[v2.4] Time: Vertex-event 기반 square-local time 최소 공리계

Vertex-event 기반 square-local time 최소 공리계

0. 범위

v2.4-time는 다음을 정의한다.

elementary event, physical square clock, tick, square-local time

 

핵심 원칙은 다음과 같다.

• 사건 = 하나의 vertex primitive state가 변하는 atomic update
• 1 tick = 직전 completion 이후 square-clock phase가 최초로 $\pm4\pi$를 완결한 것
• square-local time = completion count에 비례하는 시간량
• 사건 $\neq$ tick

사각 graph의 조합론적 순회 자체는 tick이 아니다. 또한 T-motif와 삼각 cycle에는 독립적인 clock이나 tick을 부여하지 않는다.

 

1. 기본 자료

1.1 정적 Qaether 구조
v2.4-time는 정적 구조 $\mathcal{Q}_{2.4}$ 위에 정의된다.
$$q_v \in SU(2), \qquad h_{vw} = q_v^{-1}q_w$$
임의의 닫힌 oriented cycle $C = (v_0 v_1 \cdots v_{n-1} v_0)$에 대해 edge들을 순서대로 곱하면 다음과 같다.
$$\boxed{h_C = \prod_{i=0}^{n-1} h_{v_i v_{i+1}} = 1_{SU(2)}}$$
따라서 독립적인 link holonomy나 link gauge field는 존재하지 않는다. 그래프는 locally finite하다고 가정한다.
$$\deg_{G_Q}(v) < \infty \quad (\forall v \in V)$$

 

1.2 Physical square clock
O-motif $O$의 distinguished square $C^\square$에 대응하는 physical clock을 $\bar{\mathbf{c}} = (O, C^\square)$라고 한다. 그 orientation은 다음과 같다.
$$\operatorname{Or}(\bar{\mathbf{c}}) = \{o, -o\}, \qquad o = [v_0 v_1 v_2 v_3]_{C_4}$$
두 orientation은 동일한 clock의 반대 읽기 방향이다. Clock 집합을 $\mathfrak{C}$라 하고, $\Omega_{Q,\mathfrak{C}}^{\mathrm{adm}}$은 그 clock incidence들이 보존되는 고정 carrier sector로 정의한다. Clock carrier의 생성, 소멸, 이동은 본 버전에서 다루지 않는다.

 

1.3 Microcausal event history
Realized history를 $\mathcal{H}_\mu = (\mathcal{U}, \preceq_\mu, \omega_0, \{u_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal{U}})$로 정의한다. 각 사건 $\alpha \in \mathcal{U}$는 유일한 중심 vertex $v_\alpha$를 가지며, 그 상태 변화는 admissible configuration들의 연속 경로인 $u_\alpha(\omega) = \gamma_{\alpha, \omega}$로 주어진다.
$$\gamma_{\alpha, \omega}(0) = \omega, \qquad \gamma_{\alpha, \omega}(1) = \operatorname{out}_\alpha(\omega)$$

 

2. 최소 시간 공리

T1 — Single-vertex event
$(\mathcal{U}, \preceq_\mu)$는 past-finite 부분순서이다.
$$|\downarrow_\mu \alpha| < \infty$$
사건 $\alpha$ 동안 중심 vertex $v_\alpha$만 직접 변하고, 다른 모든 vertex들은 고정된다.
$$q_w(\gamma_{\alpha,\omega}(t)) = q_w(\omega), \qquad w \neq v_\alpha$$
사건 경로는 비상수이며, 동일 vertex에서 발생하는 사건들은 서로 비교 가능하다.
$$v_\alpha = v_\beta \implies \alpha \preceq_\mu \beta \lor \beta \preceq_\mu \alpha$$
Incident edge 상태는 독립적으로 갱신되지 않고 $h_{vw} = q_v^{-1}q_w$에 의해 자동으로 재결정된다.

 

T2 — Frame 정합성
공통 left-frame transformation $q_v \mapsto gq_v$, $g \in SU(2)$에 대해 admissible sector는 보존되며, event path는 equivariant하다.
$$\boxed{\gamma_{\alpha, g \cdot \omega}(t) = g \cdot \gamma_{\alpha, \omega}(t)}$$
이는 독립적인 local gauge symmetry가 아니라 공통 left-frame redundancy다.

 

T3 — Square clock functional
각 physical clock $\bar{\mathbf{c}}$와 orientation $o$에 대해 clock functional을 둔다.
$$\Phi_{\bar{\mathbf{c}},o}: \Omega_{Q,\mathfrak{C}}^{\mathrm{adm}} \longrightarrow S^1_{4\pi}, \qquad S^1_{4\pi} = \mathbb{R}/(4\pi\mathbb{Z})$$
$\Phi_{\bar{\mathbf{c}},o}$는 해당 oriented square의 ordered edge pattern $\mathbf{H}_{\bar{\mathbf{c}},o} = (h_{v_0v_1}, h_{v_1v_2}, h_{v_2v_3}, h_{v_3v_0})$에만 의존하며, 시작 vertex의 $C_4$ cyclic relabelling에 불변이다. 또한 다음이 성립한다.
$$\Phi_{\bar{\mathbf{c}},-o} = -\Phi_{\bar{\mathbf{c}},o} \pmod{4\pi}$$
여기서 $4\pi$는 clock readout의 구성적 주기이며, $$\boxed{\text{clock-phase completion} \neq \text{Wilson holonomy winding}}$$이다. 삼각 cycle에는 독립적인 clock 기능이 정의되지 않는다.

 

T4 — Clock-local causal order
동일한 physical square clock에 직접 기여하는 사건들은 인과적 chain을 이룬다.
$$v_\alpha, v_\beta \in V(C^\square) \implies \alpha \preceq_\mu \beta \lor \beta \preceq_\mu \alpha$$
이는 4개의 사건이 반드시 하나의 tick을 만든다는 뜻이 아니다.

 

T5 — 실행가능성과 configuration confluence
유한 down-set $D$의 모든 linear extension $\lambda = (\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$에서 사건들은 직전 출력상태에 대해 순차적으로 실행 가능해야 하며, 연쇄 경로 $\Gamma_{D,\lambda} = \gamma_{\alpha_1,\omega_0} * \dots * \gamma_{\alpha_m,\omega_{m-1}}$를 정의한다. 같은 $D$의 모든 linear extension은 동일한 최종 configuration을 산출한다.
$$\boxed{\operatorname{out}(\Gamma_{D,\lambda}) = \operatorname{out}(\Gamma_{D,\lambda'})}$$

 

T6 — $4\pi$ completion과 record
Clock phase path의 연속 lift를 $\widetilde{\phi}_{\bar{\mathbf{c}},o}$라 한다. 경로매개변수 $s$는 보조변수이며 물리적 시간이 아니다. $s_0=0$일 때, $n$번째 completion $s_n$은 다음을 만족하는 최초의 값이다.
$$\boxed{s_n = \min \left\{ s > s_{n-1} : \left| \widetilde{\phi}(s) - \widetilde{\phi}(s_{n-1}) \right| = 4\pi \right\}}$$
그 sign은 다음과 같다.
$$\boxed{\nu_n = \frac{\widetilde{\phi}(s_n) - \widetilde{\phi}(s_{n-1})}{4\pi} \in \{-1, +1\}}$$
하나의 사건은 동일한 physical clock을 최대 한 번만 완결한다. 사건 내부의 completion 좌표는 물리적 변수가 아니므로 저장하지 않고, clock record $\mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(D, \lambda) = ((\alpha_1, \nu_1), \ldots, (\alpha_N, \nu_N))$를 정의한다.

 

T7 — Record consistency
같은 down-set의 모든 linear extension은 동일한 record를 만든다.
$$\boxed{\mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(D, \lambda) = \mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(D, \lambda')}$$
반대 orientation에서는 $\mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},-o}(D) = ((\alpha_1, -\nu_1), \ldots, (\alpha_N, -\nu_N))$이다. 또한 $D \subseteq D'$이면 다음이 성립한다.
$$\boxed{\mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(D') \big|_{\alpha \in D} = \mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(D)}$$
즉, 더 큰 causal history로 확장되어도 이미 확정된 tick mark는 이동하거나 소멸하지 않는다.

 

3. Tick과 square-local time

각 사건 $\alpha$에 대해 clock $\bar{\mathbf{c}}$의 tick 기여도 $\nu_{\bar{\mathbf{c}},o}(\alpha)$를 다음과 같이 정의한다.
$$\nu_{\bar{\mathbf{c}},o}(\alpha) =
\begin{cases}
\nu, & (\alpha, \nu) \in \mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(\downarrow_\mu \alpha) \\
0, & \text{그 외}
\end{cases}$$
여기서 $\nu_{\bar{\mathbf{c}},o}(\alpha) \in \{-1, 0, +1\}$이다. 유한 down-set $D$에 대한 tick count는 다음과 같다.
$$\boxed{N_{\bar{\mathbf{c}}}(D) = \sum_{\alpha \in D} \left| \nu_{\bar{\mathbf{c}},o}(\alpha) \right| = \left| \mathcal{R}_{\bar{\mathbf{c}},o}(D) \right|}$$
Square-local time은 다음과 같이 정의하며, $\tau_Q > 0$은 스케일 상수이다.
$$\boxed{\tau_{\bar{\mathbf{c}}}(D) = \tau_Q N_{\bar{\mathbf{c}}}(D), \quad \tau_Q > 0}$$
근본적인 local-time quantity는 자연수 $N_{\bar{\mathbf{c}}} \in \mathbb{N}$이다.

 

4. 직접적 결과

1. 단조성: $D \subseteq D' \implies N_{\bar{\mathbf{c}}}(D) \leq N_{\bar{\mathbf{c}}}(D')$.
2. Orientation Invariance: Orientation reversal은 sign만 반전시키며 tick count에는 영향을 주지 않는다.
   $$\boxed{N_{\bar{\mathbf{c}},-o}(D) = N_{\bar{\mathbf{c}},o}(D)}$$
3. 비독립성: Triangle의 변화는 독립적인 tick을 생성하지 않으며, 일반적으로 사건 수와 tick 수는 일치하지 않는다.