[v2.3] 중력의 정의

0. 기본 원칙

Qaether에서 중력은 기본 힘으로 먼저 주어지지 않는다.

$$
\boxed{ \text{gravity} = \text{motif residual curvature의 coarse-grained effective response} }
$$

즉 Qaether 중력은 다음에서 나온다.

$$
\boxed{ \text{T/O-motif balance} + \text{edge defect} + \text{ordering defect} + \text{O-deficit} }
$$

중요하게도 Qaether 공간은 채워진 cell들의 집합이 아니라 vertex–edge network 위의 boundary graph/cycle incidence로 정의된다. $(T, O)$도 채워진 3-cell이 아니라 boundary graph motif다.

따라서 여기서의 곡률도 리만 곡률 텐서를 직접 정의하는 것이 아니라,

$$
\boxed{ \text{edge-local motif imbalance에서 생기는 effective angular defect} }
$$

로 먼저 정의한다.

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1. T/O edge incidence

Qaether graph의 edge를 $e \in E$ 라 하자.

이 edge를 포함하는 T-motif의 수를 다음과 같이 정의한다.
$$
\boxed{ t_e = |{T \in \mathcal{M}_T : e \in E(T)}| }
$$

마찬가지로 이 edge를 포함하는 O-motif의 수를 다음과 같이 정의한다.
$$
\boxed{ o_e = |{O \in \mathcal{M}_O : e \in E(O)}| }
$$

따라서 다음 쌍은 edge $e$ 주변의 local T/O motif balance가 된다.
$$
\boxed{ (t_e, o_e) }
$$

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2. Effective angle calibration

Qaether의 T-motif와 O-motif는 채워진 다면체 cell이 아니다. 하지만 중력 sector에서는 각각 regular tetrahedron과 regular octahedron의 dihedral angle을 effective calibration angle로 부여한다.

$$
\boxed{ \theta_T = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) }
$$
$$
\boxed{ \theta_O = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) }
$$

그러면 $\theta_O = \pi - \theta_T$ 이고, $\theta_T + \theta_O = \pi$ 이다.
따라서 다음 관계가 성립한다.
$$
\boxed{ 2\theta_T + 2\theta_O = 2\pi }
$$

이 관계가 Qaether 중력 sector에서 $\mathbf{2T+2O}$ balance가 특별한 이유다.
수학적 T/O complex에서도 defect-free 조건에서는 edge 주변에 정확히 두 tetrahedra와 두 octahedra가 오고, vertex link는 triangle-square 구조로 강하게 제한된다.

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3. Edge curvature

edge $e$ 주변의 Qaether effective curvature를 $K_Q(e)$ 라고 정의한다.

$$
\boxed{ K_Q(e) = 2\pi - (t_e\theta_T + o_e\theta_O) }
$$

해석은 다음과 같다.

• $\boxed{ K_Q(e) > 0 }$ : edge 주변에 effective angle deficit(결손)가 있다.
• $\boxed{ K_Q(e) = 0 }$ : edge 주변 effective angle sum이 정확히 $2\pi$ 이고, edge-geometric defect가 없다.
• $\boxed{ K_Q(e) < 0 }$ : angle excess 또는 bonding stress가 있다.

즉, $K_Q(e)$는 edge 주변의 motif angular defect이다.
특히 $(t_e, o_e) = (2, 2)$ 이면,
$$
K_Q(e) = 2\pi - (2\theta_T + 2\theta_O) = 0
$$
이다. 따라서 다음의 결론을 얻는다.
$$
\boxed{ 2T+2O = \text{edge-geometrically relaxed balance} }
$$

---

4. Geometric defect indicator

edge-level geometric defect indicator를 $\delta_{\rm geom} : E \to {0,1}$ 로 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\rm geom}(e) =
\begin{cases}
0, & K_Q(e) = 0 \
1, & K_Q(e) \neq 0
\end{cases}
}
$$

즉, $\delta_{\rm geom}(e) = 0 \iff K_Q(e) = 0$ 이다.
하지만 이것만으로 충분하지 않다. 왜냐하면 $(t_e, o_e) = (2, 2)$ 라도 edge 주변 cyclic order가 다를 수 있기 때문이다.

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5. Order defect: TOTO vs TTOO

edge 주변에 $2T+2O$가 있을 때 가능한 cyclic type은 본질적으로 두 가지다.
$$
\boxed{ T-O-T-O } \quad \text{또는} \quad \boxed{ T-T-O-O }
$$

수학적 T/O complex에서도 $2T+2O$ 조건 아래 cyclic type은 TOTO와 TTOO 두 경우로 나뉘고, alternating edge condition은 T-O-T-O를 선택한다.
따라서 order defect indicator를 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\rm ord}(e) =
\begin{cases}
0, & (t_e, o_e)=(2,2) \text{ and } \operatorname{cyc}_e \sim \text{TOTO} \
1, & (t_e, o_e)=(2,2) \text{ and } \operatorname{cyc}_e \sim \text{TTOO} \
1, & (t_e, o_e) \neq (2,2)
\end{cases}
}
$$

여기서 TTOO는 angular curvature는 0일 수 있지만, ordering defect를 가진다.
즉, $\boxed{ K_Q(e) = 0 \not\Rightarrow \delta_{\rm ord}(e) = 0 }$ 이다.
가장 완전한 relaxed edge는 $\boxed{ (t_e, o_e)=(2,2) \text{ and } \operatorname{cyc}_e \sim \text{TOTO} }$ 이다.

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6. Perfect local gravity vacuum

Qaether에서 중력적으로 가장 안정적인 local vacuum 후보는 다음 세 조건을 만족하는 sector다.

$$
\boxed{ K_Q(e)=0 }, \quad \boxed{ \delta_{\rm geom}(e)=0 }, \quad \boxed{ \delta_{\rm ord}(e)=0 }
$$

즉, $\boxed{ (t_e, o_e)=(2,2) \text{ and } \operatorname{cyc}_e \sim \text{TOTO} }$ 이다.
이것을 TOTO perfect sector라고 부를 수 있다.

수학적 T/O complex에서는 alternating edge condition을 걸면 local spherical figure가 cuboctahedral figure로 고정된다. 즉 TOTO sector는 local cuboctahedral order와 연결된다.

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7. T-only curved bare sector

T-motif만 있고 O-motif가 부족한 sector를 생각하자.

$$ \boxed{ o_e=0, \quad t_e>0 } $$
이면 $K_Q(e) = 2\pi - t_e\theta_T$ 가 된다.
regular tetrahedron의 dihedral angle은 $2\pi$를 정수배로 닫지 못하므로, regular tetrahedral-only defect-free complex는 존재하지 않는다.
따라서 T-only sector는 자연스럽게 curvature를 가진다.

$$
\boxed{ \text{T-only sector} = \text{curved bare sector} }
$$

Qaether 해석으로는 다음과 같이 볼 수 있다.
$$
\boxed{ \text{T-dominant vacuum} = \text{positive residual curvature source} }
$$

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8. O-motif의 중력적 역할

O-motif는 T-curvature를 없애는 complementary angle을 제공한다. 핵심 관계는 $\boxed{ \theta_T + \theta_O = \pi }$ 이다.
따라서 edge 주변에 정확히 $2T+2O$가 놓이면 $\boxed{ K_Q(e)=0 }$ 이 된다.

즉 O-motif는 중력 sector에서 다음 역할을 한다.
$$
\boxed{ \text{O-motif} = \text{T-curvature를 } 2T+2O \text{ balance 안에서 cancel하는 relaxation motif} }
$$

하지만 O-motif가 존재한다고 자동으로 defect-free가 되는 것은 아니다. 필요한 것은 정확한 $(t_e, o_e)=(2,2)$ balance다.

• $\boxed{ \text{O-부족} \Rightarrow \text{T-curvature remains} }$
• $\boxed{ \text{O-적정} \Rightarrow \text{edge curvature cancellation} }$
• $\boxed{ \text{O-과잉} \Rightarrow \text{angle excess 또는 bonding stress} }$

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9. O-deficit curvature

이제 ideal local T/O balance를 기준으로 O-deficit을 정의할 수 있다.
edge $e$에서 $\boxed{ \Delta_O(e) = 2 - o_e }$ 라고 두자. 단, 이 정의는 $t_e \approx 2$ 근처의 relaxed sector에서 가장 의미가 있다.

더 일반적으로는 ideal balance와의 차이를 $\boxed{ D_{TO}(e) = |t_e-2| + |o_e-2| }$ 로 둘 수 있다.
O-deficit이 크면 edge curvature는 커진다. 특히 $t_e=2$라고 하면,
$$
K_Q(e) = 2\pi - (2\theta_T + o_e\theta_O) = (2 - o_e)\theta_O
$$
가 된다. 따라서 $\boxed{ K_Q(e) \propto \Delta_O(e) }$ 이다.

이것이 Qaether에서 O-motif 희소성이 residual curvature로 이어지는 수학적 이유다.

---

10. Vertex curvature

vertex $v$ 주변의 local curvature를 edge star 평균으로 정의한다.
$\operatorname{St}_E(v) = {e \in E : v \in e}$ 라고 하자.

그러면 vertex curvature는
$$
\boxed{ R_Q(v) = \frac{1}{|\operatorname{St}_E(v)|} \sum_{e \in \operatorname{St}_E(v)} K_Q(e) }
$$
또는 절댓값 curvature density는
$$
\boxed{ |R|_Q(v) = \frac{1}{|\operatorname{St}_E(v)|} \sum_{e \in \operatorname{St}_E(v)} |K_Q(e)| }
$$
로 둔다.

ordering defect까지 포함하려면 다음과 같이 정의한다.
$$
\boxed{ R_Q^{\rm eff}(v) = \frac{1}{|\operatorname{St}_E(v)|} \sum_{e \in \operatorname{St}_E(v)} \left[ K_Q(e) + \lambda_{\rm ord}\delta_{\rm ord}(e) \right] }
$$
여기서 $\lambda_{\rm ord}$ 는 angular defect는 아니지만 ordering defect가 effective gravity에 기여하는 크기다.

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11. Region curvature

부분 영역 $U \subseteq V$ 를 잡고, 그 내부 edge set을 $E_U^{\rm int} = {{v,w} \in E : v,w \in U}$ 라고 하자.

그러면 region-level motif curvature는
$$
\boxed{ \mathcal{R}_Q(U) = \frac{1}{|E_U^{\rm int}|} \sum_{e \in E_U^{\rm int}} K_Q(e) }
$$
이다.

절댓값 defect density는 다음과 같이 둘 수 있다.
$$
\boxed{ \mathcal{D}_Q(U) = \frac{1}{|E_U^{\rm int}|} \sum_{e \in E_U^{\rm int}} \left[ \frac{|K_Q(e)|}{2\pi} + \lambda_{\rm geom}\delta_{\rm geom}(e) + \lambda_{\rm ord}\delta_{\rm ord}(e) \right] }
$$
이 $\mathcal{D}_Q(U)$ 가 실제 시뮬레이션에서 측정하기 좋은 gravity observable이다.

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12. Motif residual curvature functional

이제 Qaether 중력 sector의 핵심 functional을 정의한다.

$$
\boxed{
\mathcal{G}_Q(U) = \alpha \left( \frac{1}{|E_U|} \sum_{e \in E_U} \frac{|K_Q(e)|}{2\pi} \right) + \beta \left( \frac{1}{|E_U|} \sum_{e \in E_U} \delta_{\rm ord}(e) \right) + \gamma \big( 1 - Q_{\rm co}(U) \big)
}
$$

여기서 $Q_{\rm co}(U)$ 는 cuboctahedral local order score다.
즉, $\boxed{ \mathcal{G}_Q(U) = \text{Qaether effective gravity density} }$ 로 해석한다.

조금 더 물리적으로 쓰면,
$$
\boxed{ \mathcal{G}_Q = \text{angular defect} + \text{order defect} + \text{cuboctahedral-order deficit} }
$$
이다.

---

13. Gravity action

Qaether gravity action은 다음처럼 둘 수 있다.
$$
\boxed{ S_{\rm grav}[\mathcal{Q}] = \sum_{e \in E} \left[ a K_Q(e)^2 + b \delta_{\rm geom}(e) + c \delta_{\rm ord}(e) \right] }
$$

또는 coarse-grained region action으로 다음과 같이 둘 수 있다.
$$
\boxed{ S_{\rm grav}[U] = \sum_{e \in E_U^{\rm int}} w_e \left[ a K_Q(e)^2 + b \delta_{\rm ord}(e) \right] }
$$
이때 $K_Q^2$ 를 쓰면 angle deficit의 부호와 무관하게 curvature energy가 양수가 된다.

만약 positive/negative curvature를 구분하고 싶다면 $K_Q(e)$ 자체의 signed sum도 따로 기록한다.
$$
\boxed{ \mathcal{R}_Q^{\rm signed}(U) = \sum_{e \in E_U^{\rm int}} K_Q(e) }
$$

---

14. Matter-like O-sector와 gravity의 관계

앞서 정리한 전하·색전하·스핀은 O-motif 내부의 세 square sector에서 정의되었다.
중력 sector에서 O-motif는 다른 역할을 한다.

$$
\boxed{ \text{O-motif} = \text{internal particle sector} + \text{curvature-relief sector} }
$$

즉 O-motif는 다음 두 얼굴을 가진다.

1. 내부 square sector에서는: $\boxed{ \text{charge/color/spin-like degrees of freedom} }$
2. T/O balance에서는: $\boxed{ \text{T-curvature를 완화하는 angle-complement motif} }$

따라서 Qaether에서 matter-like object는 곧 curvature-relief object가 된다.
$$
\boxed{ \text{matter-like O-sector} \Rightarrow \text{local motif curvature redistribution} }
$$
이것이 Qaether식 중력–물질 coupling의 가장 자연스러운 형태다.

---

15. 초기 packing과 우주 곡률

시뮬레이션 결과에 따르면 무작위 압축에서 T-motif는 비교적 자주 생기지만 O-motif는 매우 희소하게 발생했다. 보고서에서는 O-motif 검출 확률이 $P(O>0) \approx 2.2% \sim 3.1%$, 평균 밀도는 $0.004% \sim 0.012%$ 수준이라고 정리했다.

반면 ideal (2T+2O) relaxed sector에서는 O가 충분히 있어야 $K_Q(e)=0$ 이 된다.
따라서 초기 우주의 packing history는 다음과 같은 경로로 effective gravity를 결정한다.

$$
\boxed{ \phi_{\rm init} \rightarrow f_O,\ Q_{2T2O},\ Q_{\rm co},\ \rho_{\rm defect} \rightarrow \mathcal{G}_Q }
$$

즉,
$$
\boxed{ \text{초기 충진률과 정렬도가 release 이후 우주의 residual curvature imprint를 정한다.} }
$$

---

16. 최종 정의

Qaether에서 중력은 다음 한 문장으로 정의할 수 있다.

 

Qaether gravity is the coarse-grained effective response of a Qaether graph to residual T/O motif curvature.

 

수학적으로는
$$
\boxed{ K_Q(e) = 2\pi - \big(t_e\theta_T + o_e\theta_O\big) }
$$
가 기본이고,

$$
\boxed{ \mathcal{G}_Q(U) = \left\langle \frac{|K_Q(e)|}{2\pi} \right\rangle_{e \in E_U} + \lambda_{\rm ord} \langle \delta_{\rm ord}(e) \rangle_{e \in E_U} + \lambda_{\rm co} \big(1 - Q_{\rm co}(U)\big) }
$$
가 coarse-grained gravity density다.

가장 안정적인 local vacuum은
$$
\boxed{ (t_e, o_e)=(2,2) \quad \text{and} \quad \operatorname{cyc}_e \sim \text{TOTO} }
$$
이고, 이때 $\boxed{ K_Q(e)=0, \quad \delta_{\rm geom}(e)=0, \quad \delta_{\rm ord}(e)=0 }$ 이다.

반대로 O-deficit이나 ordering defect가 있으면 $\boxed{ \mathcal{G}_Q > 0 }$ 가 되어 effective gravity source가 된다.

따라서 최종 구조는 다음이다.

• $\boxed{ \text{T-dominance} \Rightarrow \text{curved bare sector} }$
• $\boxed{ 2T+2O \Rightarrow \text{angle-relaxed sector} }$
• $\boxed{ \text{TOTO} \Rightarrow \text{perfect local gravity vacuum} }$
• $\boxed{ \text{O-deficit / defect / TTOO} \Rightarrow \text{motif residual gravity} }$