[v1.7] 스핀과 전하의 정의 (FCC 격자 구조의 수학적 정의)

수정의 이유: Qaether 이론에서는 기존 site에 쿼터니안을 배치하기로 했다. 그런 경우에는 순수 게이지가 되지 않기 때문에 이에 맞춰 수정했다. 단, 여기에는 아직 SU(3) 구조는 포함하지 않았다.

 

1) FCC 격자와 최소 루프

기본 구조
면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 3차원 격자다.
중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃은 다음 좌표로 표현된다.
\[
(\pm1,\pm1,0),\ (0,\pm1,\pm1),\ (\pm1,0,\pm1)
\]
이 격자는 삼각형과 사각형 루프가 동시에 존재해, SO(3) 회전의 짝·홀 패리티와 U(1) 위상축을 모두 정의할 수 있는 최소 구조를 제공한다.

최소 루프 (사이클 생성 집합)

• 삼각 루프: \(\{111\}\) 면의 정삼각형
  예) \((0,0,0)\to(1,1,0)\to(0,1,1)\to(0,0,0)\)
• 사각 루프: \(⟨100⟩/⟨110⟩\) 방향의 마름모/정사각형
  예) \((1,1,0)\to(1,0,1)\to(1,-1,0)\to(1,0,-1)\to(1,1,0)\)

이 루프들은 FCC의 위상적 사이클 공간을 생성하며, 이후 SU(2)–U(1) 위상정보를 담는 기본 경로 역할을 한다.

 

2) 사이트 쿼터니언과 링크 변수

각 사이트 \(i\)에 단위 쿼터니언 \(q_i\in SU(2)\)를 배치한다.
이때 \(q_i\)는 회전의 방향성과 위상을 모두 포함한다:
\[
q_i = e^{i \phi_i \hat n_i\cdot\vec\sigma}
= \cos\frac{\phi_i}{2} + i \sin\frac{\phi_i}{2} \hat n_i\cdot\vec\sigma
\]

여기서

• 방향 \(\hat n_i\): 스핀의 공간 축 (SO(3) 회전과 대응)
• 위상 \(\phi_i\): 국소 회전 위상(전하 위상과 대응)

링크 변수는 \[ U_{ij} = q_i q_j^{-1}\in SU(2) \] 게이지 변환은 \[ q_i\mapsto g_i q_i \quad\Rightarrow\quad U_{ij}\mapsto g_i U_{ij} g_j^{-1} \]

따라서 FCC 위의 쿼터니언장은 SU(2) 게이지 구조를 본질적으로 형성한다.

 

3) SU(2) 내부의 U(1) 위상

SU(2)은 다음과 같이 분해된다.\[SU(2)\simeq (S^2_{\text{방향}})\times U(1)_{\text{위상}}\]

 

이때 국소 기준축 \(m_i\)을 따라 SU(2) 링크 \(U_{ij}\)의 U(1) 투영을 ‘t Hooft형 아벨화’로 정의하면:

$$u_{ij}= \frac{\mathrm{Tr}\!\left(\frac{1+m_i\cdot\sigma}{2}\,U_{ij}\right)}{ \left|\mathrm{Tr}\!\left(\frac{1+m_i\cdot\sigma}{2}\,U_{ij}\right)\right|} =e^{i a_{ij}}$$

여기서 \( a_{ij}\) 는 링크의 U(1) 게이지 위상.
루프를 따라 더하면

\[ \sum_{(ij)\in\ell} a_{ij} = 2\pi n \]

즉 위상 양자화 조건을 만족하며, 이 위상이 쿼터니언의 전하 성분을 정의한다.

 

4) 플라켓 홀로노미 — “중심까지 평탄” (projectively flat)

루프 \(\ell\)에 대한 윌슨 곱은
\[
W(\ell)=\prod_{(ij)\in\ell}U_{ij}\in{\pm1}\subset Z(SU(2))
\]
이는 루프를 한 바퀴 도는 동안 발생한 총 회전수의 짝홀성(패리티)을 기록한다:
\[
W(\ell)=(-1)^{w(\ell)} \quad (\text{짝수 바퀴 } +1,\ \text{홀수 바퀴 } -1)
\]
SU(2) 관점에서는 중심(\(\pm1\))이 남아 projectively flat, SO(3)으로 사상하면 \(\pm1\)이 식별되어 truly flat하게 보인다. 즉, 스핀-½ 위상이 공간적으로 드러난 구조다.

 

5) 정팔면체 분해와 Z₂ Bianchi 제약

FCC는 정팔면체–정사면체 벌집으로 충진된다.
각 정팔면체 \(\mathcal O\)의 표면에는

• 서로 직교하는 \(\{100\}\) 사각 플라켓 3개,
• \(\{111\}\) 삼각 플라켓 8개가 존재한다.

Z₂ 버전의 Bianchi 제약은
\[
\prod_{p\subset\partial\mathcal O}W(p)=
\Big(\prod_{a\in{x,y,z}}W_{\square a}\Big)
\Big(\prod_{t=1}^8W_{\triangle t}\Big)=+1
\]
이는 국소적으로 모노폴 결함을 금지하며, SU(2) 중심 플럭스가 짝수 개 단위로만 생성되도록 제한한다.

 

6) 전하 해석 — 플라켓 축 투영과 e/6 단위

플라켓이 형성되면 그 면의 법선 \(\hat m_p\)이 국소 기준축을 정한다.

각 사이트 쿼터니언의 방향을 그 축으로 투영할 때, 게이지 불변 부호를 다음과 같이 정의한다.

\[s_i = \mathrm{sign}\!\Big(\mathrm{Tr}\big[q_i\, (\hat n_p\!\cdot\!\vec\sigma)\, q_i^{-1}\,(\hat m_p\!\cdot\!\vec\sigma)\big]\Big)\]
이 부호는 해당 사이트가 축에 대해 정렬(+)/반정렬(–)인지를 뜻한다.

각 쿼터니언에 단위 전하 \(e/6\)을 부여하면
\[
Q_i = \frac{e}{6}s_i,\qquad
Q(\mathcal T) = \frac{e}{6}\sum_{i\in\mathcal T}s_i
\]
정사면체(쿼크 셀) 기준으로 \(Q(\mathcal T)\in\{-2/3,-1/3,0,1/3,2/3\}e\) 가 된다.
즉, FCC 내부에서 SU(2)의 U(1) 위상 성분이 분수 전하 양자화로 나타난다.

 

7) 전역 위상부문 (토러스 \(T^3\))

세 방향의 비수축 루프 \(C_x,C_y,C_z\)에 대해
\[
W_x=\prod_{(ij)\in C_x}U_{ij},\quad
W_y,\quad
W_z\in{\pm1}
\]
전역 위상부문은
\[
\mathcal H_{\text{global}}\cong H^2(T^3,\mathbb Z_2)\cong \mathbb Z_2^3
\]
이는 세 방향의 독립적인 중심 플럭스, 즉 전역 Z₂ 위상선택을 의미한다.

 

8) SU(2)–U(1) 이중 계층

SU(2) 층은 회전(스핀)을, 그 내부 U(1) 위상은 전하를 담당한다.
중심 Z₂는 스핀의 패리티를 기록한다.
이 구조는 군론적으로 다음과 같이 표현된다:

$$SU(2)\;\cong\; \big(U(1)_{\text{phase}}\times S^2_{\text{orientation}}\big)\,/\,Z_2$$

따라서 FCC 위의 쿼터니언장은 국소적으로

$$ \mathcal{G}_{\text{local}}\;\simeq\;U(1)\times SU(2) $$

구조를 이룬다.

• SU(2): 스핀 방향성과 짝홀 패리티 (SO(3) 이중피복)
• U(1): 회전 위상의 연속 성분 (전하 위상)
• Z₂: 중심 부호, 스핀 위상의 패리티

 

9) 요약

• FCC는 삼각/사각 루프를 동시에 가지며, SU(2) 위상장의 최소 루프 공간을 구성한다.
• 각 사이트의 쿼터니언은 회전(스핀)과 위상(전하)을 동시에 담는다.
• 링크 \(U_{ij}=q_i q_j^{-1}\)의 윌슨 곱은 SU(2) 중심에 제한되어, 루프 패리티가 스핀 위상을 나타낸다.
• 플라켓 축 투영을 통해 쿼터니언의 U(1) 위상이 분수 전하(\(e/6\))로 양자화된다.
• FCC 구조는 결과적으로 projectively flat SU(2) 장 위에 내재된 U(1) 위상장을 얹은 형태 —
  즉, U(1) × SU(2) 게이지 구조의 격자적 실현이다.