[v1.2] Qaether 라그랑지안과 해밀토니안

제시된 Qaether 이론의 각 구성 요소(A1-A8)를 바탕으로, 시스템의 동역학을 기술하는 총 라그랑지안(Lagrangian)을 정의할 수 있다. 라그랑지안은 일반적으로 "운동 에너지 - 위치 에너지"(\(L = T - V\))의 형태를 가지며, 장(field) 이론에서는 이를 시공간에 대한 밀도(\(\mathcal{L}\))로 표현한다.

Qaether 이론의 라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L}_{\text{Qaether}}\)는 다음과 같은 주요 항들의 합으로 일단 구성하자.

1. 기본장 운동항 (\(\mathcal{L}_{\text{Kinetic}}\)): Qaether 필드 자체의 동적인 변화(운동 에너지)를 기술.
2. 위상 기하학적 퍼텐셜항 (\(\mathcal{L}_{\text{Potential}}\)): 질량, 중력 및 안정적 구조를 유발하는 퍼텐셜 에너지를 기술.
3. 게이지 상호작용항 (\(\mathcal{L}_{\text{Gauge}}\)): 표준 모형의 힘(전자기력, 약력, 강력)을 매개하는 게이지 장의 에너지를 기술.
4. 물질(페르미온)항 (\(\mathcal{L}_{\text{Fermion}}\)): 렙톤과 쿼크 같은 물질 입자의 동역학과 이들이 게이지 장과 상호작용하는 방식을 기술.

 

A. Qaether 이론의 총 라그랑지안 밀도

총 라그랑지안 밀도는 각 격자점 (\(i\))에서 정의되며, 다음과 같이 표현한다.

$$\mathcal{L}_{\text{Qaether}} = \mathcal{L}_{\text{Kinetic}} + \mathcal{L}_{\text{Gravity/Mass}} + \mathcal{L}_{\text{Gauge}} + \mathcal{L}_{\text{Fermion}}$$

이제 각 항을 이론의 정의에 따라 구체적으로 살펴보자.

 

A1. 기본장 운동항 (\(\mathcal{L}_{\text{Kinetic}}\))

이 항은 A4. 유효 시간의 정의에서 도출된 '게이지 불변 속도'에 비례하는 운동 에너지에 해당한다. 필드의 변화가 클수록 운동 에너지가 커진다.

$$\mathcal{L}_{\text{Kinetic}} = \frac{\hbar c}{2l_p} |\nabla \mathbf{q}_i|^2 = -\frac{\hbar c}{4l_p} \sum_{\mu=0}^3 \text{Tr}\left[ (\nabla_\mu \mathbf{q}_i)^2 \right]$$

• 의미: 이 항은 Qaether 필드 \(\mathbf{q}_i\)가 주변 필드와 얼마나 다른지를 측정한다. 이 값이 클수록 국소 시간 흐름이 느려지며(\(d\tau_i \to 0\)), 이는 시공간의 동적인 성질을 직접적으로 나타낸다.
• \(\nabla_\mu \mathbf{q}_i\): A4에서 정의된 격자 공변 도함수이다.
• \(\hbar c\): 라그랑지안 밀도가 에너지 밀도의 단위를 갖도록 하는 자연스러운 상수이다.

A2. 중력/질량 퍼텐셜항 (\(\mathcal{L}_{\text{Gravity/Mass}}\))

이 항은 A3. 질량과 중력의 창발에서 정의된 '국소 유효 압력' \(P_i\)에 해당하는 퍼텐셜 에너지다. 압력은 에너지 밀도와 차원이 같으므로 퍼텐셜 에너지 밀도로 직접 사용할 수 있다. 라그랑지안에서는 퍼텐셜 에너지에 음의 부호를 붙인다.

$$\mathcal{L}_{\text{Gravity/Mass}} = -V_G(\mathbf{q}_i, m_i) = -p_0\,(1 - \alpha\,m_i)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\phi_i}{2}\Bigr)$$

• 의미: 이 항은 Qaether 셀의 결합 수(\(m_i)\)와 내부 위상각(\(\phi_i\))에 따라 결정되는 위치 에너지를 나타낸다. 결합이 많아지거나(\(m_i\) 증가) 내부 위상각이 작아지면(\(\phi_i \to 0\)) 퍼텐셜이 낮아져 안정화된다. 이는 질량과 관성의 기원을 설명하는 핵심적인 항이다.
• \(\sin(\phi_i/2)\)는 쿼터니언의 벡터 성분 크기 \(|\Im(\mathbf{q}_i)|\)로 간결하게 표현할 수 있다.

A3. 게이지 상호작용항 (\(\mathcal{L}_{\text{Gauge}}\))

이 항은 A8. 상호작용의 통합에서 정의된 각 게이지 그룹의 플라켓(plaquette, \(\Box\)) 액션을 합친 것이다. 이는 게이지 장의 세기(field strength) 또는 곡률(curvature)에 저장된 에너지를 나타낸다.

$$\mathcal{L}_{\text{Gauge}} = \mathcal{L}_{U(1)} + \mathcal{L}_{SU(2)} + \mathcal{L}_{SU(3)} $$

• 전자기 상호작용 (U(1)): 전통적인 \(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) 항의 격자 버전 $$\mathcal{L}_{U(1)} = \beta_{E} \sum_{\Box} \cos\Phi_{\Box} \qquad (\Phi_{\Box} = \sum_{(ij)\in\Box}\arg \Delta w_{ij})$$ 여기서 \(\Phi_{\Box}\)는 플라켓을 도는 U(1) 위상의 총합이고 \(\beta_E\)는 결합 상수와 관련된 계수이다.
• 약한 상호작용 (SU(2)): \(-\frac{1}{2g_s^2}\text{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)) 항에 해당 $$\mathcal{L}_{SU(2)} = \frac{\beta_{W}}{2} \sum_{\Box} \text{Re}\left[ \text{Tr}(F_{\Box}) \right] \qquad (F_{\Box}=\prod_{\ell\in\Box}\Delta q_\ell) $$ 여기서 \(F_{\Box}\)는 SU(2) 윌슨 루프(Wilson loop)이다.
• 강한 상호작용 (SU(3)): \(-\frac{1}{2g_s^2}\text{Tr}(G_{\mu\nu}G^{\mu\nu}\)) 항에 해당 $$\mathcal{L}_{SU(3)} = \frac{\beta_{S}}{3} \sum_{\Box} \text{Re}\left[ \text{Tr}(G_{\Box}) \right] \qquad (G_{\Box}=\prod_{\ell\in\Box}\Xi_\ell)$$ 여기서 \(G_{\Box}\)는 A7에서 정의된 공변 링크 변수 \(\Xi\)로 구성된 SU(3) 윌슨 루프이다.

A4. 물질(페르미온)항 (\(\mathcal{L}_{\text{Fermion}}\))

이 항은 A5. 스핀의 정의에서 암시된 스피너(\(\psi\))가 게이지 장과 어떻게 상호작용하며 전파되는지를 기술한다. 이는 격자 페르미온 액션(예: 윌슨 페르미온)의 형태를 띠게 된다.

$$\mathcal{L}_{\text{Fermion}} = \sum_{f} \bar{\psi}_f \left( \kappa_f \sum {\mu} \gamma^\mu D_\mu^{\text{lat}} - M_f \right) \psi_f $$

• \(\sum_f\): 쿼크, 렙톤 등 모든 페르미온 종류((f))에 대한 합이다.
• \(\psi_f\): 해당 페르미온을 나타내는 스피너 장이다.
• \(D_\mu^{\text{lat}}\): 격자에서의 공변 도함수(hopping term)이다. 예를 들어, $$D_\mu^{\text{lat}}\psi_i = \frac{1}{2l_p} \left( \mathcal{U}_{i, i+\mu} \psi_{i+\mu} - \mathcal{U}_{i+\mu, i}^\dagger \psi_{i-\mu} \right)$$
• \(\mathcal{U}_{ij}\): 페르미온 \(f\)가 느끼는 통합 게이지 링크 변수이다. 예를 들어,
  • 전자(e): U(1) 링크 변수 \(\mathcal{U}_{ij} = \Delta w_{ij}\)
  • 쿼크(q): SU(3)와 U(1)의 텐서곱 \(\mathcal{U}_{ij} = \Xi_{ij} \otimes \Delta w_{ij}\)
• \(M_f\): 페르미온의 유효 질량이다. Qaether 이론에서는 이 질량이 근본적인 상수가 아니라, \(\mathcal{L}_{\text{Gravity/Mass}}\) 항의 효과로 인해 동적으로 생성되는 양으로 해석될 수 있다. 즉, \(M_f\)는 주변 Qaether 환경(\(m_i, \phi_i\))의 함수일 수 있다.

A5. 총 작용 (Total Action)

이론의 전체 동역학은 라그랑지안 밀도를 시공간에 대해 적분한 '작용(Action)' \(S\)를 통해 결정된다. Qaether 이론에서는 시간과 공간이 모두 이산적이므로, 적분은 합산으로 바뀐다. 특히 시간 적분은 A4에서 정의된 국소 고유 시간 \(d\tau_i\)를 사용해야 한다.

$$S = \sum_i \int d\tau_i \, \mathcal{L}_{\text{Qaether}}(i) \, l_p^3 = \sum_i \left( t_p \sqrt{1 - \frac{|\nabla \mathbf{q}_i|^2}{\Omega_0^2}} \right) \mathcal{L}_{\text{Qaether}}(i) \, l_p^3$$

이 작용에 대해 최소 작용의 원리(\(\delta S = 0\))를 적용하면, Qaether 필드 \(\mathbf{q}_i\)와 각 페르미온 필드 \(\psi_f\)의 운동 방정식(equations of motion)을 얻을 수 있다. 이 방정식들은 이론적으로 우주의 모든 현상을 지배하는 근본 법칙이 된다.

 

B. Qaether 이론의 해밀토니안 밀도

위에 제시된 Qaether 이론의 라그랑지안 밀도를 Legendre 변환을 통해 해밀토니안 밀도 \(\mathcal{H}=\sum p\,\dot q-\mathcal{L}\) 형태로 유도해보자.

 

B1. 공액 운동량 정의

1. 기본장 \(\mathbf{q}_i\)에 대한 공액 운동량
   시간 성분 \(\mu=0\)의 미분을 \(\dot{\mathbf{q}}_i\)로 두고,$$\Pi_i \;\equiv\; \frac{\partial \mathcal{L}_{\rm Kinetic}}{\partial(\nabla_0 \mathbf{q}_i)} = -\frac{\hbar c}{2l_p}\,\nabla_0 \mathbf{q}_i$$로 정의한다.
   여기서
   $$\mathcal{L}_{\rm Kinetic}=-\tfrac{\hbar c}{4l_p}\sum_{\mu=0}^3\operatorname{Tr}[(\nabla_\mu\mathbf{q}_i)^2]$$
2. 게이지 장의 전기장 \(E_{ij}\)에 대응하는 공액 운동량
   U(1) 전기장 \(E_{ij}\equiv(1/i)\ln\Delta w_{ij}\)를 전기장 공액변수로 간주하여,$$\Pi_{E,ij} \;=\; \frac{\partial \mathcal{L}_{U(1)}}{\partial \dot E_{ij}} \;\sim\; E_{ij} \quad(\text{격자 전기장 에너지}=\sum E_{ij}^2)$$(SU(2), SU(3)도 유사하게 정의)
3. 페르미온 \(\psi_f\)에 대한 공액 스피너
   \(\psi_f\)에 대해 $$\Pi_{\psi,f} \;=\; \frac{\partial \mathcal{L}_{\rm Fermion}}{\partial(\partial_0\psi_f)} \;\propto\; \bar\psi_f\,\gamma^0$$(격자 Wilson 페르미온 작용 이용)

 

B2. 해밀토니안 밀도 \(\mathcal{H}_{\rm Qaether}\)

Legendre 변환에 따라

\[\mathcal{H} = \sum_i \Bigl[\operatorname{Tr}(\Pi_i\,\nabla_0\mathbf{q}_i)\Bigr] + \sum_{\langle ij\rangle} \Pi_{E,ij}\,\dot E_{ij} + \sum_f \Pi_{\psi,f}\,\dot\psi_f \;\;-\;\mathcal{L}_{\rm Qaether}\]

를 정리하면, 각 항이 다음과 같은 형태로 모인다:

1. 운동(시간) 에너지 항$$\mathcal{H}_{\rm kin} = +\frac{\hbar c}{4l_p}\,\operatorname{Tr}\bigl[(\nabla_0\mathbf{q}_i)^2\bigr] = +\frac{1}{2}\,\operatorname{Tr}\bigl[\Pi_i^2\bigr]$$
2. 공간 그라디언트 에너지$$+\frac{\hbar c}{4l_p}\sum_{\mu=1}^3\operatorname{Tr}\bigl[(\nabla_\mu\mathbf{q}_i)^2\bigr]$$
3. 중력·질량 위치 에너지$$+V_G(\mathbf{q}_i,m_i) = +\,p_0\,(1-\alpha m_i)\,\sin\!\tfrac{\phi_i}{2}$$
4. 게이지 장 에너지
   • U(1) “전기장”항: $$+\sum_{\langle ij\rangle}E_{ij}^2$$
   • U(1) “자기장”(플라켓)항: $$-\beta_E\sum_{\Box}\cos\Phi_{\Box}$$
   • SU(2), SU(3) 역시 \(E^2+B^2\) 형태의 전기장–자기장 에너지로 분해
5. 페르미온 해밀토니안$$+\sum_f \bar\psi_f\bigl(-i\,\kappa_f\sum_\mu\gamma^\mu D_\mu^{\rm lat}+M_f\bigr)\psi_f$$

따라서 총 해밀토니안 밀도는

$$ \mathcal{H}_{\rm Qaether} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}\!\bigl[\Pi_i^2\bigr] +\frac{\hbar c}{4l_p}\sum_{a=1}^3\operatorname{Tr}\!\bigl[(\nabla_a\mathbf{q}_i)^2\bigr] +V_G(\mathbf{q}_i,m_i) +\sum_{\Box}\Bigl(E^2_{\Box}+B^2_{\Box}\Bigr) +\sum_f\bar\psi_f\bigl(-i\kappa_f\gamma^\mu D_\mu^{\rm lat}+M_f\bigr)\psi_f $$

이며, 이를 격자 전체에 합산하여

$$H=\sum_i \mathcal{H}_{\rm Qaether}(i)\,l_p^3$$

가 시스템의 해밀토니안이 된다.

 

B3. 다른 물리 이론과의 유사성

• 격자 게이지 이론(Hamiltonian lattice QCD): Kogut–Susskind 해밀토니안과 완전히 동일한 구조(\(E^2+B^2\), Wilson 루프 등)를 갖는다.
• 고전 연속장 이론: \(\mathcal{H}= \tfrac12\pi^2 + \tfrac12(\nabla\phi)^2 + V(\phi)\) 꼴의 장 해밀토니안과 아날로그한다.
• 양자화: \(\{\mathbf{q}_i,\Pi_j\}=\delta_{ij}\)와 페르미온 반교환 관계를 도입하면, 완전한 Hamiltonian operator로 승격되어 양자 역학적 스펙트럼 분석이 가능하다.

이로써, 제시된 라그랑지안을 Legendre 변환하여 격자 기반의 Qaether 해밀토니안을 얻었다.