N}] = K_6- {ab,cf,de} \cong K_{2,2,2}
$$

최종 realization이 정규 O admissibility와 distinguished-cycle 조건을 만족하면

$$
R_{3T\to O}: 3T\longrightarrow O
$$

가 성립한다.

---

5. 세 square channel의 형성

최종 O의 세 distinguished square cycles를

$$
C_{\square,1}=[a,c,b,f],
$$

$$
C_{\square,2}=[a,d,b,e],
$$

$$
C_{\square,3}=[c,d,f,e]
$$

로 둘 수 있다.

초기 상태에서는 첫 두 4-cycle에 $ab$라는 추가 diagonal contact가 있고, 세 번째에서는 $df$가 빠져 있다.

전이 후

$$
ab\notin E_+, \qquad df\in E_+
$$

이므로 세 square channel이 O의 distinguished square incidence로 완성된다.

따라서 $3T\to O$는 square 하나의 생성이 아니라 six-vertex direct-action pattern 전체의 재조직화이다.

---

6. Structural bridge와 causal gluing의 분리

$3T\to O$가 발생하면 T-sector의 incidence structure 자체가 바뀐다.

따라서 이 전이는 이후에 사용할 fixed-topology CDT형 gluing 자체와 동일시하지 않는다.

이를

$$
R_{3T\to O}=\text{local structural bridge transition}
$$

이라고 한다.

개념적 순서는

$$
\Sigma_n^T
\xrightarrow{R_{3T\to O}}
\Sigma_n^{T|O}
\xrightarrow{G_{\rm QCDT}}
\Sigma_{n+1}^{T|O}
$$

첫 번째 화살표는 O를 생성하는 국소 구조전이다.

두 번째 화살표는 O가 이미 존재하는 carrier에 적용되는 Q-CDT형 causal gluing이다.

따라서 fixed-topology condition은

$$ R_{3T\to O}\text{ 이후의 causal evolution} $$

에 적용한다.

---

7. Embedded $3T\to O$ completion

초기 $3T$ cluster의 triangular incidence boundary는

$$
\{
abd,acd,bcd,
ace,bce,
abf,aef,bef
\}
$$

최종 O의 8개 triangular cycles는

$$
\{
acd,ace,adf,aef,
bcd,bce,bdf,bef
\}
$$

따라서 6개는 유지되고,

$$
abd,\qquad abf
$$

가 사라지며

$$
adf,\qquad bdf
$$

가 생성된다.

그러므로 embedded transition에서는 중앙 여섯 vertex만이 아니라 필요한 최소 주변 T-neighborhood의 incidence도 함께 재검출되어야 한다.

7.1 Embedded completion condition

본 모듈에서

$$
(3T\to O)_{\rm embedded}
$$

는 최종 O의 8개 triangular cycles 모두가 주변 T-sector와 정상적인 interface incidence를 갖는 전이로 정의한다.

즉,

$$
\forall C\in\mathcal C_\triangle(O), \qquad \exists!, T_C\in\mathcal M_T^{\rm ext}: C\in\mathcal C_\triangle(T_C)
$$

따라서

$$
(3T\to O)_{\rm embedded} \Longrightarrow O+8T
$$

여기서 $O+8T$는 순수한 six-vertex graph transition에서 자동으로 따라오는 명제가 아니라, T-space 내부에 완전히 실현된 $(3T\to O)$의 completion condition이다.

---

8. $O+8T$ geometry

정규 O의 중심을 $c$, orthonormal frame을 $(u_1,u_2,u_3)$라고 하고 $
r=\frac{\ell_Q}{\sqrt2} $라 하자.

O의 vertex는

$$
x_i^\pm=c\pm ru_i
$$

O의 8개 triangular cycles는

$$
C_{\boldsymbol\epsilon} = [x_1^{\epsilon_1}, x_2^{\epsilon_2}, x_3^{\epsilon_3}], \qquad \epsilon_i\in \{\pm1\}
$$

로 나타낼 수 있다.

---

9. Outward T-embedding

각 triangle의 outward regular-T apex는

$$
y_{\boldsymbol\epsilon}^{\rm out} = c+r( \epsilon_1u_1+ \epsilon_2u_2+ \epsilon_3u_3)
$$

해당 face의 세 vertex에 대해

$$
d(y_{\boldsymbol\epsilon}^{\rm out}, x_i^{\epsilon_i} )=\ell_Q
$$

서로 다른 outward apex 사이의 최소거리는 $\sqrt2 \,\ell_Q>\ell_Q$이다. 또한 outward apex와 해당 face에 포함되지 않는 O vertex 사이의 거리도$>\ell_Q$이다.

따라서 8개의 exterior T를 동시에 배치하는 것은 exclusion condition과 양립한다.

$$ O+8T
\text{ is locally geometrically admissible} $$

---

10. O-inward T-gluing exclusion

같은 triangle의 inward regular-T apex는

$$
y_{\boldsymbol\epsilon}^{\rm in} = c- \frac r3 ( \epsilon_1u_1+ \epsilon_2u_2+ \epsilon_3u_3)
$$

각 opposite O vertex

$x_i^{-\epsilon_i}$에 대해

$$
d( y_{\boldsymbol\epsilon}^{\rm in}, x_i^{-\epsilon_i})=\frac{\ell_Q}{\sqrt3}<\ell_Q
$$

따라서 Qaether exclusion condition을 위반한다.

그러므로 모든 8개 triangle에 대해

$$
\operatorname{Glue}_T (O,C_{\boldsymbol\epsilon},\mathrm{in})=\varnothing
$$

즉, 8/8 O-triangular interfaces are inward-blocked.

이 차단은 O에 별도의 금지법칙을 부여한 결과가 아니다.

regular O geometry + Qaether exclusion $\Longrightarrow$ inward T-gluing obstruction

---

11. O triangular incidence boundary

Qaether의 triangular cycles는 filled triangular faces가 아니다.

따라서 O의 8개 triangular cycles의 합집합을 실제 filled surface와 동일시하지 않는다.

대신 O의 triangular incidence structure를

$$
\mathfrak B_\triangle(O)= \left( V(O), E(O), \mathcal C_\triangle(O) \right)
$$

라고 정의한다.

이 incidence data는 정규 octahedral boundary의 조합형을 갖는다.

그 combinatorial counts는

$$
|V(O)|=6,
$$

$$
|E(O)|=12,
$$

$$
|\mathcal C_\triangle(O)|=8
$$

따라서 reference incidence Euler count는

$$
6-12+8=2
$$

또한 각 O-edge는 정확히 두 distinguished O-triangles에 incident한다.

그러므로

$$
\mathfrak B_\triangle(O)
\text{ has closed octahedral }S^2\text{-type incidence}.
$$

여기서 $S^2$-type은 primitive filled surface를 뜻하지 않는다.

이는 "오직 O의 boundary-cycle incidence combinatorics"에 관한 표현이다.

---

12. T-sector의 closed internal boundary

embedded O의 모든 triangle은 바깥쪽에서 T-sector와 접하고, O 방향으로는 추가 T-gluing이 불가능하다.

따라서 O의 T-sector internal boundary를

$$
\partial_T^-O = \left\{ (O,C,\mathrm{in}) : C\in\mathcal C_\triangle(O) \right\}
$$

로 정의한다.

이 boundary는 실제 filled 2-surface가 아니라 "closed set of blocked motif-side incidences"이다.

O의 8개 triangular incidences가 closed octahedral combinatorics를 가지므로

"$\partial_T^-O$ is a closed internal boundary condition of the T-sector."

이는 전체 Qaether graph의 외부 boundary가 아니다.

---

13. Marked O-boundary data

fixed topology만으로는 internal-boundary component의 존재는 보존할 수 있어도, 그 boundary가 반드시 동일한 6-vertex O incidence를 유지한다고 할 수 없다.

따라서 O의 exact motif persistence를 논하기 위해 O-boundary marking을 정의한다.

$$
\mathfrak m_O = \left( V_O, P_O, \mathcal C_\triangle(O), \mathcal C_\square(O) \right),
$$

여기서

$$
P_O = \left\{ \{x_1^+,x_1^-\}, \{x_2^+,x_2^-\}, \{x_3^+,x_3^-\}\right\}
$$

는 opposite-pair matching이다.

$\mathfrak m_O$는 독립적인 edge field가 아니다.

각 시간층에서 실제 edge incidence는 여전히 해당 vertex configuration에서 유도되어야 한다.

즉, marking $\neq$ independent edge freezing.

marking은 어떤 여섯 vertex와 어떤 O-incidence를 내부경계 data로 추적하는지를 지정하는 bookkeeping structure다.

---

14. Post-formation Q-CDT causal gluing

O가 형성된 이후의 carrier를 $\Sigma_n^{T|\mathfrak m_O}$ 라고 한다.

후속 인과 evolution은

$$ G_{\rm QCDT}:
\Sigma_n^{T|\mathfrak m_O}
\longrightarrow
\Sigma_{n+1}^{T|\mathfrak m_O} $$

로 둔다.

이 gluing은 다음 원칙을 따른다.

QCDT-O-G1. Foliated causal gluing

인접한 spatial carrier 사이를 CDT형 causal gluing으로 연결한다.

QCDT-O-G2. Fixed T-sector topology

O가 형성된 이후에는 internal-boundary component를 포함한 T-sector의 spatial incidence-topology를 고정한다.

QCDT-O-G3. Complement gluing

정상적인 T-sector causal gluing은 marked O-boundary의 complement에 작용한다.

QCDT-O-G4. No inward crossing

$\partial_T^-O$를 가로지르는 T-gluing은 허용되지 않는다.

QCDT-O-G5. No boundary retriangulation

동일한 causal step 안에서는 marked O-boundary의 six-vertex incidence를 T-sector retriangulation으로 교체하지 않는다.

QCDT-O-G6. No independent structural destruction

별도의 $O\to3T$collective vertex rearrangement는 동일한 ordinary causal-gluing step에 포함하지 않는다.

---

15. Boundary-component persistence

시간층 $n$에서 closed internal boundary $\partial_T^-O_n$가 존재한다고 하자.

다음 시간층에서 이 component가 완전히 사라진다면

$$
\partial_T^-O_n
\longrightarrow
\varnothing
$$

가 된다.

이는 post-formation T-sector에서 하나의 internal-boundary component가 소멸하는 topology-changing history다.

그러나 본 모듈의 Q-CDT evolution은 post-formation spatial topology를 고정한다.

따라서

$$
\partial_T^-O_n
\not\longrightarrow
\varnothing
$$

즉,

$$
\partial_T^-O_n
\longrightarrow
\partial_T^-O_{n+1}
$$

연속된 시간층에서는 이 marked internal boundary가 하나의 causal boundary history를 형성한다.

이를

$$
\mathcal W_O
=
{
\partial_T^-O_n
}_{n}
$$

라고 한다.

$\mathcal W_O$는 실제 filled worldtube를 primitive하게 도입하는 것이 아니라, 시간층에 따른 closed boundary-incidence sequence다.

---

16. O-motif persistence

boundary component의 존속만으로는 exact O-motif가 자동으로 보존되지 않는다.

그러나 본 모듈에서는 $\mathfrak m_O$를 marked internal-boundary data로 유지하고 ordinary Q-CDT gluing이 그 incidence를 retriangulate하지 않는다.

또한 동일 causal step에는 O vertex들의 collective structural rearrangement를 포함하지 않는다.

따라서 O를 구성하는 vertex configuration이 O-admissible sector 안에 유지되고, 그 vertex들에서 유도되는 graph는

$$
G[V(O_n)] \cong K_{2,2,2}
$$

를 유지한다.

즉, $$ O_n\longrightarrow O_{n+1}$$

여기서 보존되는 것은 독립적인 edge가 아니다.

$$
\text{marked O vertex configuration의 유지}
\Longrightarrow
\text{derived O incidence의 유지}.
$$

---

17. Gauge/frame compatibility

O의 생성과 inward exclusion의 기하적 핵심은

$$
\rho,
\quad
\ell_Q,
\quad
\text{vertex incidence}
$$

로 정의된다.

따라서 vertex-state의 공통 internal-frame 변환

$$
q_v\mapsto gq_v,
\qquad
g\in SU(2)
$$

아래는 불변이다.

$$
h_{vw} = q_v^{-1}q_w
$$

본 모듈에서 $q$-dependent bond admissibility를 사용할 경우에도 그 판정은 이러한 관계적 frame-invariant quantities에만 의존해야 한다.

따라서

$$
E[\rho,gq] = E[\rho,q]
$$

본 모듈은 독립적인 local link connection을 도입하지 않는다.

그러므로 O-formation과 O-persistence는 공식 v2.4의 vertex-induced flat $SU(2)$ structure와 양립한다.

---

18. 최소 공리계

QCDT-O-A1. Vertex primacy

edge와 motif의 현재 incidence는 vertex configuration에서 유도된다.

QCDT-O-A2. Embedded T background

초기 $3T$ configuration은 face-to-face T-only spatial carrier의 국소 부분이다.

QCDT-O-A3. Structural bridge

$$
3T\to O
$$

는 ordinary CDT gluing이 아니라 local collective vertex rearrangement에 의한 structural bridge transition이다.

QCDT-O-A4. Embedded completion

$$
(3T\to O)_{\rm embedded}
$$

는 최종 O의 8개 triangular cycles 모두가 surrounding T-sector와 interface incidence를 갖는 경우다.

QCDT-O-A5. Inward exclusion

모든 O triangular cycle의 inward regular-T apex는 기존 O vertex와

$$
\frac{\ell_Q}{\sqrt3}<\ell_Q
$$

의 거리를 가지므로 허용되지 않는다.

QCDT-O-A6. Closed incidence boundary

O의 8개 triangular cycles는 actual filled surface가 아니라 closed octahedral $S^2$-type incidence를 이룬다.

QCDT-O-A7. T-sector internal boundary

모든 inward-blocked O-side incidences의 집합 $
\partial_T^-O
$를 T-sector의 closed internal boundary condition으로 정의한다.

QCDT-O-A8. Marked O-boundary

O의 vertex identity, opposite-pair matching, triangular incidence 및 square incidence를 $\mathfrak m_O$로 표시한다.

이 marking은 independent edge variable이 아니다.

QCDT-O-A9. Post-formation fixed topology

$R_{3T\to O}$ 이후의 ordinary Q-CDT causal evolution에서는 internal-boundary component를 포함한 T-sector spatial topology를 보존한다.

QCDT-O-A10. Complement causal gluing

ordinary T-sector gluing은 marked O-boundary의 complement에서 수행하며 O-inward direction을 가로지르지 않는다.

QCDT-O-A11. No ordinary boundary retriangulation

ordinary Q-CDT step은 marked O-boundary의 exact six-vertex incidence를 변경하지 않는다.

QCDT-O-A12. Causal persistence

따라서 ordinary post-formation Q-CDT evolution 아래에서

$$
\partial_T^-O_n
\to
\partial_T^-O_{n+1}
$$

이고,

$$
O_n\to O_{n+1}
$$

---

19. 핵심 정리

Embedded O Causal-Persistence Theorem

Face-to-face T-only spatial carrier 내부에서 admissible embedded

$$
3T\to O
$$

structural bridge가 발생했다고 하자.

최종 O의 8개 triangular cycles가 모두 surrounding T-sector와 접하고, 모든 O-inward T-gluing이 Qaether exclusion에 의해 차단된다고 하자.

그러면 O의 triangular incidence structure는 closed octahedral $S^2$-type combinatorics를 가지며,

$$
\partial_T^-O
$$

는 T-sector의 closed internal boundary condition이 된다.

이후 evolution을 post-formation fixed-topology Q-CDT causal gluing으로 제한하고, O를 $\mathfrak m_O$라는 marked internal-boundary data로 유지하며 ordinary gluing이 그 incidence를 retriangulate하지 않는다면,

$$
\partial_T^-O_n
\longrightarrow
\partial_T^-O_{n+1}
$$

또한 O의 vertex configuration에 별도의 collective structural rearrangement가 작용하지 않으므로 그 vertex들에서 유도되는

$$
K_{2,2,2}
$$

incidence도 유지된다.

따라서

$$
O_n
\longrightarrow
O_{n+1}
$$

---

20. 성립 범위

본 정리는 다음을 주장한다.

"O는 ordinary post-formation T-QCDT gluing에 대해 persistent하다."

본 정리는 다음을 주장하지 않는다.

• $O$가 모든 가능한 dynamics에서 절대적으로 안정하다,
• O\to3T structural transition이 불가능하다,
• $O$의 생성 자체가 fixed-topology CDT move다,
• $O$ boundary가 실제 filled $S^2$ surface다,
• $O$ persistence가 자동으로 proper-time dilation을 만든다.

특히
$$
\text{causal persistence}
\neq
\text{absolute dynamical stability}
$$

---

21. 최종 구조

Qaether v2.4-QCDT-O의 전체 논리는 다음과 같다.

$$
\begin{aligned}
\Sigma_n^T
&\supset 3T\\
&\xrightarrow{R_{3T\to O}} O\\
&\xrightarrow{\text{embedded completion}} O+8T\\
&\xrightarrow{\text{Qaether exclusion}} \partial_T^-O\\
&\xrightarrow{\text{marked boundary}} \Sigma_n^{T|\mathfrak m_O}\\
&\xrightarrow{\text{fixed-topology }G_{\rm QCDT}} \Sigma_{n+1}^{T|\mathfrak m_O}\\
&\Longrightarrow O_{n+1}
\end{aligned}
$$

여기서 첫 번째 전이

$R_{3T\to O}$는 vertex 구조를 바꾸는 structural bridge이고,

그 이후의 $G_{\rm QCDT}$는 이미 형성된 internal boundary를 가진 T-sector의 causal evolution이다.

따라서 O의 존속에는 서로 다른 두 구조적 이유가 있다.

$$
\text{Qaether geometry} \Longrightarrow \text{O-inward T-filling 불가}
$$ $$
\text{post-formation Q-CDT boundary condition} \Longrightarrow \text{O-boundary의 causal persistence}
$$

그리고 edge는 모든 단계에서 독립적으로 보존되거나 변경되지 않는다.

$$
\text{vertex configuration}
\Longrightarrow
\text{edge incidence}
$$

---

22. 최종 결론

T-only spatial carrier 내부의 국소 $3T$ configuration은 vertex structural rearrangement를 통해 O-motif로 전이할 수 있다.

$$
3T\to O
$$

이 전이가 surrounding T-space 안에서 완전히 embedded되면 최종 O의 8개 triangular cycles는 모두 exterior T-motifs와 interface를 이룬다.

$$
(3T\to O)_{\rm embedded} \Longrightarrow O+8T
$$

각 O-triangle의 inward regular-T apex는 기존 O vertex들과

$$
\frac{\ell_Q}{\sqrt3}
$$

의 거리를 가지므로 Qaether exclusion을 위반한다.

따라서

$$
\forall C\in\mathcal C_\triangle(O), \qquad \operatorname{Glue}_T(O,C,\mathrm{in}) =\varnothing
$$

O의 8개 triangular cycles는 primitive filled surface가 아니지만 closed octahedral $S^2$-type incidence를 이루므로, 그 inward-blocked sides는 T-sector의 closed internal boundary condition을 형성한다.

$$
\partial_T^-O
$$

O의 형성 자체는 fixed-topology CDT move가 아니라 structural bridge transition이다.

그러나 O가 형성된 이후 marked internal-boundary data

$\mathfrak m_O$를 가진 T-sector에 fixed-topology Q-CDT causal gluing을 적용하면 internal-boundary component는 causal evolution 중 소멸하지 않는다.

또한 ordinary causal gluing이 O의 six-vertex incidence를 retriangulate하지 않고 O vertex들에 별도의 collective structural rearrangement가 작용하지 않으므로,

$$
O_n\to O_{n+1}
$$

따라서 본 모듈의 핵심 결과는

embedded $3T \to O$ + Qaether inward exclusion + marked internal boundary + post-formation fixed-topology Q-CDT

$$
\Longrightarrow
\text{O-motif causal persistence}
$$

이때 O의 존속은 독립적인 edge 보존법칙이나 filled-volume 가정에서 나오는 것이 아니다.

vertex-derived O structure + boundary-incidence obstruction + Q-CDT boundary condition
의 결합에서 나온다.