위상차 양자화 증명

위상차 양자화 증명 과정

1. FCC 공간의 임의 입체 폐합 경로는 삼각루프 \(\ell_3\) (길이 3, 모서리 각 60°), 사각루프 \(\ell_4\) (길이 4, 정사각형)의 합성 (반복·결합)으로 모두 표현할 수 있다. 예를 들어 삼각–삼각, 사각–사각, 또는 삼각–사각의 다양한 연결 조합이 허용된다. 따라서 이 두 기본 루프의 자유군으로 생성된다. $$\Pi_1(\mathrm{FCC}) \;\cong\; \bigl\langle\,\ell_3,\;\ell_4\,\bigr\rangle$$
2. 국소 폐합 제약 위상은 U(1) 변수이므로, 루프마다 아래 수식이 성립해야 위상 함수가 단일값(single-valued)이다. $$\Phi_\ell=\sum_{(ij)\in\ell} \Delta\phi_{ij}=2\pi n_\ell,\qquad n_\ell\in\mathbb Z$$
3. 링크-에너지 최소화
   • XY-모형과 동형인 국소 에너지를 다음과 같이 정의하자. (본식에서 정의할 동역학 방정식들은 변수가 조금 다르긴 하지만 아래 함수와 대체로 유사하기 때문에 이를 이용한다) $$E=\sum_{(ij)}J\,[1-\cos \Delta\phi_{ij}],\qquad J \gt 0$$
   • \(\lambda \ge 0\) 을 루프별 라그랑주 승수로 도입해 $$\tilde E = E+\sum_\ell \lambda_\ell\!\Bigl(\Phi_\ell-2\pi n_\ell\Bigr)$$
   • 에너지 안정화 조건: 링크 \((ij)\)에 대해 \(\partial \tilde{E}/\partial \Delta \phi_{ij} =0 ⇒\) $$\sin \Delta \phi_{ij} = \sin \Delta \phi_{ik} = \cdots \equiv s_\ell$$ (같은 루프 내부 링크는 같은 \(\sin \Delta \phi \)를 갖음).
4. 삼각루프 조건 → 120° $$\Delta \phi_1+\Delta \phi_2+\Delta \phi_3=2\pi n,\quad\sin\Delta \phi_1=\sin\Delta \phi_2=\sin\Delta \phi_3$$
   • 가능 해는 (모듈러 \(2\pi\) ) $$\Delta \phi_i\in\{0,\,\pm2π/3\}$$
5. 사각루프 조건 → \(0, \pi\) $$\Delta \phi_1+\Delta \phi_2+\Delta \phi_3+\Delta \phi_4=2\pi n,\quad\sin\Delta \phi_i=\text{공통}$$
   • 가능 해는 $$\Delta \phi_i\in\{0,\,\pi \}$$
6. 동시 충족 ⇒ gcd 규칙
   • 링크는 여러 삼각·사각 루프에 동시에 속한다.
   • 삼각루프가 허용하는 \(±2\pi /3\) 값은 사각루프의 \(±π\)와 “최소공배수” \(2π\) 하에서만 공존 가능.
   • 가장 작은 공통 눈금 ≡ $$ \gcd\bigl\{\,\pi ,\,2\pi /3\,\bigr\}=\pi /3 $$
7. 위상 범위 제한 \(|\Delta\phi|\leπ\) (A3 선언) 을 적용하면 \(Z_6\) 집합으로 귀결.