[v1.2] SU(3) 도입 문제점과 개선 과제

1. 색전하(A7) 서술에서 드러나는 주요 정합성 결함 

   #	문제 요약	왜 모순‧부정합인가?	관련 원문
   1	Cartan 투영이 항상 0이 되는 구조	세 링크를 SU(3) 내부의 λ₁·λ₄·λ₆ 축에만 평행하게 임베딩해 놓고 색전하를 Cartan 생성자 λ₃·λ₈ 방향 성분$$C_o^a=\tfrac1{g_s}\mathrm{Tr}[\lambda_a\!\sum_\alpha\widetilde X_{o\alpha}]$$으로 정의했다. λ₁·λ₄·λ₆는 λ₃·λ₈와 직교이므로 Tr(λ₃λ₁)=Tr(λ₈λ₁)=…=0 ⇒ 어떤 링크 조합이라도 \(C_o^{3,8}=0\). 그럼에도 “두 링크 합 ≠0이면 메손 색전하가 생긴다”고 서술하여 자기모순.	λ₁·λ₄·λ₆ 정렬 설명 Cartan 투영 정의 메손 색전하 주장
   2	색전하 정의의 비(非)게이지 불변성	\(\widetilde X_{o\alpha}\)는 adjoint 변환 \(X\to U X U^{-1}\)을 받는다. 단순 합 \(\sum_\alpha\widetilde X_{o\alpha}\) 자체는 국소 SU(3) 변환에 따라 회전하므로, Cartan 투영값도 좌표계(색기저) 의존. 게이지 불변 관측량이 되려면 전류 발산 \(\sum_\alpha E_{o\alpha}^a\) 같은 Gauss 법칙 형태이거나 Wilson loop여야 함.	Cartan 투영 정의
   3	임베딩 차원 부족 및 8 글루온 모드 선언	λ₁·λ₄·λ₆ 세 방향만으로는 SU(3) 8차원 대수를 선형 생성할 수 없다. 그럼에도 “8개의 글루온 모드가 자연스레 생긴다”고 서술 → λ₂·λ₅·λ₇·λ₃·λ₈ 성분을 독립적으로 만들 메커니즘이 제시되지 않았다.	8 모드 생성 서술

2. 게이지 변환 문제 수식적 점검 (요약) $$\tilde X_{o\alpha}\propto\lambda_{1,4,6}\;\Longrightarrow\; \mathrm{Tr}(\lambda_{3,8}\,\tilde X_{o\alpha})=0 \;\Rightarrow\; C_o^{3,8}=0$$ $$\tilde X_{o\alpha}\;\xrightarrow{U(x)}\;U\,\tilde X_{o\alpha}\,U^{-1}\quad\Rightarrow\quad \sum_\alpha\tilde X_{o\alpha}\text{ 및 }C_o^{a}\text{는 불변량이 아님.}$$
   • 직교성으로 인한 0-투영
3. 개선 제안

개선방향	핵심 아이디어
Cartan 성분을 얻으려면	각 링크를 근본·반근본(3, 3ˉ\bar3) 색선으로 분해하고, Wilson line의 끝점에서 현재 정의한 SU(2) 위상각 외에 위상차의 diag(1,−1,0)·diag(1,1,−2) 계열(λ₃, λ₈ 방향) 파트를 포함해야 함.
게이지 불변 색전하	전통 QCD처럼 Gauss 법칙 DiEia=ρaD_iE_i^a=ρ^a의 격자 버전을 활용해 셀 내부의 색전하 QaQ^a를 정의하면 국소 게이지 불변성이 자동 확보됨.
SU(3) 전 공간 확보	λ₁·λ₂·λ₃ (red-green), λ₄·λ₅·λ₃′ (red-blue), λ₆·λ₇·λ₃″ (green-blue) 등 세 개의 중첩 SU(2) × U(1) 패치를 이용해 8개 방향을 모두 생성하도록 임베딩 스킴을 확장.

 

결론

• 현 A7 서술은 색전하 계산식과 임베딩 방식이 맞물리지 않아 결과가 항상 0이 되며, 색가둠 규칙과 메손 기술도 충돌한다. 위의 네 가지 구조적 수정을 적용하면 Cartan 전하, 8개 글루온 모드, 메손·바리온 구분이 모두 자연스럽게 정합될 수 있다.