[v2.5] Q-CDT: 순수 T-sector의 최소 3+1 차원 CDT 공리계

순수 T-sector의 최소 3+1 차원 CDT 공리계

0. 범위

Qaether-CDT는 Qaether의 T-motif를 공간적 기본 단위로 해석하고, 인접 공간층 사이를 표준 3+1 차원 CDT causal 4-simplex로 연결한다. (그런 이유로 앞서 정의한 v2.4 시간의 정의를 무시한다.)

본 버전은 다음만 정의한다.

T-motif 공간층 + CDT 인과적 접합 + Regge 작용 + 정규화된 유한 상태합

다음은 포함하지 않는다.

• O-motif와 matter sector
• $q_v\in SU(2)$
• square winding, 전하, 색, 스핀
• T-motif 성장 알고리즘
• transfer matrix와 Hamiltonian
• Monte Carlo move
• 구체적 관측량
• continuum limit
• Qaether 고유 추가 작용항

따라서 Qaether의 T-motif 해석을 적용한 순수 CDT 기준 이론이다.

1. 고정 자료와 configuration

고정된 이론 자료는

$$ \Theta = \left( \Sigma, N_\tau, a, \alpha, G_N, \Lambda \right) $$

이다.

여기서

• $\Sigma$: 고정된 닫힌 3차원 PL 다양체
• $N_\tau$: 시간 sandwich의 수
• $a>0$: 공간 edge 길이
• $\alpha>0$: 공간·시간 edge 길이의 비대칭 매개변수
• $G_N$: bare Newton coupling
• $\Lambda$: bare cosmological constant

이다.

개별 configuration은

$$ Q= (K,\tau) $$

이다.

여기서 $K$는 유한하고 연결된 순수 4차원 추상 simplicial complex이고,

$$ \tau: K^{(0)} \longrightarrow \{0,1,\ldots,N_\tau\} $$

는 vertex 시간층 함수이다.

2. 공간층

시간 $n$의 vertex 집합을

$$ V_n = \{v\in K^{(0)}\mid \tau(v)=n\} $$

으로 둔다.

공간층은 $V_n$이 생성하는 full subcomplex이다.

$$ K_n=K[V_n] $$

각 $K_n$은 연결된 닫힌 combinatorial 3-manifold이며,

$$ |K_n| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma $$

를 만족한다.

따라서 모든 공간층은 동일한 위상을 가진다.

엄밀히는 모든 $\sigma^k\in K_n, (k=0,1,2)$에 대해

$$ \operatorname{Lk}_{K_n}(\sigma^k) \cong S^{2-k} $$

를 요구한다.

특히 모든 공간 삼각 face는 정확히 두 공간 tetrahedron에 incident한다.

3. T-motif

시간층 $n$의 T-motif 집합은

$$ \mathcal T_n = \Bigl\{ \operatorname{sk}_1(\sigma^3) \mid \sigma^3\in K_n^{(3)}\Bigr\}$$

이다.

공간 tetrahedron

$$ \sigma^3 = [a,b,c,d]\in K_n^{(3)} $$

에 대응하는 T-motif는

$$ T_\sigma = \operatorname{sk}_1 ([a,b,c,d]) \cong K_4 $$

이다.

따라서

$$ |\mathcal T_n|=N_3(K_n)$$

T-motif는 반드시 한 공간층에 놓인 tetrahedron의 1-skeleton이어야 한다.

• timelike tetrahedron의 $K_4$는 T-motif가 아니다.
• graph에 우연히 존재하는 $K_4$도 지정된 3-simplex가 아니면 T-motif가 아니다.

T-motif = 공간 tetrahedron의 distinguished boundary graph

T-motif의 네 distinguished triangular cycle은 대응 tetrahedron의 4개의 2-face이다.

4. 공간 edge와 시간 edge

전체 edge 집합은

$$ K^{(1)}=E_s\sqcup E_t $$

로 분해한다.

공간 edge는

$$ E_s = \Bigl\{ \{v,w\}\in K^{(1)} \mid \tau(v)=\tau(w) \Bigr\} $$

이다.

시간 edge는

$$ E_t = \Bigl\{ \{v,w\}\in K^{(1)} \mid |\tau(v)-\tau(w)|=1 \Bigr\} $$

이다.

모든 edge는

$$ |\tau(v)-\tau(w)|\leq1 $$

을 만족한다.

Qaether의 primitive spatial bond는 $E_s$와 동일시한다. $E_t$는 공간 bond가 아니라 인접 시간층을 연결하는 causal edge이다.

길이는

$$ \ell_s^2=a^2, \qquad \ell_t^2=-\alpha a^2 $$

로 고정한다.

5. Sandwich 구조

시간층 $n$과 $n+1$ 사이의 sandwich는

$$ S_n = K[V_n\cup V_{n+1}] $$

이다.

전체 시공간은

$$ K = \bigcup_{n=0}^{N_\tau-1}S_n $$

으로 분해된다.

인접 sandwich는 공통 공간층에서 만난다.

$$ S_{n-1}\cap S_n=K_n $$

각 sandwich는

$$ \partial S_n = K_n\sqcup K_{n+1} $$

및

$$ |S_n| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,1] $$

을 만족한다.

따라서 공간 topology change와 공간의 분기·합체는 허용하지 않는다.

전체 시공간은 경계를 가진 combinatorial 4-manifold이고,

$$ \partial K = K_0\sqcup K_{N_\tau} $$

이다.

$K_0$과 $K_{N_\tau}$는 서로 동형일 수 있지만 quotient로 동일시하지 않는다.

6. 허용되는 causal 4-simplex

모든 4-simplex의 vertex는 정확히 두 인접 시간층에 놓인다.

어떤 n에 대해

$$ \{\tau(v)\mid v\in\sigma^4\} = \{n,n+1\} $$

허용되는 유형은 (4,1), (3,2), (2,3), (1,4) 뿐이다.

표준 3+1 CDT의 공간층은 tetrahedron으로 triangulate되고, 인접층 사이는 (4,1), (3,2) 및 시간반전 simplex들로 구성된다. [1]

(4,1)

$$ [a,b,c,d | x]$$

에서

$$ a,b,c,d\in K_n, \quad x\in K_{n+1} $$

하부 T-motif와 상부 vertex가 하나의 4-simplex를 이룬다.

$$ T_n\rightarrow x $$

는 T-motif가 vertex로 변환된다는 뜻이 아니라, $T_n$이 $x$와 함께 (4,1) simplex를 구성한다는 뜻이다.

(3,2)

$$ [a,b,c | x,y] $$

에서 하부 triangle $[a,b,c]$와 상부 edge $[x,y]$가 하나의 4-simplex를 이룬다.

$$ C_{\triangle,n}\rightarrow e_{n+1} $$

는 이 simplex 내부의 국소 incidence 관계이다.

(2,3)과 (1,4)는 각각 이들의 시간반전이다.

7. T-motif와 triangle의 정확한 전이 관계

각 하부 공간 tetrahedron

$$ \sigma^3\in K_n^{(3)} $$

은 $S_n$에서 정확히 하나의 (4,1) simplex의 base이다.

$$ \forall\sigma^3\in K_n^{(3)}, \quad \exists! x\in V_{n+1}: [\sigma^3 | x]\in S_n^{(4)} $$

마찬가지로 각 상부 tetrahedron은 정확히 하나의 (1,4) simplex의 상부 base이다.

따라서

$$ N_{4,1}(S_n)=N_3(K_n),$$

$$ N_{1,4}(S_n)=N_3(K_{n+1}) $$

공유 triangle

하부 triangle

$$\ f=[a,b,c]\subset K_n $$

을 공유하는 두 공간 tetrahedron을

$$ [f,d_L], \quad [f,d_R] $$

라고 하자.

각 tetrahedron의 미래 apex를 $x_0,x_r$라고 하면 sandwich에서 $f$의 link는

$$ \operatorname{Lk}_{S_n}(f) = d_L-x_0-x_1-\cdots-x_r-d_R \cong B^1 $$

이다.

양 끝 edge는 두 ($4,1$) simplex에 대응하고,

$$ [d_L,x_0] \leftrightarrow [f,d_L | x_0], $$

$$ [x_r,d_R] \leftrightarrow [f,d_R | x_r] $$

중간 edge들은 ($3,2$) simplex에 대응한다.

$$ [x_i,x_{i+1}] \leftrightarrow [f | x_i,x_{i+1}] $$

따라서 이전층 triangle이 다음층의 정확히 하나의 edge에 대응하는 경우는

$$ r=1 $$

인 특수한 경우다.

일반적으로는

$$
\text{하부 triangle}
\longleftrightarrow
\text{상부 edge path}
$$

이다.

그러므로 Qaether-CDT는 결정론적

$$
T\mapsto v,
\qquad
C_\triangle\mapsto e
$$

쌍대화를 공리로 요구하지 않는다.

8. 인과구조

future-directed timelike edge는

$$ v\rightarrow w \quad\Longrightarrow\quad \tau(w)=\tau(v)+1 $$

을 만족한다.

따라서 future-directed edge path를 따라 $\tau$는 엄격히 증가한다.

$$ v_0\rightarrow v_1\rightarrow\cdots\rightarrow v_m=v_0 $$

인 future-directed 폐곡선은 존재하지 않는다.

이 인과구조는 CDT의 전역 foliation과 허용 simplex 접합으로 정의한다. 별도의 Qaether 시간이나 square-clock 시간은 도입하지 않는다.

9. Wick rotation

하나의 양의 매개변수 $\alpha$를 사용한다.

Lorentzian 영역에서

$$ \ell_t^2=-\alpha a^2 $$

복소 $\alpha$-평면의 lower-half plane을 통해

$$ \alpha\longmapsto-\alpha $$

로 analytic continuation한다.

회전 후 Euclidean 시간 edge의 제곱길이는

$$ \ell_{t,E}^2=+\alpha a^2 $$

이다.

Euclideanized ($4,1$) 및 ($3,2$) simplex가 비퇴화하도록

$$ \alpha>\frac7{12} $$

를 요구한다.

작용은

$$ iS_L[K]\longmapsto-S_E[K] $$

로 변환된다. [1]

10. Euclidean Regge 작용

여기에서는 기하학적 Regge 매개변수화만 사용한다.

따라서 독립적인

$$
\kappa_0,\quad\kappa_4,\quad\Delta
$$

를 추가하지 않는다.

Euclidean interior triangle $h$의 deficit angle은

$$ \delta_h = 2\pi- \sum_{\sigma^4\supset h} \theta_{\sigma^4,h} $$

이다.

경계 triangle의 exterior angle은 outward-normal convention에서

$$ \psi_h = \pi- \sum_{\sigma^4\supset h} \theta_{\sigma^4,h} $$

이다.

작용은

$$ S_E[K] = -\frac{1}{8\pi G_N} \left(\sum_{h\subset\operatorname{int}K} A_h\delta_h + \sum_{h\subset\partial K} A_h\psi_h \right) + \frac{\Lambda}{8\pi G_N} \sum_{\sigma^4\in K^{(4)}} V_4(\sigma^4) $$

로 정의한다.

열린 시공간에서는 경계의 외재곡률에 대응하는 Regge 경계항이 필요하다. [2]

경계항을 포함하면 sandwich 접합 아래 작용은 가법적이다.

$$ S_E[K] = \sum_{n=0}^{N_\tau-1} S_E[S_n] $$

counting-variable action은 이 작용의 재매개변수화일 뿐이므로 여기에서는 별도로 정의하지 않는다.

11. 유한-cutoff 상태합

초기 및 최종 공간 triangulation을 각각 $g_i,g_f$라고 한다.

$N_4(K)\leq N$을 만족하는 허용 history들의 isomorphism class 집합을

$$ \mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau) $$

라고 한다.

각 history는 다음을 만족한다.

1. $\partial_-K\cong g_i$
2. $\partial_+K\cong g_f$
3. 시간층 수가 $N_\tau+1$
4. 모든 공간층의 위상이 $\Sigma$
5. 모든 4-simplex가 허용된 causal 유형
6. $K$가 combinatorial 4-manifold
7. $N_4(K)\leq N$

symmetry factor를

$$ C_\tau(K;g_i,g_f) = \left| \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) \right| $$

로 정의한다.

이 automorphism은

• simplicial incidence
• 시간표지 $\tau$
• 과거·미래 경계의 순서

를 보존한다.

유한-cutoff Euclidean 상태합은

$$Z_N[g_i,g_f;N_\tau] = \sum_{(K,\tau)\in \mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)} \frac{1}{C_\tau(K;g_i,g_f)} e^{-S_E[K]} $$

이다.

$N<\infty$에서는 허용되는 유한 simplicial complex의 조합론적 유형 수가 유한하므로 이 상태합은 잘 정의된다.

cutoff 제거

$$
N\rightarrow\infty
$$

및 격자간격 제거

$$
a\rightarrow0
$$

는 이 버전의 정의에 포함하지 않는다.

12. 최소 공리 요약

Qaether-CDT의 최소 공리는 다음과 같다.

 

1. $Q=(K,\tau),$
2. $\tau:K^{(0)}\to \{0,\ldots,N_\tau\},$
3. $|K_n|\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma,$
4. $T=\operatorname{sk}_1(\sigma^3), \quad \sigma^3\in K_n^{(3)}, $
5. $|\Delta\tau|\leq1\text{ on every edge},$
6. $\sigma^4\text{는 }(4,1),(3,2),(2,3),(1,4)\text{ 중 하나},$
7. $|S_n|\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma\times[0,1],$
8. $K\text{는 경계를 가진 combinatorial 4-manifold},$
9. $\ell_s^2=a^2,\quad\ell_t^2=-\alpha a^2,$
10. $\alpha\mapsto-\alpha,\quad\alpha>\frac7{12},$
11. $S_E\text{는 경계항을 포함한 Regge 작용},$
12. $Z_N=\sum C_\tau^{-1}e^{-S_E}$

 

References
[1]: https://arxiv.org/pdf/1302.2173 "Fig24x.tex"
[2]: https://arxiv.org/pdf/hep-th/0105267 "arXiv:hep-th/0105267v1 27 May 2001"