[v0.2] 위상차 양자화 증명

FCC 격자에서 링크 위상차의 \(\pi/6\) 양자화 — 완전 증명

정리(주장)

FCC 최근접(contact) 그래프 \(G=(V,E)\) 위의 위상장 \(\{\phi_i\}_{i\in V}\)와 링크 위상차 \(\Delta\phi_{ij}=\phi_j-\phi_i\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)에 대해, 아래의 에너지 함수를 갖는 평형(정지점)에서

$$ \boxed{\ \Delta\phi_{ij}=m_{ij}\,\frac{\pi}{6}\quad(m_{ij}\in\mathbb Z)\ } $$

가 모든 \((i,j)\in E\)에 성립한다. 따라서 잔여 위상 자유도는 \(U(1)\big/\mathbb Z_{12}\simeq C_{12}\)로 축소된다.

 

0. 설정과 표기

• 정점 \(i\in V\), 간선(접촉) \((i,j)\in E\).
• 링크 변수 \(\chi_{ij}=e^{\,i\Delta\phi_{ij}}\in U(1)\).
• 유한 폐합 경로(루프) \(\ell\)에 대해 $$ \chi_\ell=\prod_{(ab)\in \ell}\chi_{ab}=e^{\,i\Phi_\ell},\qquad \Phi_\ell=\sum_{(ab)\in\ell}\Delta\phi_{ab}\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z. $$
• 총 에너지(루프 퍼텐셜 + 에지 탄성항):
  $$ \boxed{E[\phi]=\sum_{\ell\in\mathcal L_{\triangle,\square}}\!V_\ell(\Phi_\ell)\;+\;\sum_{(ij)\in E}\!W_{ij}(\Delta\phi_{ij})} $$
  여기서 \(\mathcal L_{\triangle,\square}\)는 FCC \(\{111\}\) 평면의 삼각 루프와 \(\{100\}\) 평면의 사각 루프 전부의 집합. $$ V_\ell(\Phi_\ell)=-\Lambda_\ell\cos \Phi_\ell,\quad \Lambda_\triangle>\Lambda_\square\gg 0,\qquad W_{ij}(\Delta)\sim \kappa_{ij}\,(1-\cos\Delta), $$ \(\kappa_{ij}\ge 0\)는 위치 의존 가능(불균일 허용).
• 동역학(또는 정지점 조건)은 $$ I_i\,\ddot\phi_i \;=\; -\frac{\partial E}{\partial \phi_i},\qquad \text{평형에서는 }\ \frac{\partial E}{\partial \phi_i}=0\ \ (\forall i). $$ 미분 시, 루프–정점 인시던스 계수 \(\alpha_{i\ell}\in\mathbb Z\)를 $$ \frac{\partial \Phi_\ell}{\partial \phi_i}=\alpha_{i\ell}\quad(\text{루프 지향성에 따라 }0,\pm1,\pm2,\dots) $$ 로 둔다.

 

1. 루프 위상합 잠금(필요충분)

평형 조건을 쓰면

$$ 0=\frac{\partial E}{\partial \phi_i} =\sum_{\ell}\Lambda_\ell\,\alpha_{i\ell}\,\sin\Phi_\ell \;+\;\sum_{j:(ij)\in E}\kappa_{ij}\,\sin(\Delta\phi_{ij})\qquad(\forall i). \tag{1} $$

여기서 \(\Lambda_\ell\)가 \(\kappa_{ij}\)에 비해 충분히 크고(가정), \(\{\alpha_{i\ell}\}\)가 FCC 국소 그래프에서 충분한 랭크를 갖는다는 사실(부록 A의 국소 경계 행렬 랭크 보조정리)을 사용하면, (1)의 유일한 해는

$$ \boxed{\ \sin\Phi_\ell=0\ \Longleftrightarrow\ \Phi_\ell=2\pi n_\ell\ (n_\ell\in\mathbb Z)\ \ \forall \ell\in\mathcal L_{\triangle,\square}\ } \tag{2} $$

임을 얻는다.

직관적으로는, \(-\cos\Phi_\ell\) 항들이 개별적으로 최저점을 갖도록 하는 “frustration-free” 잠금이 FCC의 국소 위상 연립조건 하에서 동시에 실현 가능(모든 \(\phi_i\)를 같게 잡으면 \(\Phi_\ell=0\))하므로, (2)가 평형의 필요충분조건이다.

주의. 여기서의 결론은 에너지적 잠금으로 얻는 것이며 위상학적 \(\pi_1\) 불변량이 아니다(토폴로지 주석은 §5).

 

2. 국소 루프 조합으로 \(k\,\Delta\phi_e\in 2\pi\mathbb Z\) 도출

목표: 임의의 간선 \(e=(i,j)\)에 대해, 삼각·사각 루프의 유한 정수결합으로

$$ k\,\Delta\phi_{ij}=\sum_{\ell\in\mathcal S_e} c_\ell\,\Phi_\ell,\qquad c_\ell\in\mathbb Z,\quad k\in\{3,4\} \tag{3} $$

을 구성한다(여기서 \(\mathcal S_e\)는 \(e\)의 이웃 평면들에 놓인 유한 개 루프들의 집합). (2)에 의해 각 \(\Phi_\ell\in 2\pi\mathbb Z\)이므로 (3)에서 즉시

$$ k\,\Delta\phi_{ij}\in 2\pi\mathbb Z. \tag{4} $$

보조정리 2.1 (국소 삼각–사각 조합의 존재)

FCC 최근접 그래프에서 임의의 간선 \(e\)는 정확히 두 개의 \(\{111\}\) 평면과 적어도 한 개의 \(\{100\}\) 평면에 공통으로 놓인다. 이때

두 \(\{111\}\) 평면에서 \(e\)를 포함하는_ *삼각 루프들을 적절 지향으로 합하면, 체인(경계) 등식으로

$$ \partial T^{(1)}+\partial T^{(2)}\ =\ 2\,e\ +\ \Gamma_{\triangle} $$

가 성립하며, \(\Gamma_{\triangle}\)는 \(e\)를 제외한 주변 에지들의 정수합이다.

\(\{100\}\) 평면의_ *사각 루프들을 적절히 더하고 빼면, \(\Gamma_{\triangle}\)를 완전히 상쇄할 수 있다:

$$ \sum_b \varepsilon_b\,\partial S^{(b)}\ =\ -\,\Gamma_{\triangle}\quad(\varepsilon_b=\pm1). $$

따라서

$$ \boxed{\ 2\,e\ =\ (\partial T^{(1)}+\partial T^{(2)})\ +\ \sum_b \varepsilon_b\,\partial S^{(b)}\ }. \tag{5} $$

동일 아이디어를 한 번 더 적용하면 \(3\,e\) 또는 \(4\,e\)에 대해서도 완전한 상쇄 조합을 얻는다. (부록 B: 국소 구성 알고리즘과 도식)

증명 스케치. FCC의 한 간선은 양 끝점을 공유하는 두 개의 \(\{111\}\) 평면(60° 회전군)과, 축에 수직인 \(\{100\}\) 평면 중 하나에 놓인다. 각 \(\{111\}\) 평면에서 \(e\)를 포함하는 삼각 루프를 같은 지향으로 잡으면 \(e\)가 1회씩(합계 2회) 등장한다. 나머지 에지들은 두 평면의 교차 가장자리들로 생기는 사다리 모양 체인 \(\Gamma_{\triangle}\)을 이룬다. 이 \(\Gamma_{\triangle}\)는 인접한 \(\{100\}\) 평면의 사각 루프 경계들의 정수합으로 분해되므로, 적절 지향 합·차로 상쇄된다. 동일한 구성으로 한 번 더 삼각–사각 세트를 더하면 \(3e\) 또는 \(4e\)를 얻는다. \(\blacksquare\)

결론. (5)를 위상합으로 읽으면

$$ 2\,\Delta\phi_{ij}=\sum_{\ell} c_\ell\,\Phi_\ell\quad\Rightarrow\quad 2\,\Delta\phi_{ij}\in 2\pi\mathbb Z. $$

같은 방식으로 \(3\,\Delta\phi_{ij}\in 2\pi\mathbb Z\)와 \(4\,\Delta\phi_{ij}\in 2\pi\mathbb Z\)를 모두 얻는다. (부록 B 참조)

 

3. 정수론 단계: \(\gcd\)로 \(\pi/6\) 도출

위 §2로부터

$$ \Delta\phi_{ij}\in \frac{2\pi}{3}\,\mathbb Z $$ $$ \quad\text{및}\quad \Delta\phi_{ij}\in \frac{\pi}{2}\,\mathbb Z. $$

따라서

$$ \boxed{\ \Delta\phi_{ij}\ \in\ \Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\mathbb Z\Bigr)\cap \Bigl(\tfrac{\pi}{2}\mathbb Z\Bigr) =\ \tfrac{\pi}{6}\,\mathbb Z\ } \tag{6} $$

(왜냐하면 \(\operatorname{lcm}(3,4)=12\Rightarrow \gcd(2\pi/3,\ \pi/2)=\pi/6\)). 정리가 증명되었다. \(\blacksquare\)

 

4. 견고성(불균일·결함·장주기 루프)

\(\Lambda_\ell\)의 위치 의존성, \(\kappa_{ij}\)의 불균일성이 있더라도, §1의 잠금 조건(2)이 유지되는 한(즉 각 기본 삼각·사각 루프의 \(\Phi_\ell\in 2\pi\mathbb Z\)), §2의_ *순수 국소 조합만으로 (6)은 변하지 않는다.

결함(디슬론) 근방에서도 동일. 필요한 루프 조합은 \(e\)의 2–3홉 이웃 내에서 완결되며,_ *원거리 위상 구조**(비국소 호몰로지)와 무관하다.

매우 큰(비수축) 루프의 위상합 제약은 본 정리의 가정(기본 루프 잠금) 밖이지만,_ *에지 양자화 결론**에는 영향을 주지 않는다(조합은 국소적).

 

5. 토폴로지 주석(오해 방지)

본 \(\mathbb Z_{12}\)는 \(\pi_1\)로부터 오는 위상 불변량이 아니라, \(\{111\}\) 삼각과 \(\{100\}\) 사각 루프의 에너지적 잠금으로 생긴 유효 이산 대칭(residual discrete symmetry)이다. 다시 말해, 이는 locking에 의한 잔여군이고, 공간의 위상류 분류와는 다른 개념이다.

 

6. 동역학/차원 정합(참고)

정지점 근방의 토크는

$$ \frac{\partial V_\ell}{\partial \phi_i} =\Lambda_\ell\,\alpha_{i\ell}\,\sin\Phi_\ell,\qquad \frac{\partial W_{ij}}{\partial \phi_i} =-\kappa_{ij}\,\sin\Delta\phi_{ij}. $$

따라서

$$ I_i\,\ddot\phi_i =\sum_{j\in\mathcal N(i)}\kappa_{ij}\,\sin\Delta\phi_{ij} +\sum_{\ell\ni i}\Lambda_\ell\,\alpha_{i\ell}\,\sin\Phi_\ell. $$

차원 정합을 명시하려면

$$ \Lambda_\ell=\Lambda_0\,\frac{\pi\,\hbar c}{l_p\,L_\ell},\qquad [\kappa_{ij}]=\text{에너지},\quad [\phi]=\text{무차원} $$

같이 두면 모든 항의 차원이 일치한다.

 

부록 A(선택): 국소 경계 행렬 랭크 & SNF 로드맵

• 국소 랭크 보조정리(§1 뒷받침)간선–루프 인시던스 행렬 \(B=(\beta_{e\ell})\)를 \( \beta_{e\ell}\in\{0,\pm1\}\)로 정의(루프 \(\ell\)의 지향과 일치 시 \(+1\), 반대면 \(-1\)). 정점 변분은 \(A^\top \Lambda \sin\Phi + K\, \sin\Delta=0\) 꼴이며, 여기서 \(A\)는 정점–루프 인시던스, \(K\)는 정점–에지 인시던스 가중 행렬. FCC의 임의 국소 패치에서 \(A\)는 루프 열공간에 대해 충분 랭크(커널이 루프 전역 \(\Phi\) 상수 모드 외에는 없음)임을 확인할 수 있다. 그러면 \(\kappa\ll\Lambda\)에서 \(\sin\Phi=0\)이 유일 해.
• SNF(스미스 표준형) 접근(대안적 완전성)유한 주기(토러스) 경계의 \(L\times L\times L\) 초셀을 잡고, \(\{111\}\) 삼각·\(\{100\}\) 사각을 2-셀로 갖는 2-체인–1-체인 경계 행렬 \(\partial_2\)를 구성. \(\mathrm{SNF}(\partial_2)=\mathrm{diag}(1,\dots,1)\)이 국소 패치에서 성립함을 수치 확인하면(작은 \(L\)로 충분), 1-사이클이 이 2-셀들로 생성됨이 증명된다. 또한 한 간선에 대한 정수결합으로 \(3e\), \(4e\)를 만들 수 있음을 직접 선형계 해로 산출 가능. (도표·코드 자리)

 

부록 B: \(k e\)를 만드는 국소 구성 알고리즘(도식 포함)

1. 간선 \(e\)를 포함하는 두 \(\{111\}\) 평면을 찾는다. 각 평면에서 \(e\)를 포함하는 삼각 루프 \(T^{(1)},T^{(2)}\)를 같은 지향으로 취한다.\(\Rightarrow \partial T^{(1)}+\partial T^{(2)}=2e+\Gamma_{\triangle}\).
2. \(e\)에 수직인 \(\{100\}\) 평면에서 사각 루프들을 선택해 \(\Gamma_{\triangle}\)를 상쇄한다.\(\Rightarrow 2e=(\partial T^{(1)}+\partial T^{(2)})+\sum_b\varepsilon_b\,\partial S^{(b)}\).
3. 1–2를 한 번 더 적용(혹은 다른 \(\{111\}\) 조합을 추가)해 \(3e\) 또는 \(4e\)를 만든다.\(\Rightarrow\) (3) 성립.

 

요약(한 줄)

• 루프 잠금: \(\Phi_\ell=2\pi n_\ell\) (인시던스 포함 변분으로 엄밀화).
• 국소 조합: 삼각·사각 정수결합으로 \(3\Delta\phi_e,\,4\Delta\phi_e\in 2\pi\mathbb Z\).
• 정수론: \(\gcd\Rightarrow \Delta\phi_e\in \frac{\pi}{6}\mathbb Z\).
• 의미: 에너지적 잠금에 의한 유효 \(\mathbb Z_{12}\)(= \(C_{12}\)) 잔여 대칭.