[v2.4] Time: Completion-normal 사각 4π clock의 최소 시간 공리계

0. 범위

v2.4-time는 physical square clock, 기본 tick, square-local time 정의한다.

 

핵심 원칙은

$$
\text{사각 graph의 조합론적 순회}\neq\text{tick},
$$

$$
\text{square clock phase의 최초 }\pm4\pi\text{ 완결}=1\text{ tick},
$$

$$
\text{square-local time} = \text{해당 completion의 누적 횟수}
$$

이다.

T-motif와 삼각 cycle에는 독립적인 clock이나 tick을 부여하지 않는다. 

 

1. 기본 자료

1.1 고정 clock-carrier sector

v2.4-time는 공식 정적 Qaether 구조 $\mathcal Q_{2.4}$ 위에 정의된다.

O-motif의 distinguished square $C^\square$에 대응하는 physical clock을

$$
\bar{\mathbf c}=(O,C^\square)
$$

라고 한다.

그 두 orientation은

$$
\operatorname{Or}(\bar{\mathbf c}) = \{o,-o\},
\qquad
o=[\vec C^\square]_{C_4}
$$

이다.

두 orientation은 동일한 clock의 반대 읽기방향이며 서로 다른 clock이 아니다.

본 공리계에서 사용하는 clock 집합을

$$
\mathfrak C
\subseteq
\{
(O,C^\square):
O\in\mathcal M_O,
C^\square\in\mathcal C_\square(O)
\}
$$

으로 둔다.

Admissible configuration 공간은 $\mathfrak C$의 모든 O-square incidence가 보존되는 고정 carrier sector다.

$$\Omega_{Q,\mathfrak C}^{\mathrm{adm}} =\{\omega: \mathfrak C\text{의 clock incidence가 }\omega\text{에서 보존됨}\}$$

Clock carrier의 생성·소멸·이동은 본 공리계에서 다루지 않는다.

1.2 Microcausal history

Realized microcausal history를

$$\mathcal H_\mu=(\mathcal U,\preceq_\mu,\omega_0,\{u_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal U})$$

로 정의한다.

여기서 $\omega_0\in\Omega_{Q,\mathfrak C}^{\mathrm{adm}}$는 초기 primitive configuration이고,

$(\mathcal U,\preceq_\mu)$는 atomic micro-update occurrence들의 부분순서다.

각 update $\alpha\in\mathcal U$는 부분 path-valued map

$$u_\alpha:\Omega_{Q,\mathfrak C}^{\mathrm{adm}}\rightharpoonup\mathsf P_{\mathrm{adm}} ( \Omega_{Q,\mathfrak C}^{\mathrm{adm}})$$

을 갖는다.

$u_\alpha$가 configuration $\omega$에서 정의되면

$$
u_\alpha(\omega)=\gamma_{\alpha,\omega},
$$

$$\gamma_{\alpha,\omega}(0)=\omega,\qquad\gamma_{\alpha,\omega}(1)=\operatorname{out}_\alpha(\omega),$$

이며 모든 중간 configuration은 admissible하다.

 

2. 최소 시간 공리

공리 T1 — Microcausal 유한성 및 국소성

$(\mathcal U, \preceq_\mu)$는 past-finite 부분순서다.

$$ \forall\alpha\in\mathcal U, \qquad |\downarrow_\mu\alpha|<\infty$$

각 atomic micro-update의 graph support는 유한반경을 갖는다.

$$ \operatorname{diam}_{G_Q} \operatorname{Supp}(\alpha)\leq r_\mu<\infty$$

공리 T2 — Clock support와 triangle의 비clock성

Physical clock은 $\mathfrak C$에 속하는 O-square incidence에만 부여한다.

T-motif와 삼각 cycle에는 독립적인 clock functional, tick count 또는 local time을 부여하지 않는다.

$$
N_\triangle,\qquad
\tau_\triangle
\quad\text{는 정의하지 않는다.}
$$

Triangle incidence에 지지된 변화가 포함된 update \(\alpha\)는 다음 중 하나여야 한다.

$$
\alpha\text{ 자체가 square-sector 변화도 포함한다}
$$

또는 국소적으로 접합된 square-supported update \(\beta\)가 존재하여

$$
\beta\lessdot_\mu\alpha,
\qquad
d_{G_Q}
\left(
\operatorname{Supp}\beta,
\operatorname{Supp}\alpha
\right)
\leq r_\triangle
$$

따라서 triangle response는 square-sector 변화의 내부 성분이거나 직접적인 국소 인과응답이며, 독립적인 시간생성 과정이 아니다.

공리 T3 — Oriented square clock functional

각

$$
\bar{\mathbf c}\in\mathfrak C,
\qquad
o\in\operatorname{Or}(\bar{\mathbf c})
$$

에 대해 연속적인 국소 clock functional을 둔다.

$$ \Phi_{\bar{\mathbf c},o}: \Omega_{Q,\mathfrak C}^{\mathrm{adm}} \longrightarrow S^1_{4\pi},$$

$$ S^1_{4\pi}=\mathbb R/(4\pi\mathbb Z)$$

Clock functional은 유한한 국소 primitive configuration에서 유도된다.

$$ \Phi_{\bar{\mathbf c},o} (\omega)=F_{\bar{\mathbf c},o} (\omega|_{U_{r_\Phi}(\bar{\mathbf c})}),\qquad r_\Phi<\infty$$

따라서 \(\Phi_{\bar{\mathbf c},o}\)는 독립적인 link variable이나 추가적인 gauge field가 아니다.

반대 orientation은

$$ \Phi_{\bar{\mathbf c},-o} = -\Phi_{\bar{\mathbf c},o} \pmod{4\pi} $$

를 만족한다.

공리 T4 — Frame 및 relabelling 정합성

공통 left-frame transformation

$$ q_v\mapsto gq_v, \qquad g\in SU(2) $$

에 대해

$$ \Phi_{\bar{\mathbf c},o}(g\cdot\omega) = \Phi_{\bar{\mathbf c},o}(\omega)$$

Orientation $o$는 $C_4$ cyclic relabelling으로 quotient된 class이므로 clock reading은 시작 vertex 선택에 의존하지 않는다.

여기서 $C_4$는 독립적인 gauge symmetry가 아니라 orientation-preserving relabelling equivalence다. 본 공리계는 local gauge transformation이나 독립적인 link gauge variable을 추가하지 않는다.

공리 T5 — Finite history의 실행가능성과 configuration confluence

유한 microcausal down-set

$$
D\subseteq\mathcal U
$$

의 임의의 linear extension을

$$
\lambda=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)
$$

이라고 하자.

모든 linear extension에서 각 update는 직전 출력 configuration에 대해 순차적으로 정의되어야 하며, 이에 따라 concatenated path

$$ \Gamma_{D,\lambda} = \gamma_{\alpha_1} * \gamma_{\alpha_2} * \cdots * \gamma_{\alpha_m} $$

가 존재한다.

같은 $D$의 두 linear extension $\lambda,\lambda'$에 대해 최종 configuration은 동일하다.

$$ \operatorname{out} ( \Gamma_{D,\lambda} ) = \operatorname{out} ( \Gamma_{D,\lambda'} )$$

공리 T6 — Completion-normality

Microcausal history $\mathcal H_\mu$는 처음부터 clock 집합 $\mathfrak C$에 대해 completion-normal하다.

이는 모든 유한 down-set $D$, 모든 linear extension $\lambda$, 모든 clock $\bar{\mathbf c}$ 및 orientation $o$에 대해 다음이 성립한다는 뜻이다.

$$ \phi_{\bar{\mathbf c},o} = \Phi_{\bar{\mathbf c},o} \circ \Gamma_{D,\lambda} $$

의 연속 lift를

$$ \widetilde\phi_{\bar{\mathbf c},o} $$

라고 하자.

초기 history point를

$$
s_0=0
$$

으로 두고, 초기 lift는

$$
\widetilde\phi_{\bar{\mathbf c},o}(0)
$$

중 하나를 선택한다. $4\pi\mathbb Z$에 의한 lift 선택의 차이는 completion record를 바꾸지 않는다.

직전 completion point $s_n$ 이후의 다음 completion point는, 존재하는 경우,

$$ s_{n+1} = \min \{ s>s_n:| \widetilde\phi_{\bar{\mathbf c},o}(s) \widetilde\phi_{\bar{\mathbf c},o}(s_n)|= 4\pi \}$$

이다.

모든 $s_{n+1}$은 concatenated path를 구성하는 어떤 atomic update segment의 끝점이어야 한다.

즉 최초 $4\pi$ completion은 update 내부에서 발생하지 않는다.

또한 하나의 atomic update는 같은 physical clock을 최대 한 번만 완결한다.

$$
\# \{
n:
s_{n+1}\text{이 update }\alpha\text{의 끝점}
\}
\leq1
$$

Completion-normality는 completion 계산 이후에 $\mathcal U$를 다시 세분화하는 절차가 아니다.

$$
\mathcal H_\mu
\text{ 자체가 처음부터 completion-normal한 atomic history다.}
$$

공리 T7 — Clock-record confluence

Clock $\bar{\mathbf c}$의 $n$번째 completion을 종료한 atomic update를 $\alpha_n$이라고 하고, 그 winding sign을

$$ \nu_n = \frac{ \widetilde\phi_{\bar{\mathbf c},o}(s_{n+1}) - \widetilde\phi_{\bar{\mathbf c},o}(s_n)}{4\pi} \in\{+1,-1\}$$

로 정의한다.

유한 history의 oriented clock record는

$$\mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D,\lambda) =( (\alpha_1,\nu_1), \ldots, (\alpha_N,\nu_N))$$

같은 down-set의 모든 linear extension은 동일한 record를 만들어야 한다.

$$ \mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D,\lambda) = \mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D,\lambda')$$

따라서 completion 수, winding sign 및 terminal atomic update는 scheduler의 선택에 의존하지 않는다.

공통 record를

$$
\mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D)
$$

라고 한다.

반대 orientation에서는 terminal updates는 동일하고 부호만 반전한다.

$$ \mathcal R_{\bar{\mathbf c},-o}(D) = ( (\alpha_1,-\nu_1), \ldots, (\alpha_N,-\nu_N) )$$

공리 T8 — Projective consistency

두 유한 microcausal down-set이

$$ D\subseteq D' $$

를 만족하면, 큰 history의 record를 (D)에 속하는 terminal updates로 제한한 결과는 작은 history의 record와 같아야 한다.

$$ \mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D') \big|_{\alpha\in D} = \mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D) $$

따라서 더 큰 causal history를 고려하더라도 이미 확정된 completion mark는 변경되거나 소멸하지 않는다.

 

3. Tick 사건

Atomic update $\alpha\in\mathcal U$에서 완결되는 physical clock들의 집합을

$$ K_\alpha = \{ \bar{\mathbf c}\in\mathfrak C: \alpha\text{가 } \mathcal R_{\bar{\mathbf c},o} (\downarrow_\mu\alpha) \text{에 나타난다} \}$$

로 정의한다.

이 정의는 orientation에 의존하지 않는다. Orientation은 completion의 존재가 아니라 winding sign만 반전시킨다.

각 atomic update에 대해

$$
|K_\alpha|<\infty
$$

를 요구한다.

기본 tick 사건집합은

$$ X_{\mathrm{tick}} = \{ \alpha\in\mathcal U: K_\alpha\neq\varnothing \}$$

따라서 tick 사건은 micro-update와 별개의 추가 동역학이 아니다.

$$ X_{\mathrm{tick}}\subseteq\mathcal U $$

동일 atomic update에서 여러 square clock이 완결되면 그 update는 하나의 공동 tick 사건이지만, 각 참여 clock은 각각 completion 하나를 얻는다.

Tick 사건의 인과순서는 microcausal order의 제한이다.

$$ x\preceq y \quad\Longleftrightarrow\quad x\preceq_\mu y, \qquad x,y\in X_{\mathrm{tick}}$$

따라서

$$
(X_{\mathrm{tick}},\preceq)
$$

는 부분순서다.

 

4. Square-local time

유한 microcausal down-set

$$ D\subseteq\mathcal U $$

에 대해 physical clock $\bar{\mathbf c}$의 tick count를

$$ N_{\bar{\mathbf c}}(D) = \| \mathcal R_{\bar{\mathbf c},o}(D) \| $$

로 정의한다.

Orientation reversal은 winding sign만 반전하므로

$$
N_{\bar{\mathbf c}}
$$

는 orientation-independent하다.

기본 calibration scale을

$$
\tau_Q>0
$$

라고 하면 square-local time은

$$ \tau_{\bar{\mathbf c}}(D) = \tau_QN_{\bar{\mathbf c}}(D) $$

$\tau_Q$는 현재 공리계에서 유도되는 값이 아니라 completion count를 시간차원으로 환산하는 공통 scale이다.

따라서 근본적인 로컬 시간량은

$$
N_{\bar{\mathbf c}}\in\mathbb N
$$

이다.

 

5. 직접적 결과

Projective consistency에 의해

$$ D\subseteq D' \quad\Longrightarrow\quad N_{\bar{\mathbf c}}(D) \leq N_{\bar{\mathbf c}}(D') $$

따라서 square-local time은 causal history의 확장에 따라 감소하지 않는다.

$$ \tau_{\bar{\mathbf c}}(D) \leq \tau_{\bar{\mathbf c}}(D') $$

Orientation reversal은

$$ \nu_n\mapsto-\nu_n $$

를 만들지만 record의 길이를 바꾸지 않는다. 따라서 chirality reversal은 local-time reversal이 아니다.

삼각 cycle에는 독립적인 record가 없으므로 triangle response는 추가적인 tick을 만들지 않는다.

Clock phase의 원형적 완결은 causal loop를 의미하지 않는다.

$$ \text{clock-phase closure} \neq \text{causal closure}$$

 

6. 범위의 한계

v2.4-time은 다음을 별도로 정의하지 않는다.

• $F_{\bar{\mathbf c},o}$의 구체적인 함수식,
• $\tau_Q$의 물리적 값,
• clock carrier의 생성·소멸·이동,
• stored winding sector의 동역학,
• clock winding과 spin·charge의 직접 대응,
• 연속극한 또는 거시적 Lorentzian time.

따라서 본 버전은 고정 clock-carrier sector와 admissible clock-functional family가 주어진 경우의 최소 시간 공리계다.

최종 정의

Qaether v2.4-time에서 기본 인과구조는 past-finite하고 completion-normal한 atomic micro-update들의 부분순서다.

O-motif의 distinguished square incidence만 physical clock을 지지한다. T-motif와 삼각 cycle은 독립적인 clock을 만들지 않는다.

Square clock phase의 continuous lift가 직전 reset 이후 최초로

$$
\pm4\pi
$$

를 완결하면, 그 완결을 종료한 atomic micro-update가 tick 사건으로 기록된다.

동일 update에서 여러 clock이 완결되면 하나의 공동 tick 사건을 이루지만, 각 clock의 completion count는 각각 하나 증가한다.

따라서 square-local time은

$$ \tau_{\bar{\mathbf c}} = \tau_QN_{\bar{\mathbf c}}$$

이다.

즉,

$$ \text{기본 tick} = \text{최초 }\pm4\pi \text{ square-clock completion},$$

$$ \text{로컬 시간} = \text{그 completion의 누적 횟수}$$

이를 Qaether v2.4-time 최소 시간 공리계로 채택한다.