[v2.3] Qaether Theory: Static Boundary-Graph Axioms

0. Qaether configuration

Qaether configuration은 다음 자료로 정의한다.

\[
\boxed{
\mathcal Q=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
}
\]

여기서

\[
G_Q=(V,E)
\]

는 Qaether graph이다.

각 성분의 의미는 다음과 같다.

\[
V=\text{Qaether vertices},
\]
\[
E=\text{primitive bonds},
\]
\[
\rho:V\to\mathbb R^3 \quad (\text{geometric realization}),
\]
\[
\ell_Q>0 \quad (\text{contact/exclusion scale}),
\]
\[
q:V\to SU(2) \quad (\text{각 vertex의 쿼터니안 상태}),
\]
\[
\mathcal C_\triangle = \text{선택된 primitive triangular boundary cycle family},
\]
\[
\mathcal C_\square = \text{선택된 primitive square boundary cycle family},
\]
\[
\mathcal M_T = \text{tetrahedral boundary motif family},
\]
\[
\mathcal M_O = \text{octahedral boundary motif family}.
\]

기본 원칙은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\text{All primitive structures are boundary structures.}
}
\]

즉 Qaether 이론에서 다루는 구조는 채워진 면이나 채워진 부피가 아니라, vertex–edge network 위의 boundary graph와 boundary cycle incidence이다.

I. Boundary-graph ontology

Axiom Q1. Qaether ontology

Qaether는 vertex이다.

\[
\boxed{
\text{Qaether}=\text{vertex}.
}
\]

Primitive bond는 edge이다.

\[
\boxed{
\text{primitive bond}=\text{edge}.
}
\]

Qaether space는 채워진 cell들의 집합이 아니다.

\[
\boxed{
\text{No filled faces.}
}
\]
\[
\boxed{
\text{No filled volumes.}
}
\]

따라서 $C_\triangle,\ C_\square$는 boundary cycles이고, $T,\ O$는 boundary graph motifs이다.

즉,

\[
\boxed{
C_\triangle,C_\square\neq \text{filled 2-faces},
}
\]
\[
\boxed{
T,O\neq \text{filled 3-cells}.
}
\]

II. Graph and realization axioms

Axiom Q2. Simple graph

Qaether graph는 simple graph이다.

\[
\boxed{
G_Q=(V,E),
\qquad
E\subseteq
\bigl\{
\{v,w\}:v,w\in V,\ v\neq w
\bigr\}.
}
\]

따라서 edge는 ordered pair가 아니라 unordered pair이다.

Self-loop와 multiple edge는 허용하지 않는다.

\[
\boxed{
\{v,v\}\notin E.
}
\]

Definition Q2.1. Oriented edge set

방향이 있는 edge들의 집합을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
E^{\mathrm{or}}
:=
\bigl\{
(v,w)\in V\times V:\{v,w\}\in E
\bigr\}.
}
\]

즉 $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$는 undirected edge $\{v,w\}\in E$에 방향을 하나 선택한 것이다.

Axiom Q3. Injective geometric realization

Qaether graph는 injective geometric realization을 가진다.

\[
\boxed{
\rho:V\to\mathbb R^3.
}
\]

서로 다른 Qaether는 같은 기하학적 위치를 점유하지 않는다.

\[
\boxed{
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
\rho(v)\neq\rho(w).
}
\]

Axiom Q4. Local finiteness

Qaether graph는 graph-locally finite하다.

\[
\boxed{
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)<\infty.
}
\]

또한 geometric realization은 geometrically locally finite하다.

\[
\boxed{
\forall K\Subset\mathbb R^3,
\qquad
|\rho^{-1}(K)|<\infty.
}
\]

즉 유한한 물리 영역 안에는 유한 개의 Qaether만 존재한다.

Axiom Q5. Contact/exclusion scale

$\ell_Q>0$는 Qaether의 기본 contact/exclusion scale이다.

서로 다른 Qaether는 최소 거리 $\ell_Q$ 이상 떨어져 있다.

\[
\boxed{
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|\ge \ell_Q.
}
\]

Primitive bond는 contact scale에서만 허용된다.

\[
\boxed{
\{v,w\}\in E
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q.
}
\]

역방향 조건인 $|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q \implies \{v,w\}\in E$는 공리로 넣지 않는다.

따라서 $E$는 단순한 거리관계가 아니라 선택된 primitive boundary incidence이다.

III. Quaternionic vertex state

Axiom Q6. Quaternionic vertex state

각 Qaether vertex는 단위 쿼터니안 상태를 가진다.

\[
\boxed{
q_v\in SU(2)\cong\mathbb H_1.
}
\]

즉,

\[
\boxed{
q:V\to SU(2).
}
\]

Qaether 자체가 쿼터니안인 것이 아니라, 각 vertex가 쿼터니안 상태값을 가진다.

여기에서는 시간진화를 정의하지 않는다.

Definition Q7. Relative quaternionic phase

방향이 있는 edge $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대해 상대 쿼터니안 위상을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
h_{vw}=q_v^{-1}q_w.
}
\]

반대 방향에서는 다음이 성립한다.

\[
\boxed{
h_{wv}=h_{vw}^{-1}.
}
\]

따라서 Qaether의 기본 위상차는 scalar phase가 아니라 group-valued relative phase이다.

\[
\boxed{
h_{vw}\in SU(2).
}
\]

Proposition Q8. Trivial loop holonomy

닫힌 graph loop $C=(v_0,v_1,\dots,v_n=v_0)$를 생각하자. 여기서 모든 $i=0,\dots,n-1$에 대해 다음이 성립한다.

\[
\boxed{
\{v_i,v_{i+1}\}\in E.
}
\]

이때 loop holonomy를 다음과 같이 정의한다.

\[
h_C = h_{v_0v_1} h_{v_1v_2} \cdots h_{v_{n-1}v_0}.
\]

그런데 $h_{v_iv_{i+1}} = q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}}$이므로 telescoping에 의해 다음이 성립한다.

\[
h_C = q_{v_0}^{-1}q_{v_1} q_{v_1}^{-1}q_{v_2} \cdots q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0} = 1_{SU(2)}.
\]

따라서,

\[
\boxed{
h_C=1_{SU(2)}.
}
\]

즉 Qaether 이론에서는 loop-holonomy curvature가 없다.

\[
\boxed{
\text{Qaether Theory has no loop-holonomy curvature.}
}
\]

곡률은 여기에서 정의하지 않으며, 이후 단계에서 motif residual curvature로 별도 정의한다.

IV. Primitive boundary cycles

여기에서 primitive cycle은 면이 아니라 boundary cycle이다.

\[
\boxed{
C_\triangle,\ C_\square = \text{boundary cycles}.
}
\]

Cycle은 ordered tuple이 아니라 cyclic rotation과 reversal을 동일시한 equivalence class로 정의한다.

즉 $[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}]$는 다음과 같은 cyclic rotation을 모두 동일한 cycle로 본다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_1,v_2,\dots,v_0].
\]

또한 reversal도 동일시한다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_0,v_{n-1},\dots,v_1].
\]

따라서 $C_n$은 unoriented cyclic equivalence class이다.

또한 $\mathcal C_\triangle$와 $\mathcal C_\square$는 $G_Q$ 안에 존재하는 모든 graph cycle의 집합이 아니라, 그중 primitive physical boundary cycle로 선택된 distinguished families이다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle
\subseteq
\bigl\{ \text{triangular boundary cycles in } G_Q \bigr\}.
}
\]
\[
\boxed{
\mathcal C_\square
\subseteq
\bigl\{ \text{planar chordless square boundary cycles in } G_Q \bigr\}.
}
\]

즉,

\[
\boxed{
\text{Not every graph cycle is primitive.}
}
\]

Axiom Q9. Triangular boundary cycle

$C_\triangle\in\mathcal C_\triangle$는 세 개의 서로 다른 vertex로 이루어진 primitive triangular boundary cycle이다.

\[
\boxed{
C_\triangle=[v_0,v_1,v_2],
}
\]

where $v_0,v_1,v_2$ are pairwise distinct.

그 edge set은 다음과 같다.

\[
E(C_\triangle) = \bigl\{ \{v_0,v_1\}, \{v_1,v_2\}, \{v_2,v_0\} \bigr\}.
\]

그리고,

\[
\boxed{
E(C_\triangle)\subseteq E.
}
\]

세 점은 비퇴화 평면 삼각형을 이룬다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff} \{ \rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2) \} =2.
}
\]

Axiom Q5에 의해 세 edge의 길이는 모두 $\ell_Q$이다.

따라서 $C_\triangle$의 geometric realization은 equilateral triangular boundary이다. 하지만,

\[
\boxed{
C_\triangle\neq \text{filled triangular face}.
}
\]

Axiom Q10. Square boundary cycle

$C_\square\in\mathcal C_\square$는 네 개의 서로 다른 vertex로 이루어진 primitive square boundary cycle이다.

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3],
}
\]

where $v_0,v_1,v_2,v_3$ are pairwise distinct.

그 edge set은 다음과 같다.

\[
E(C_\square) = \bigl\{ \{v_0,v_1\}, \{v_1,v_2\}, \{v_2,v_3\}, \{v_3,v_0\} \bigr\}.
\]

그리고,

\[
\boxed{
E(C_\square)\subseteq E.
}
\]

Chordless 조건을 만족한다.

\[
\boxed{
\{v_0,v_2\}\notin E,
\qquad
\{v_1,v_3\}\notin E.
}
\]

네 점은 비퇴화 평면 사각형을 이룬다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff} \{ \rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2),\rho(v_3) \} = 2.
}
\]

또한 genuine square boundary cycle이므로 다음 정사각형 조건을 만족한다.

\[
\boxed{
\rho(v_0)+\rho(v_2) = \rho(v_1)+\rho(v_3).
}
\]

그리고 두 대각선 길이는 같다.

\[
\boxed{
|\rho(v_0)-\rho(v_2)| = |\rho(v_1)-\rho(v_3)| = \sqrt{2}\,\ell_Q.
}
\]

Axiom Q5에 의해 네 변의 길이는 모두 $\ell_Q$이다.

따라서 $C_\square$는 genuine planar chordless square boundary cycle이다.

동치적으로, 위 조건 아래에서는 인접 edge의 직교 조건을 쓸 수 있다.

\[
\boxed{
\left\langle
\rho(v_1)-\rho(v_0),
\rho(v_3)-\rho(v_0)
\right\rangle
=0.
}
\]

하지만,

\[
\boxed{
C_\square\neq\text{filled square face}.
}
\]

V. Primitive boundary motifs

Motif는 채워진 3차원 물체가 아니다.

\[
\boxed{
\text{motif} = \text{3D-realized boundary graph with distinguished boundary-cycle incidence}.
}
\]

따라서 boundary motif는 단순한 graph만이 아니라 다음 자료를 포함한다.

\[
\boxed{
\text{boundary motif} = \text{1-skeleton graph} + \text{distinguished boundary cycles}.
}
\]

여기에서 primitive boundary motif는 두 종류뿐이다.

\[
\boxed{
\mathcal M_{\mathrm{prim}} = \mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O.
}
\]

즉 허용되는 primitive boundary motifs는 $T,\ O$이다.

VI. Tetrahedral boundary motif

Axiom Q11. T-boundary motif

$T\in\mathcal M_T$는 다음 자료로 이루어진다.

\[
\boxed{
T=
\left(
V_T,
G_Q[V_T],
\mathcal C_\triangle(T)
\right).
}
\]

여기서 $V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset V$이고 네 vertex는 서로 다르다.

T1. Tetrahedral boundary graph

서로 다른 모든 두 vertex가 edge로 연결된다.

\[
\boxed{
\{a_i,a_j\}\in E \qquad (i\neq j).
}
\]

따라서 induced graph는

\[
\boxed{
G_Q[V_T]\cong K_4.
}
\]

즉 $T$-motif는 tetrahedral boundary graph이다.

\[
\boxed{
T=\text{tetrahedral boundary graph with distinguished triangular cycles}.
}
\]

T2. Edge and cycle sets of T

$T$-motif의 edge set을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
E(T):=E(G_Q[V_T]).
}
\]

또한 $T$-motif의 전체 distinguished cycle family를

\[
\boxed{
\mathcal C(T):=\mathcal C_\triangle(T)
}
\]

로 정의한다. 그리고,

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T):=\varnothing.
}
\]

T3. Three-dimensional nondegeneracy

네 점은 3차원적으로 독립이다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff} \{ \rho(a_0),\rho(a_1),\rho(a_2),\rho(a_3) \} = 3.
}
\]

Axiom Q5에 의해 모든 $T$-edge의 길이는 $\ell_Q$이다.

따라서 geometric realization은 regular tetrahedral boundary graph이다. 하지만,

\[
\boxed{
T\neq\text{filled tetrahedron}.
}
\]

T4. Triangular boundary incidence

$T$-motif는 정확히 네 개의 triangular boundary cycles를 가진다.

각 $i=0,1,2,3$에 대해, $V_T\setminus\{a_i\}$의 세 vertex가 만드는 3-cycle을 $C_\triangle^{(i)}$라고 쓴다.

더 엄밀하게, $V_T\setminus\{a_i\} = \{a_j,a_k,a_l\}$이면

\[
\boxed{
C_\triangle^{(i)} = [a_j,a_k,a_l].
}
\]

이때,

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(T) = \bigl\{ C_\triangle^{(0)}, C_\triangle^{(1)}, C_\triangle^{(2)}, C_\triangle^{(3)} \bigr\}.
}
\]

그리고 이들은 global triangular boundary cycle family에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(T)\subseteq\mathcal C_\triangle.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
|\mathcal C_\triangle(T)|=4.
}
\]

요약하면,

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle.
}
\]

여기서 $\sim=\text{boundary-cycle incidence decomposition}$이다. 즉 이것은 집합 등식도 아니고, 면분해도 아니고, 부피분해도 아니다.

T5. No square boundary cycle inside T

$K_4$의 모든 4-cycle은 chord를 가진다.

따라서 $T$-motif 안에는 primitive chordless square boundary cycle이 없다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
}
\]

즉,

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle, \qquad T\not\sim C_\square.
}
\]

VII. Octahedral boundary motif

Axiom Q12. O-boundary motif

$O\in\mathcal M_O$는 다음 자료로 이루어진다.

\[
\boxed{
O=
\left(
V_O,
\mathcal P_O,
G_Q[V_O],
\mathcal C_\triangle(O),
\mathcal C_\square(O)
\right).
}
\]

여기서 $V_O = \{ x_1^+,x_1^-, x_2^+,x_2^-, x_3^+,x_3^- \} \subset V$이고 여섯 vertex는 서로 다르다.

또한,

\[
\boxed{
\mathcal P_O = \bigl\{ \{x_1^+,x_1^-\}, \{x_2^+,x_2^-\}, \{x_3^+,x_3^-\} \bigr\}
}
\]

는 opposite-pair structure이다.

O1. Octahedral boundary graph

서로 다른 두 vertex $x_i^\epsilon,\ x_j^\delta\in V_O$에 대해,

\[
\boxed{
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E \quad\Longleftrightarrow\quad i\neq j.
}
\]

여기서 $i,j\in\{1,2,3\}, \qquad \epsilon,\delta\in\{+,-\}$이다.

즉 opposite pair 사이에는 edge가 없고, opposite이 아닌 두 vertex 사이에는 edge가 있다.

따라서 induced graph는

\[
\boxed{
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}.
}
\]

즉 $O$-motif는 octahedral boundary graph이다.

\[
\boxed{
O=\text{octahedral boundary graph with distinguished triangular and square cycles}.
}
\]

O2. Edge and cycle sets of O

$O$-motif의 edge set을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
E(O):=E(G_Q[V_O]).
}
\]

또한 $O$-motif의 전체 distinguished cycle family를

\[
\boxed{
\mathcal C(O) := \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O)
}
\]

로 정의한다.

O3. Octahedral realization

어떤 중심점 $c\in\mathbb R^3$와 orthonormal frame $u_1,u_2,u_3$가 존재하여

\[
\boxed{
\rho(x_i^\pm) = c\pm \frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}u_i
}
\]

가 성립한다.

그러면 opposite이 아닌 두 vertex 사이의 거리는 $\ell_Q$이고, opposite pair 사이의 거리는

\[
\boxed{
|\rho(x_i^+)-\rho(x_i^-)| = \sqrt{2}\,\ell_Q.
}
\]

따라서 $O$-motif의 geometric realization은 regular octahedral boundary graph이다. 하지만,

\[
\boxed{
O\neq\text{filled octahedron}.
}
\]

O4. Three orthogonal square boundary cycles

$O$-motif에는 세 개의 primitive square boundary cycles가 있다.

\[
\boxed{
C_{\square}^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-],
}
\]
\[
\boxed{
C_{\square}^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-],
}
\]
\[
\boxed{
C_{\square}^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-].
}
\]

이 세 square boundary cycles는 각각 다음 평면에 놓인다.

\[
c+\operatorname{span}(u_2,u_3), \quad c+\operatorname{span}(u_1,u_3), \quad c+\operatorname{span}(u_1,u_2).
\]

따라서 세 square boundary cycles는 서로 직교한다.

\[
\boxed{
C_{\square}^{(1)} \perp C_{\square}^{(2)} \perp C_{\square}^{(3)}.
}
\]

여기서 $C_{\square}^{(i)}\perp C_{\square}^{(j)}$는 두 square cycle이 놓인 affine plane들의 normal direction이 서로 직교한다는 뜻이다.

정의상,

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(O) = \bigl\{ C_{\square}^{(1)}, C_{\square}^{(2)}, C_{\square}^{(3)} \bigr\}.
}
\]

그리고 이들은 global square boundary cycle family에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(O)\subseteq\mathcal C_\square.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
|\mathcal C_\square(O)|=3.
}
\]

중요하게도 이 세 square cycle은 정팔면체의 채워진 사각면이 아니다. $C_\square\in\mathcal C_\square(O)$의 의미는

\[
\boxed{
C_\square \text{ is an equatorial chordless square cycle in the octahedral boundary graph}.
}
\]

O5. Eight triangular boundary cycles

$O$-motif에는 여덟 개의 triangular boundary cycles가 있다.

각 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3$에 대해,

\[
\boxed{
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}].
}
\]

정의상,

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(O) = \bigl\{ C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} : (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3 \bigr\}.
}
\]

그리고 이들은 global triangular boundary cycle family에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(O)\subseteq\mathcal C_\triangle.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
|\mathcal C_\triangle(O)|=8.
}
\]

O6. Square-edge incidence

$O$-motif의 세 square boundary cycles는 $O$의 12개 edge 전체를 정확히 한 번씩 덮는다.

\[
\boxed{
E(O) = E(C_{\square}^{(1)}) \sqcup E(C_{\square}^{(2)}) \sqcup E(C_{\square}^{(3)}).
}
\]

따라서 임의의 $O$-edge $e$에 대해,

\[
\boxed{
\#\bigl\{ C_\square\in\mathcal C_\square(O) : e\in E(C_\square) \bigr\} = 1.
}
\]

O7. Triangle-edge incidence

$O$-motif의 각 edge는 정확히 두 개의 triangular boundary cycles에 속한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E(O),\qquad \#\bigl\{ C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O) : e\in E(C_\triangle) \bigr\} = 2.
}
\]

O8. O-motif incidence decomposition

따라서 $O$-motif는 두 가지 boundary-cycle incidence structure를 동시에 가진다.

\[
|\mathcal C_\square(O)|=3, \qquad |\mathcal C_\triangle(O)|=8.
\]

요약하면,

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle.
}
\]

여기서 $3C_\square^\perp$는 세 개의 직교 square boundary cycles이고, $8C_\triangle$는 여덟 개의 triangular boundary cycles이다.

이것은 면분해나 부피분해가 아니다.

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
}
\]

의 의미는 하나의 octahedral boundary graph가 두 가지 distinguished boundary-cycle incidence structure를 동시에 가진다는 것이다.

VIII. T/O cycle-level interface

이전 버전의 Q12는 독립 공리로 두지 않는다.
아래 내용은 정의에서 따라오는 convention/remark로 둔다.

Definition Q13. Cycle family of a motif

$T$-motif와 $O$-motif의 distinguished boundary cycle family는 다음과 같다.

\[
\boxed{
\mathcal C(T):=\mathcal C_\triangle(T).
}
\]
\[
\boxed{
\mathcal C(O) := \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O).
}
\]

Remark Q13.1. Cycle-level T/O interface

만약 $T$-motif와 $O$-motif가 distinguished primitive boundary cycle을 공유한다면, 그 공유 cycle은 triangular boundary cycle이다.

즉,

\[
\forall T \in \mathcal M_T, \quad \forall O \in \mathcal M_O, \quad \forall C, \quad C\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O) \Longrightarrow C\in\mathcal C_\triangle.
\]

이는 독립 공리가 아니라 $\mathcal C(T)=\mathcal C_\triangle(T)$라는 정의에서 따라오는 결과이다.

따라서 square boundary cycle은 cycle-level $T/O$ interface가 아니다.

\[
\boxed{
\forall T \in \mathcal M_T, \quad \forall O \in \mathcal M_O, \quad \mathcal C_\square \cap \mathcal C(T) \cap \mathcal C(O) = \varnothing.
}
\]

이 remark는 $T$-motif와 $O$-motif가 vertex 하나만 공유하거나 edge 하나만 공유하는 경우를 금지하지 않는다. 오직 primitive boundary cycle을 공유하는 경우에만 그 공유 cycle이 triangular라는 뜻이다.

IX. Square cycle sector and bond incidence

Axiom Q14. Square boundary cycle belongs to O-sector

모든 primitive square boundary cycle은 적어도 하나의 $O$-motif에 속한다.

\[
\boxed{
\forall C_\square\in\mathcal C_\square, \quad \exists O\in\mathcal M_O \quad \text{such that} \quad C_\square\in\mathcal C_\square(O).
}
\]

반면 $T$-motif에는 primitive square boundary cycle이 없다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
C_\square\text{ belongs to the } O\text{-sector}.
}
\]

Axiom Q15. Bond incidence principle

Qaether 사이의 edge는 독립적인 물질적 막대가 아니다.

모든 edge는 적어도 하나의 primitive boundary cycle 또는 primitive boundary motif에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E, \quad \exists X\in \mathcal C_\triangle \sqcup \mathcal C_\square \sqcup \mathcal M_T \sqcup \mathcal M_O \quad \text{such that} \quad e\in E(X).
}
\]

여기서 $E(X)$는 다음을 뜻한다.

\[
E(C_\triangle)=\text{the three boundary edges of } C_\triangle,
\]
\[
E(C_\square)=\text{the four boundary edges of } C_\square,
\]
\[
E(T)=\text{the six edges of the } K_4\text{ boundary motif},
\]
\[
E(O)=\text{the twelve edges of the } K_{2,2,2}\text{ boundary motif}.
\]