[v2.4] Q-CDT: Pure (3+1)-Dimensional CDT with a Qaether-Inspired T-Motif Boundary-Graph Interpretation

0. 지위와 범위

Q-CDT은 순수 (3+1)차원 Causal Dynamical Triangulations에 Qaether-inspired T-motif boundary-graph interpretation을 부여한 기준 이론이다.

공간 기하의 CDT building block은 공간 tetrahedron이며, 인접 공간층은 표준 causal $4$-simplex로 연결된다. 표준 (3+1)차원 CDT에서는 공간층이 등변 tetrahedron으로 triangulate되고, sandwich가 $(4,1)$, $(3,2)$ simplex와 그 시간반전으로 구성된다. [1]

Q-CDT에서 simplices는 Regge 경로적분을 위한 보조적인 piecewise-flat cell이다. 이들을 공식 Qaether v2.4의 원초적 filled face 또는 filled volume으로 해석하지 않는다.

 

Qaether-inspired 해석은 다음에 한정된다.

$$ \text{공간 tetrahedron의 $1$-skeleton} \longmapsto \text{T-motif boundary graph} $$

 

본 버전은 다음을 정의한다.

$$ \text{T-interpreted 공간층} + \text{CDT causal sandwich} + \text{Euclidean Regge 작용} + \text{유한-cutoff 상태합} $$

 

다음은 포함하지 않는다.

• O-motif와 matter sector
• $q_v\in SU(2)$  및 edge-relative phase
• square winding, 전하, 색, 스핀
• Qaether square-local time
• 성장 알고리즘과 Monte Carlo move
• transfer matrix와 Hamiltonian
• 구체적인 관측량
• continuum limit
• Qaether 고유 추가 작용항
  
  

따라서 Q-CDT은 공식 Qaether v2.4 configuration의 부분공간이나 직접적인 동역학적 extension이 아니다.

1. 고정 자료

고정된 이론 자료를

$$ \Theta_{\mathrm{QCDT}} = \left( \Sigma,N_\tau,a,\alpha,G_N,\Lambda \right) $$

로 둔다.

여기서 $\Sigma$는 고정된 연결된 닫힌 $3$차원 PL 다양체이고, 다음은  sandwich의 수이다.

$$N_\tau\in\mathbb N,\qquad N_\tau\geq1$$

또한, $a>0$는 모든 spatial edge의 길이이고,

$\alpha>\frac{7}{12}$는 공간·시간 edge 길이의 비대칭 매개변수이다.

$G_N>0$은 bare Newton coupling이고,

$\Lambda\in\mathbb R$는 bare cosmological constant이다.

조건 $\alpha>\frac7{12}$는 Wick rotation 후 (\(4,1\)) 및 (\(3,2\)) Euclidean $4$-simplex가 비퇴화하도록 한다. [1]

2. Configuration

Q-CDT configuration은

$$
Q=(K,\tau)
$$

이다.

여기서 $K$는 유한하고 연결된 순수 $4$차원 추상 simplicial complex이고,

$$ \tau:K^{(0)} \longrightarrow \{0,1,\ldots,N_\tau\} $$

는 vertex 시간층 함수이다.

모든 edge $\{v,w\}\in K^{(1)}$는

$$
|\tau(v)-\tau(w)|\leq1
$$

을 만족한다.

모든 $4$-simplex는 정확히 두 인접 시간층에 걸쳐 있어야 한다. 즉, 모든

$$
\sigma^4\in K^{(4)}
$$

에 대해 어떤 \(n\in \{0,\ldots,N_\tau-1\}\)이 존재하여

$$ {\tau(v):v\in\sigma^4} = \{n,n+1\} $$

을 만족한다.

3. 공간층

시간 (n)의 vertex 집합을

$$V_n= \left\{ v\in K^{(0)}:\tau(v)=n \right\}$$

으로 정의한다.

시간 $n$의 공간층은 $V_n$이 생성하는 full subcomplex

$$K_n:=K[V_n]$$

이다.

각 $K_n$은 연결된 닫힌 combinatorial $3$-manifold이고,

$$|K_n|\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma$$

를 만족한다.

따라서 모든 공간층은 동일한 PL 위상을 가진다.

동치로, 모든

$$
\sigma^k\in K_n,\qquad k=0,1,2
$$

에 대해

$$
\operatorname{Lk}_{K_n}(\sigma^k)
\cong
S^{2-k}
$$

이다.

특히 모든 공간 triangle

$$
f\in K_n^{(2)}
$$

은 정확히 두 공간 tetrahedron에 incident한다.

4. 공간 및 시간 edge

전체 edge 집합은

$$K^{(1)}=E_s\sqcup E_t$$

로 분해한다.

공간 edge는

$$E_s=\left\{ \{v,w\}\in K^{(1)} : \tau(v)=\tau(w) \right\}$$

이다.

시간 edge는

$$E_t= \left\{ \{v,w\}\in K^{(1)}: |\tau(v)-\tau(w)|=1 \right\}$$

이다.

Lorentzian 제곱길이는

$$ \ell_s^2=a^2, \qquad \ell_t^2=-\alpha a^2 $$

로 고정한다.

공간층의 $1$-skeleton

$$
G_n:=\operatorname{sk}_1(K_n)
$$

은 Qaether-inspired spatial boundary graph로 해석한다.

그러나 다음 등식은 공리로 두지 않는다.

$$E_s = E_{\mathrm{Qaether}\ v2.4}$$

즉, $E_s$를 공식 Qaether v2.4의 primitive bond 집합과 동일시하지 않으며, 공식 v2.4의 전역 realization

$$ \rho:V\to\mathbb R^3$$

나 contact scale $\ell_Q$의 존재도 요구하지 않는다.

5. T-motif boundary-graph interpretation

5.1 해석 사상

공간 tetrahedron

$$
\sigma^3=[a,b,c,d]\in K_n^{(3)}
$$

에 대해 그 Qaether-inspired T-motif 해석을

$$\mathfrak B_T(\sigma^3)=T_\sigma$$

로 정의한다.

여기서

$$T_\sigma=\left(\operatorname{sk}_1(\sigma^3),\mathcal C_\triangle(\sigma^3)\right)$$

이고,

$$
\operatorname{sk}_1(\sigma^3)\cong K_4
$$

또한

$$\mathcal C_\triangle(\sigma^3)=\left\{\operatorname{sk}_1(f):f\prec\sigma^3,\ \dim f=2\right\}$$

는 $\sigma^3$의 네 triangular 2-face에서 추출한 네 distinguished triangular boundary cycle의 집합이다.

따라서

$$
|\,\mathcal C_\triangle(\sigma^3) \,|=4
$$

이고,

$$
T_\sigma\sim4C_\triangle
$$

여기서 T-motif는 filled tetrahedron 자체가 아니라

$$ K_4\text{ boundary graph}  + 4\text{ distinguished triangular boundary cycles}$$

이다.

5.2 지정된 motif family

시간층 $n$의 지정된 T-motif family를

$$\mathcal M_{T,n}^{\mathrm{int}}=\left\{ \mathfrak B_T(\sigma^3): \sigma^3\in K_n^{(3)} \right\}$$

로 정의한다.

전체 지정 T-motif family는

$$ \mathcal M_T^{\mathrm{int}} = \bigsqcup_{n=0}^{N_\tau} \mathcal M_{T,n}^{\mathrm{int}}$$

이다.

지정 O-motif family는

$$\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing$$

로 둔다.

따라서 Q-CDT의 pure T 조건은 " 지정된 O-motif가 없는 해석 sector"를 뜻한다.

 

전체 공간 $1$-skeleton 안에 우연히 $K_{2,2,2}$와 동형인 부분그래프가 존재하는 것은 금지하지 않는다. 그러한 accidental subgraph는 지정 motif가 아니므로 O-motif로 해석되지 않는다.

5.3 제외되는 $K_4$

다음은 T-motif가 아니다.

1. timelike tetrahedral $3$-face의 $1$-skeleton,
2. 어떤 공간 $3$-simplex에도 대응하지 않는 accidental graph $K_4$,
3. 서로 다른 시간층에 걸친 $K_4$.

즉, $ T_\sigma $는 오직 $\sigma^3\in K_n^{(3)}$에서만 정의된다.

6. Sandwich 구조

시간층 $n$과 $n+1$ 사이의 sandwich를

$$ S_n=K[V_n\cup V_{n+1}]$$

으로 정의한다.

전체 시공간은

$$K=\bigcup_{n=0}^{N_\tau-1}S_n$$

으로 분해된다.

인접 sandwich는 공통 공간층에서 만난다.

$$
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

각 (S_n)은 경계를 가진 combinatorial $4$-manifold이고,

$$\partial S_n=K_n\sqcup K_{n+1}$$

및

$$|S_n| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,1]$$

을 만족한다.

따라서 spatial topology change, 분기 및 합체를 허용하지 않는다.

전체 $K$는 경계를 가진 combinatorial $4$-manifold이며,

$$ |K| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,N_\tau]$$

이고,

$$ \partial K=K_0\sqcup K_{N_\tau}$$

초기층과 최종층은 동형일 수 있지만 서로 quotient로 동일시하지 않는다.

7. 허용되는 causal $4$-simplex

허용되는 $4$-simplex 유형은

$$
(4,1),\qquad
(3,2),\qquad
(2,3),\qquad
(1,4)
$$

뿐이다.

7.1 $(4,1)$ simplex

$$
[a,b,c,d\mid x]
$$

에서

$$
a,b,c,d\in V_n,
\qquad
x\in V_{n+1}.
$$

하부 공간 tetrahedron과 상부 vertex가 하나의 $4$-simplex를 구성한다.

기호

$$
T_\sigma\longrightarrow x
$$

는 T-motif가 vertex로 변환된다는 뜻이 아니다. 이는

$$
\sigma^3\cup{x}
$$

가 하나의 $(4,1)$ simplex를 이룬다는 incidence 표기이다.

7.2 $(3,2)$ simplex

$$
[a,b,c\mid x,y]
$$

에서

$$
a,b,c\in V_n,
\qquad
x,y\in V_{n+1}.
$$

하부 공간 triangle과 상부 공간 edge가 하나의 ((3,2)) simplex를 구성한다.

$$
C_{\triangle,n}\longrightarrow e_{n+1}
$$

는 해당 $4$-simplex 내부의 incidence를 나타낼 뿐, 전역적인 결정론적 변환을 뜻하지 않는다.

$(2,3)$과 $(1,4)$는 각각 시간반전 simplex이다.

8. 공간 tetrahedron의 sandwich incidence

정리 8.1

각 하부 공간 tetrahedron

$$
\sigma^3\in K_n^{(3)}
$$

은 정확히 하나의 $(4,1)$ simplex의 base이다.

즉,

$$
\forall\sigma^3\in K_n^{(3)},
\qquad
\exists!x\in V_{n+1}
:
[\sigma^3\mid x]\in S_n^{(4)}
$$

마찬가지로 각 상부 공간 tetrahedron은 정확히 하나의 ((1,4)) simplex의 상부 base이다.

따라서

$$
N_{4,1}(S_n)=N_3(K_n),
$$

$$
N_{1,4}(S_n)=N_3(K_{n+1})
$$

증명

$K_n$은 $S_n$의 boundary component이다. 경계를 가진 combinatorial $4$-manifold에서 boundary $3$-simplex는 정확히 하나의 $4$-simplex에 incident한다.

해당 $4$-simplex는 네 개의 $n$-층 vertex를 포함하고, 허용 $4$-simplex 조건에 의해 다섯 번째 vertex는 $n+1$층에 있어야 한다. 따라서 그 simplex는 유일한 $(4,1)$ simplex이다.

상부층의 경우도 동일하다. $\square$

표준 CDT에서도 각 공간 tetrahedron은 과거와 미래의 두 $(4,1)$-계열 simplex 사이의 interface가 된다. [1]

9. 공간 triangle의 sandwich link

하부 공간 triangle

$$
f=[a,b,c]\in K_n^{(2)}
$$

을 공유하는 두 공간 tetrahedron을

$$
[f,d_L],
\qquad
[f,d_R]
$$

라고 하자.

$f$는 $S_n$의 boundary $2$-simplex이므로

$$ \operatorname{Lk}_{S_n}(f) \cong B^1 $$

또한

$$ \operatorname{Lk}_{K_n}(f) = \{d_L,d_R\} \cong S^0$$

이다.

따라서 어떤 $r\geq0$와 서로 다른 상부 vertex

$$
x_0,\ldots,x_r\in V_{n+1}
$$

가 존재하여

$$ \operatorname{Lk}_{S_n}(f) = d_L-x_0-x_1-\cdots-x_r-d_R $$

가 된다.

양 끝 link edge는 $(4,1)$ simplex에 대응한다.

$$ [d_L,x_0] \longleftrightarrow [f,d_L\mid x_0], $$

$$ [x_r,d_R] \longleftrightarrow [f,d_R\mid x_r] $$

중간 link edge는 $(3,2)$ simplex에 대응한다.

$$ [x_i,x_{i+1}] \longleftrightarrow [f\mid x_i,x_{i+1}], \quad 0\leq i<r $$

상부층에서 $f$가 유도하는 구조는

$$ P_f^+ = x_0-x_1-\cdots-x_r$$

이다.

이는 possibly trivial spatial path이다.

$$
\begin{array}{c|c}
r & P_f^+\\
\hline
0 & \text{상부 vertex 하나}\\
1 & \text{상부 edge 하나}\\
r\geq2 & \text{상부 edge path}
\end{array}
$$

따라서 정확한 관계는

$$
\text{하부 triangle}
\longmapsto
\text{possibly trivial upper spatial path}
$$

이다.

Q-CDT은 결정론적인

$$
T\mapsto v,
\qquad
C_\triangle\mapsto e
$$

쌍대화를 공리로 요구하지 않는다.

10. 이산 인과구조

각 timelike edge를 낮은 시간층에서 높은 시간층으로 향하게 한다.

$$
v\longrightarrow w
\quad\Longleftrightarrow\quad
\{v,w\}\in E_t,
\qquad
\tau(w)=\tau(v)+1
$$

두 vertex $u,v$에 대해

$$
u\prec v
$$

를 $u$에서 $v$로 가는 future-directed timelike edge path가 존재한다는 뜻으로 정의한다.

future-directed path를 따라 $\tau$는 엄격히 증가하므로

$$
u\prec v
\quad\Longrightarrow\quad
\tau(u)<\tau(v)
$$

따라서 future-directed closed edge path는 존재하지 않는다.

$$
v_0\to v_1\to\cdots\to v_m=v_0
$$

는 불가능하다.

본 버전의 인과구조는 이 foliation-compatible combinatorial causal order로 한정한다. 연속적인 PL causal curve, local light cone 또는 continuum proper time은 별도로 정의하지 않는다.

11. Wick rotation

Lorentzian 영역에서

$$
\ell_t^2=-\alpha a^2
$$

복소 $\alpha$-평면의 lower-half plane을 통해

$$
\alpha\longmapsto-\alpha
$$

로 analytic continuation한다.

회전 후 양의 비대칭 매개변수의 크기를 다시 $\alpha$라고 표기하면

$$
\ell_{t,E}^2=+\alpha a^2
$$

$$
\alpha>\frac7{12}
$$

이므로 Euclideanized $(4,1)$ 및 $(3,2)$ simplex는 비퇴화한다. [1]

Lorentzian 작용과 Euclidean 작용은

$$
iS_L[K]
\longmapsto
-S_E[K]
$$

로 연결된다.

12. Euclidean Regge 작용

$4$차원 Regge calculus에서 hinge는 triangle이다.

내부 triangle

$$
h\subset\operatorname{int}K
$$

의 deficit angle은

$$ \delta_h = 2\pi- \sum_{\sigma^4\supset h}\theta_{\sigma^4,h} $$

이다.

경계 triangle

$$ h\subset\partial K $$

의 exterior angle은 outward-normal convention에서

$$ \psi_h = \pi- \sum_{\sigma^4\supset h} \theta_{\sigma^4,h}$$

이다.

Euclidean Regge 작용을

$$
S_E[K] = \frac{1}{8\pi G_N} \left( \sum_{h\subset\operatorname{int}K} A_h\delta_h + \sum_{h\subset\partial K}
A_h\psi_h \right) + \frac{\Lambda}{8\pi G_N} \sum_{\sigma^4\in K^{(4)}} V_4(\sigma^4) $$

로 정의한다.

여기서

$ A_h $는 hinge triangle의 Euclidean 면적,

$\theta_{\sigma^4,h}$는 $\sigma^4$가 $h$에서 갖는 Euclidean dihedral angle,

$V_4(\sigma^4)$는 Euclidean $4$-volume이다.

이 기하량들은

$$
a,\quad\alpha,\quad
\sigma^4\text{의 }(p,q)\text{-type},\quad
h\text{의 incidence type}
$$

에 의해 결정된다.

초기·최종 경계를 가진 gravitational state sum에는 외재곡률에 대응하는 Regge 경계항이 필요하다. [1]

정리 12.1 — Sandwich 가법성

$$ S_E[K] = \sum_{n=0}^{N_\tau-1}S_E[S_n] $$

증명

중간층 $K_n$의 triangle $h$는 두 인접 sandwich에서 각각 boundary hinge이다.

따라서 두 exterior angle의 합은

$$
\begin{aligned}
\psi_h^{(-)}+\psi_h^{(+)}
&= \left( \pi-\sum_{\sigma\subset S_{n-1}}\theta_{\sigma,h} \right) + \left( \pi-\sum_{\sigma\subset S_n}\theta_{\sigma,h} \right)\\
&= 2\pi-\sum_{\sigma\subset K}\theta_{\sigma,h}\\
&=\delta_h
\end{aligned}
$$

중간층의 두 경계항이 전체 $K$에서의 하나의 bulk deficit term으로 결합한다. $4$-volume 항은 simplex별로 명백히 가법적이다. $\square$

Q-CDT에서는 별도의 counting-variable action을 정의하지 않는다.

13. Simplicial 대칭과 gauge quotient

Q-CDT에는

$$
q_v,\quad h_{vw},
\quad\text{independent link variable}
$$

가 존재하지 않는다.

따라서 본 버전에는 별도의 내부

$$
SU(2),\quad U(1)
$$

local gauge sector가 없다.

남는 redundancy는 vertex와 simplex의 이름표를 바꾸는 simplicial relabelling이다.

두 configuration $(K,\tau)$, $(K',\tau')$는 시간표지를 보존하는 simplicial isomorphism

$$
\varphi:K\longrightarrow K'
$$

이 존재하여

$$
\tau'\circ\varphi=\tau
$$

를 만족할 때 동치로 본다.

또한 $\varphi$는 초기 및 최종 boundary component의 순서를 보존해야 한다.

$$ \varphi(K_0)=K'_0, \qquad \varphi(K_{N_\tau})=K'_{N_\tau} $$

foliation $\tau$는 quotient되는 gauge coordinate가 아니라 configuration을 정의하는 보존 자료이다.

14. 유한-cutoff 상태합

초기 및 최종 공간 triangulation의 isomorphism class를 각각

$$
g_i,\qquad g_f
$$

라고 하며,

$$
|g_i|\cong_{\mathrm{PL}}|g_f|
\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma
$$

를 요구한다.

다음 조건을 만족하는 configuration의 isomorphism class 집합을

$$
\mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)
$$

로 정의한다.

• $K_0\cong g_i,$
• $K_{N_\tau}\cong g_f,$
• $N_4(K)\leq N,$
• $K_n\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma \quad\text{for all }n,$
• $\sigma^4$는 허용된 네 causal type 중 하나
• $K${는 위 공리를 만족하는 combinatorial $4$-manifold
  
  

시간표지를 보존하는 automorphism group을

$$ \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) $$

로 정의한다.

$$ \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) = \left\{ \varphi\in\operatorname{Aut}(K): \tau\circ\varphi=\tau \right\}$$

시간표지 보존 조건으로 인해 초기 및 최종 경계는 각각 setwise 보존된다.

symmetry factor는

$$ C_\tau(K) = \left| \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) \right| $$

이다.

유한-cutoff Euclidean 상태합은

$$ Z_N[g_i,g_f;N_\tau] = \sum_{[K,\tau]\in \mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)} \frac{1}{C_\tau(K)} e^{-S_E[K]} $$

이다.

표준 dynamical triangulations에서도 inequivalent triangulation을 합하고 automorphism group의 크기로 나누는 symmetry weight $1/C(T)$를 사용한다. [2]

$N<\infty$이면 $K$의 vertex 수는 $N_4(K)$에 의해 유한하게 제한된다. 따라서 가능한 유한 abstract simplicial complex의 isomorphism class 수 역시 유한하다.

그러므로

$$
Z_N[g_i,g_f;N_\tau]
$$

은 유한한 합으로 잘 정의된다.

이는 정규화된 확률분포가 아니라 symmetry-weighted state sum이다.

 

cutoff 제거 $N\to\infty$ 및 격자간격 제거 $a\to0$는 Q-CDT의 정의에 포함하지 않는다.

15. 비공허성 정리

정리 15.1

Q-CDT의 허용 configuration class는 공집합이 아니다.

증명

$\Sigma$의 임의의 유한 triangulation을 $L$이라 하고, $L^{(0)}$에 전역적인 vertex 순서를 부여한다.

하나의 tetrahedron

$$
[v_0,v_1,v_2,v_3],
\qquad
v_0<v_1<v_2<v_3
$$

의 prism

$$
[v_0,v_1,v_2,v_3]\times[0,1]
$$

을 다음 네 $4$-simplex로 triangulate한다.

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_3^0,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_1^1,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_0^1,v_1^1,v_2^1,v_3^1]
$$

이들은 각각

$$
(4,1),\qquad
(3,2),\qquad
(2,3),\qquad
(1,4)
$$

유형이다.

전역 vertex 순서를 사용했으므로 서로 인접한 tetrahedral prism들의 공통 face에서 triangulation이 일치한다.

따라서

$$
S\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma\times[0,1]
$$

인 허용 sandwich가 존재한다.

이 sandwich를 $N_\tau$번 접합하면

$$
K\cong_{\mathrm{PL}}
\Sigma\times[0,N_\tau]
$$

인 허용 configuration을 얻는다.

각 spatial tetrahedron의 $1$-skeleton에 T-motif interpretation을 부여하고

$$
\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing
$$

로 두면 모든 Q-CDT 공리를 만족한다. $\square$

따라서 충분히 큰 $N$에 대해 적어도 일부 경계 자료에서는

$$
\mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)\neq\varnothing
$$

특정 $g_i,g_f$ 사이에 허용 history가 없을 수는 있으며, 이 경우에는

$$
Z_N[g_i,g_f;N_\tau]=0
$$

이다. 이는 상태합 정의의 모순이 아니다.

16. 최소 형식 요약

Q-CDT은 다음 자료와 조건으로 요약된다.

$$
Q=(K,\tau),
$$

$$ \tau:K^{(0)} \to {0,\ldots,N_\tau},$$

$$
K_n=K[V_n], \qquad |K_n|\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma,
$$

$$\mathcal M_{T,n}^{\mathrm{int}} = \left \{ \mathfrak B_T(\sigma^3): \sigma^3\in K_n^{(3)} \right\}, $$

$$ \mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing,$$

$$ |\Delta\tau|\leq1 \quad\text{on every edge},$$

$$ \sigma^4\in \{(4,1),(3,2),(2,3),(1,4)\}, $$

$$ S_n=K[V_n\cup V_{n+1}],$$

$$ |S_n| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,1],$$

$$ K \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,N_\tau],$$

$$ \ell_s^2=a^2, \qquad \ell_t^2=-\alpha a^2, \qquad \alpha>\frac7{12},$$

$$ \alpha\mapsto-\alpha, \qquad iS_L\mapsto-S_E,$$

$$ S_E = \text{boundary term을 포함한 Euclidean Regge 작용},$$

$$ Z_N = \sum_{[K,\tau]} C_\tau(K)^{-1}e^{-S_E[K]}$$

 

References
[1]: https://arxiv.org/pdf/1302.2173 "Fig24x.tex"
[2]: https://arxiv.org/pdf/hep-th/0105267 "arXiv:hep-th/0105267v1 27 May 2001"