[v2.2] Motif space

Qaether 공간의 정의

1. 기본 관점

Qaether 공간은 Planck 길이 결합망 위에 T-motif와 O-motif가 선택적으로 중첩된 effective motif-decorated geometry이다.

즉 (T/O)-motif는 실제 부피를 갖는 3-cell이 아니라, Qaether center들 사이에 나타나는 국소 결합 모티프이다.

다만 이 모티프들은 regular tetrahedron과 regular octahedron의 기하학에서 effective dihedral angle을 빌려온다. 따라서 기존 tetrahedral–octahedral complex 수학은 Qaether 공간에서 effective geometric calibration 역할을 한다.

핵심을 정리하면 다음과 같다.

"Qaether 공간의 기본 대상은 3-dimensional cell complex가 아니라 motif-decorated Planck metric graph이다."

2. Qaether center와 Planck metric graph

Qaether center들의 집합을 $V$라고 한다.

두 Qaether center 사이의 직접 결합을 edge라고 하고, 다음과 같이 쓴다.

$$
E \subseteq \binom{V}{2}
$$

따라서 $E$의 원소는 unordered pair $e= \{u,v\}$이다.

모든 기본 edge는 같은 최소 길이를 갖는다. 이를 Planck length라 하고, $\ell_P>0$로 둔다.

모든 edge $e\in E$에 대해 $\ell(e)=\ell_P$ 이다.

Qaether의 기본 1차 결합망은 $G_Q=(V,E,\ell_P)$ 이다.

정리하자면 다음과 같다.

$$
\boxed{
G_Q=\text{Planck 길이 edge로 연결된 Qaether center들의 metric graph}
}
$$

여기서 $G_Q$는 simple graph로 둔다. 즉 self-loop와 multiple edge는 허용하지 않는다.

3. Local finiteness axiom

Qaether 공간에서 각 vertex와 edge 주변의 구조가 무한히 복잡해지면

$$
t_e,\quad o_e,\quad K_Q(e)
$$

가 잘 정의되지 않는다.

따라서 다음 local finiteness 조건을 둔다.

먼저 graph 자체에 대해

$$
\boxed{
\deg(v)<\infty \qquad (v\in V)
}
$$

를 요구한다.

또한 각 edge에 incident한 motif의 수가 유한해야 한다.

$$
\boxed{
\#\{\mu\in\mathcal M_T\cup\mathcal M_O:e\in E(\mu)\}<\infty \qquad (e\in E).
}
$$

필요하면 plaquette incidence에 대해서도 다음 조건을 둔다.

$$
\boxed{
\#\{f\in F_\triangle:e\subset f\}<\infty \qquad (e\in E).
}
$$

따라서 Qaether 공간의 local finiteness condition은 다음과 같다.

$$
\boxed{
\text{각 vertex와 edge 주변에 유한한 수의 edge, plaquette, motif만 incident한다.}
}
$$

4. Triangular loop와 triangular plaquette

세 Qaether center

$$
v_1,v_2,v_3\in V
$$

가 서로 모두 Planck edge로 연결되어 있으면,

$$
\{v_1,v_2\},\{v_2,v_3\},\{v_3,v_1\}\in E
$$

이고,

$$
\ell(v_1v_2)=\ell(v_2v_3)=\ell(v_3v_1)=\ell_P
$$

이다.

이때

$$
v_1\to v_2\to v_3\to v_1
$$

은 하나의 closed triangular loop이다.

하지만 중요한 점은 다음이다.

$$
\boxed{
\text{closed triangular loop가 존재한다고 해서 자동으로 plaquette가 되는 것은 아니다.}
}
$$

따라서 Qaether 공간에서는 triangular plaquette로 인정되는 loop들의 집합을 별도로 둔다.

이를 $F_\triangle$ 라고 한다.

$$
[v_1v_2v_3]\in F_\triangle
$$

이면 이 closed triangular loop는 Qaether 공간에서 하나의 triangular plaquette boundary로 선택된 것이다.

여기서

$$
[v_1v_2v_3]
$$

는 unordered triangular boundary, 즉 세 vertex의 집합

$$
\{v_1,v_2,v_3\}
$$

을 의미한다.

따라서

$$
F_\triangle \subseteq \{ [v_1v_2v_3] : v_1v_2v_3v_1 \text{ is a Planck-length triangular closed loop} \}.
$$

그러나 역은 자동으로 성립하지 않는다.

$$
v_1v_2v_3v_1 \text{ is a } 3\text{-cycle} \nRightarrow [v_1v_2v_3]\in F_\triangle.
$$

즉,

$$
\boxed{
F_\triangle \text{는 graph에서 자동 생성되는 것이 아니라 선택된 triangular plaquette boundary set이다.}
}
$$

현재 단계에서 $F_\triangle$는 unoriented plaquette boundary set으로 둔다.

또한 현재 정의에서 $F_\triangle$는 set이므로 같은 boundary를 가진 중복 plaquette는 허용하지 않는다.
만약 나중에 같은 boundary를 가진 서로 다른 plaquette를 허용하려면 $F_\triangle$를 단순 set이 아니라 별도의 2-cell incidence data로 확장해야 한다.

5. Oriented triangular plaquette data

Qaether 공간에서 단순히 motif count와 edge curvature만 정의하려면 unoriented plaquette set $F_\triangle$로 충분하다.

하지만 phase holonomy, plaquette curvature, gauge-like phase closure를 다루려면 orientation data가 필요하다.

따라서 phase-extended Qaether 공간에서는 oriented triangular plaquette set을 추가한다.

이를 $F_\triangle^{\mathrm{or}}$라고 한다.

여기서 중요한 점은 $F_\triangle^{\mathrm{or}}$가 단순한 ordered triple의 집합이 아니라는 것이다.

하나의 triangular plaquette

$$
[v_1v_2v_3]\in F_\triangle
$$

에 대해

$$
(v_1,v_2,v_3), \quad (v_2,v_3,v_1), \quad (v_3,v_1,v_2)
$$

는 같은 orientation을 나타낸다.

따라서 cyclic equivalence relation

$$
(v_1,v_2,v_3) \sim_{\mathrm{cyc}} (v_2,v_3,v_1) \sim_{\mathrm{cyc}} (v_3,v_1,v_2)
$$

를 둔다.

그때 oriented triangular plaquette는 cyclic class

$$
[(v_1,v_2,v_3)]_{\mathrm{cyc}}
$$

이다.

반대 orientation은

$$
[(v_1,v_2,v_3)]_{\mathrm{cyc}}^{-1} = [(v_1,v_3,v_2)]_{\mathrm{cyc}}
$$

로 정의한다.

따라서

$$
\boxed{
F_\triangle^{\mathrm{or}} =
\{
[(v_1,v_2,v_3)]_{\mathrm{cyc}},
[(v_1,v_3,v_2)]_{\mathrm{cyc}}
:
[v_1v_2v_3]\in F_\triangle
\}.
}
$$

즉 각 unoriented plaquette는 정확히 두 개의 orientation을 갖는다.

$$
\boxed{
F_\triangle^{\mathrm{or}} \text{는 phase holonomy를 정의하기 위한 cyclically oriented triangular plaquette set이다.}
}
$$

6. $T$-motif의 엄밀한 정의

6.1 Admissible $K_4$-configuration

네 vertex

$$
v_1,v_2,v_3,v_4\in V
$$

가 서로 모두 Planck edge로 연결되어 있다고 하자.

즉

$$
\{v_i,v_j\}\in E \qquad 1\le i<j\le4
$$

이고,

$$
\ell(v_iv_j)=\ell_P \qquad 1\le i<j\le4
$$

이다.

그러면 이 네 vertex는 graph-theoretic $K_4$ skeleton을 이룬다.

이 $K_4$의 edge set을

$$
E(\tau) = \{ \{v_i,v_j\}:1\le i<j\le4 \}
$$

라고 한다.

또한 네 triangular boundary를

$$
\partial_\triangle\tau = \{ [v_1v_2v_3], [v_1v_2v_4], [v_1v_3v_4], [v_2v_3v_4] \}
$$

라고 한다.

이때 네 boundary 모두가 triangular plaquette로 선택되어 있으면,

$$
\partial_\triangle\tau\subseteq F_\triangle,
$$

이 $K_4$는 $T$-motif가 될 수 있는 admissible configuration이다.

따라서 admissible $T$-configuration들의 집합을

$$
\operatorname{Adm}_T
$$

라고 하면,

$$
\boxed{
\operatorname{Adm}_T =
\{
\tau=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}:
\{v_i,v_j\}\in E,
\ell(v_iv_j)=\ell_P,
\partial_\triangle\tau\subseteq F_\triangle
\}
}
$$

6.2 선택된 $T$-motif set

중요한 점은 다음이다.

$$
\boxed{
\operatorname{Adm}_T\text{의 원소가 자동으로 } T\text{-motif가 되는 것은 아니다.}
}
$$

Qaether 공간에서 실제로 활성화된 $T$-motif들의 집합은 선택된 부분집합이다.

$$
\boxed{
\mathcal M_T\subseteq \operatorname{Adm}_T
}
$$

따라서

$$
\tau\in\mathcal M_T
$$

이면 $\tau$는 $T$-motif이지만,

$$
\tau\in\operatorname{Adm}_T
$$

라고 해서 반드시

$$
\tau\in\mathcal M_T
$$

인 것은 아니다.

이 점이 중요하다. Qaether 공간의 curvature는 skeleton만으로 결정되는 것이 아니라 motif decoration에 의해 결정되기 때문이다.

따라서

$$
\boxed{
T\text{-motif} = \text{선택된 unrooted } K_4\text{-type Planck bonding motif}
}
$$

이다.

6.3 Rooted presentation

표기

$$
[v_1v_2v_3;v_4]
$$

는 $T$-motif 자체가 아니라, 하나의 $T$-motif를 특정 triangular plaquette와 apex vertex로 표현한 rooted presentation이다.

즉

$$
[v_1v_2v_3;v_4]
$$

는

$$
\tau=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}
$$

의 한 표현이다.

같은 unrooted $K_4$-motif는 네 가지 rooted presentation을 갖는다.

$$
[v_1v_2v_3;v_4], \quad [v_1v_2v_4;v_3], \quad [v_1v_3v_4;v_2], \quad [v_2v_3v_4;v_1].
$$

따라서 edge curvature에서 $t_e$를 계산할 때는 rooted presentation을 세면 안 된다.

반드시 unrooted $T$-motif를 센다.

$$
\boxed{
t_e = \#\{\tau\in\mathcal M_T:e\in E(\tau)\}
}
$$

7. $O$-motif의 엄밀한 정의

7.1 $O$-motif는 six vertices + opposite-pairing이다

$O$-motif는 단순히 여섯 vertex의 집합이 아니다.

정확히는 여섯 vertex와 세 개의 opposite-pairing을 가진 unrooted octahedral motif이다.

즉 하나의 $O$-motif presentation은

$$
\omega=(X_\omega,\mathcal P_\omega)
$$

로 쓴다.

여기서

$$
X_\omega = \{ x_1^+,x_1^-, x_2^+,x_2^-, x_3^+,x_3^- \}
$$

이고,

$$
\mathcal P_\omega = \{ \{x_1^+,x_1^-\}, \{x_2^+,x_2^-\}, \{x_3^+,x_3^-\} \}
$$

는 opposite-pairing이다.

같은 opposite pair에 속한 두 vertex는 edge로 연결되지 않는다.

$$
\{x_i^+,x_i^-\}\notin E \qquad i=1,2,3.
$$

서로 다른 opposite pair에 속한 vertex들은 모두 Planck edge로 연결된다.

$$
\{x_i^\epsilon,x_j^\eta\}\in E \qquad i\neq j, \quad \epsilon,\eta\in \{+,-\}.
$$

그리고 모든 그런 edge는 Planck length를 갖는다.

$$
\ell(x_i^\epsilon x_j^\eta)=\ell_P \qquad i\neq j.
$$

따라서 $O$-motif의 edge set은

$$
E(\omega) = \{ \{x_i^\epsilon,x_j^\eta\}: i\neq j,\ \epsilon,\eta\in \{+,-\} \}.
$$

즉 $O$-motif의 graph skeleton은 complete tripartite graph

$$
K_{2,2,2}
$$

이다.

이는 정팔면체의 edge graph와 같다.

따라서

$$
\boxed{
O\text{-motif} = \text{opposite-pairing을 가진 unrooted octahedral Planck-edge bonding motif}
}
$$

이다.

7.2 $O$-motif의 unrooted nature

표기

$$
x_1^\pm,x_2^\pm,x_3^\pm
$$

는 하나의 presentation일 뿐이다.

축의 이름을 바꾸거나,

$$
1,2,3
$$

을 permutation하거나, 각 축의 $+$와 $-$를 교환해도 같은 octahedral motif를 나타낼 수 있다.

따라서 $\mathcal M_O$의 원소는 labeled presentation이 아니라 unrooted octahedral motif이다.

즉 $o_e$를 계산할 때 labeling을 세면 안 된다.

$$
\boxed{
o_e = \#\{\omega\in\mathcal M_O:e\in E(\omega)\}.
}
$$

여기서 $\omega$는 하나의 unrooted octahedral motif이다.

7.3 Octahedral triangular boundary

정팔면체의 실제 2-face는 모두 삼각형이다.

따라서 octahedral skeleton은 8개의 triangular boundary를 갖는다.

현재 presentation에서 이 8개의 triangular boundary는

$$
[x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}x_3^{\epsilon_3}] \qquad (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\in\{+,-\})
$$

이다.

이를

$$
\partial_\triangle\omega
$$

라고 쓴다.

즉

$$
\partial_\triangle\omega = \{ [x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}x_3^{\epsilon_3}] : \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\in\{+,-\} \}.
$$

Qaether 공간에서 $O$-motif를 triangular plaquette geometry와 호환시키기 위해 다음 조건을 요구한다.

$$
\boxed{
\partial_\triangle\omega\subseteq F_\triangle.
}
$$

즉 $O$-motif의 8개 triangular boundary는 모두 선택된 triangular plaquette boundary이어야 한다.

그러나 여전히

$$
\boxed{
O\text{-motif}\neq \text{actual octahedral } 3\text{-cell}
}
$$

이다.

이는 실제 부피를 갖는 3-cell이 아니라, octahedral bonding skeleton과 그 triangular boundary structure를 가진 effective motif이다.

7.4 Admissible $O$-configuration과 선택된 $O$-motif set

admissible $O$-configuration들의 집합을

$$
\operatorname{Adm}_O
$$

라고 하자.

$\operatorname{Adm}_O$는 다음 조건을 만족하는 unrooted octahedral configuration들의 집합이다.

$$
\omega=(X_\omega,\mathcal P_\omega),
$$

$$
X_\omega = \{ x_1^+,x_1^-, x_2^+,x_2^-, x_3^+,x_3^- \},
$$

$$
\mathcal P_\omega = \{ \{x_1^+,x_1^-\}, \{x_2^+,x_2^-\}, \{x_3^+,x_3^-\} \},
$$

$$
\{x_i^+,x_i^-\}\notin E \qquad i=1,2,3,
$$

$$
\{x_i^\epsilon,x_j^\eta\}\in E \qquad i\neq j,
$$

$$
\ell(x_i^\epsilon x_j^\eta)=\ell_P,
$$

$$
\partial_\triangle\omega\subseteq F_\triangle.
$$

하지만 $T$-motif와 마찬가지로, admissible octahedral configuration이 자동으로 $O$-motif가 되는 것은 아니다.

Qaether 공간에서 실제로 활성화된 $O$-motif들의 집합은 선택된 부분집합이다.

$$
\boxed{
\mathcal M_O\subseteq \operatorname{Adm}_O.
}
$$

따라서

$$
\omega\in\mathcal M_O
$$

이면 $\omega$는 $O$-motif이지만,

$$
\omega\in\operatorname{Adm}_O
$$

라고 해서 반드시

$$
\omega\in\mathcal M_O
$$

인 것은 아니다.

8. Square-type phase channel

정팔면체의 실제 2-face는 모두 삼각형이다.

따라서 $O$-motif가 실제 square face를 가진다고 말하면 안 된다.

하지만 octahedral skeleton 안에는 세 개의 canonical 4-cycle이 존재한다.

각 $O$-motif

$$
\omega=(X_\omega,\mathcal P_\omega)
$$

에서 세 opposite pair를

$$
P_1=\{x_1^+,x_1^-\}, \quad P_2=\{x_2^+,x_2^-\}, \quad P_3=\{x_3^+,x_3^-\}
$$

라고 하자.

서로 다른 두 opposite pair $P_i,P_j$를 고르면, $P_i\cup P_j$ 위의 induced subgraph는

$$
K_{2,2}
$$

이며, 이는 하나의 unoriented square-type 4-cycle을 이룬다.

예를 들어 presentation을 택하면 세 canonical 4-cycle은 다음처럼 쓸 수 있다.

$$
(x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-),
$$

$$
(x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-),
$$

$$
(x_3^+,x_1^+,x_3^-,x_1^-).
$$

이들은 ambient graph $G_Q$ 전체에서의 square face가 아니라,

$$
\boxed{
\omega\text{의 octahedral skeleton 안에서 정의되는 canonical induced } 4\text{-cycles}
}
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{
O\text{-motif는 square face를 갖는 것이 아니라 square-type phase channel을 유도한다.}
}
$$

각 $O$-motif $\omega$에 대해

$$
\mathcal C_\square(\omega) = \{ \text{three canonical induced } 4\text{-cycles in the octahedral skeleton of } \omega \}
$$

라고 한다.

전체 square-type phase channel set은 기본 선택 자료가 아니라 $O$-motif들로부터 유도된다.

$$
\boxed{
\mathcal C_\square = \bigcup_{\omega\in\mathcal M_O} \mathcal C_\square(\omega).
}
$$

즉,

$$
\boxed{
\mathcal C_\square \text{는 기본 선택 자료가 아니라 } \mathcal M_O\text{에서 유도되는 phase-channel set이다.}
}
$$

주의할 점은 위 정의에서 $\mathcal C_\square$는 set이라는 것이다.
따라서 서로 다른 $O$-motif가 같은 4-cycle을 유도하면 하나로 합쳐진다.

만약 각 $O$-motif의 channel contribution을 따로 세고 싶다면 indexed channel set

$$
\widetilde{\mathcal C}_\square = \{(\omega,c):\omega\in\mathcal M_O,\ c\in\mathcal C_\square(\omega)\}
$$

을 사용할 수 있다.

9. Oriented square-type phase channel

Phase holonomy를 정의하려면 square-type phase channel에도 orientation이 필요하다.

각 unoriented square-type channel

$$
c=(a,b,c,d)
$$

에 대해 단순한 ordered quadruple을 orientation으로 두면 안 된다.
왜냐하면

$$
(a,b,c,d), \quad (b,c,d,a), \quad (c,d,a,b), \quad (d,a,b,c)
$$

는 같은 orientation을 나타내기 때문이다.

따라서 cyclic equivalence relation

$$
(a,b,c,d) \sim_{\mathrm{cyc}} (b,c,d,a) \sim_{\mathrm{cyc}} (c,d,a,b) \sim_{\mathrm{cyc}} (d,a,b,c)
$$

를 둔다.

그때 oriented square-type channel은 cyclic class

$$
[(a,b,c,d)]_{\mathrm{cyc}}
$$

이다.

반대 orientation은

$$
[(a,b,c,d)]_{\mathrm{cyc}}^{-1} = [(a,d,c,b)]_{\mathrm{cyc}}
$$

로 정의한다.

따라서

$$
\boxed{
\mathcal C_\square^{\mathrm{or}} = \text{cyclic orientations of square-type channels in } \mathcal C_\square.
}
$$

즉 각 unoriented square-type channel은 정확히 두 개의 orientation을 갖는다.

$$
\boxed{
\mathcal C_\square^{\mathrm{or}} \text{는 phase holonomy를 정의하기 위한 oriented square-type phase channel set이다.}
}
$$

10. Edge 주변 cyclic order

각 edge

$$
e\in E
$$

에 대해, $e$를 포함하는 motif들의 집합을

$$
I_e = \{\mu\in\mathcal M_T\cup\mathcal M_O:e\in E(\mu)\}
$$

라고 하자.

local finiteness에 의해 $I_e$는 유한 집합이다.

Qaether 공간은 실제 3-dimensional cell complex가 아니므로 edge 주변의 cyclic order는 graph나 embedding에서 자동으로 유도되지 않는다.

따라서 edge 주변 cyclic order는 별도의 구조로 주어진다.

$$
\operatorname{cyc}_e = \text{a cyclic order on the finite set } I_e.
$$

다만 $(\#I_e<3)$인 경우 cyclic order는 퇴화적이므로 order defect 판단에는 사용하지 않는다.

즉

$$
\boxed{
\operatorname{cyc} = \{\operatorname{cyc}_e:e\in E\}
}
$$

는 edge 주변 motif cyclic order data이다.

중요한 점은 다음이다.

$$
\boxed{
\operatorname{cyc} \text{는 abstract combinatorial cyclic order이며, 실제 } 3\text{차원 embedding에서 자동 유도되는 자료가 아니다.}
}
$$

따라서 나중에 실제 3차원 실현 가능성을 요구하려면 별도의 global compatibility 또는 holonomy-free 조건이 필요하다.

11. Qaether 공간의 기본 자료

이제 geometric Qaether 공간은 다음 자료들의 묶음으로 정의된다.

$$
\boxed{
\mathcal S_Q =
\left(
V,
E,
\ell_P,
F_\triangle,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O,
\operatorname{cyc}
\right).
}
$$

여기서

$$
V = \text{Qaether center들의 집합},
$$

$$
E = \text{Planck length edge들의 집합},
$$

$$
\ell_P = \text{Planck 결합 길이},
$$

$$
F_\triangle = \text{선택된 triangular plaquette boundary들의 집합},
$$

$$
\mathcal M_T = \text{선택된 unrooted } T\text{-motif들의 집합},
$$

$$
\mathcal M_O = \text{선택된 unrooted octahedral } O\text{-motif들의 집합},
$$

$$
\operatorname{cyc} = \text{edge 주변 motif cyclic order 자료}
$$

이다.

그리고 다음 자료들은 위 기본 자료에서 유도된다.

$$
\mathcal C_\square, \qquad t_e,o_e, \qquad K_Q, \qquad \delta_{\mathrm{geom}}, \qquad \delta_{\mathrm{ord}}.
$$

따라서 extended notation으로는

$$
\mathcal S_Q^{\mathrm{ext}} =
\left(
V,
E,
\ell_P,
F_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O,
\operatorname{cyc},
K_Q,
\delta_{\mathrm{geom}},
\delta_{\mathrm{ord}}
\right)
$$

라고 쓸 수 있다.

하지만 엄밀하게는

$$
\boxed{
\mathcal C_\square,\quad K_Q,\quad \delta_{\mathrm{geom}},\quad \delta_{\mathrm{ord}} \text{는 기본 선택 자료가 아니라 유도 자료이다.}
}
$$

12. Phase-extended Qaether 공간

Phase holonomy까지 포함하는 경우에는 oriented 자료를 추가한다.

$$
\boxed{
\mathcal S_Q^{\mathrm{ph}} =
\left(
V,
E,
\ell_P,
F_\triangle,
F_\triangle^{\mathrm{or}},
\mathcal M_T,
\mathcal M_O,
\mathcal C_\square,
\mathcal C_\square^{\mathrm{or}},
\operatorname{cyc}
\right).
}
$$

여기서

$$
F_\triangle^{\mathrm{or}}
$$

는 cyclically oriented triangular plaquette set이고,

$$
\mathcal C_\square^{\mathrm{or}}
$$

는 cyclically oriented square-type phase channel set이다.

또한 oriented edge set을

$$
E^{\mathrm{or}} = {(u,v):{u,v}\in E}
$$

라고 둔다.

반대 orientation은

$$
\overline{(u,v)}=(v,u)
$$

이다.

Phase variable을 additive notation으로 쓰면

$$
A:E^{\mathrm{or}}\to \mathbb R/2\pi\mathbb Z
$$

이고, 다음 compatibility condition을 요구한다.

$$
\boxed{
A(v,u)=-A(u,v) \quad \mod 2\pi.
}
$$

multiplicative notation으로 쓰면

$$
\phi:E^{\mathrm{or}}\to U(1)
$$

이고,

$$
\boxed{
\phi(v,u)=\phi(u,v)^{-1}.
}
$$

oriented loop

$$
\gamma=(v_0,v_1,\dots,v_k=v_0)
$$

에 대해 phase holonomy를

$$
\operatorname{Hol}_A(\gamma) = \sum_{i=0}^{k-1} A(v_i,v_{i+1}) \quad \mod 2\pi
$$

로 정의한다.

따라서 phase closure condition은

$$
\operatorname{Hol}_A(\gamma)=0 \quad \mod 2\pi
$$

또는 물리적 convention에 따라

$$
\operatorname{Hol}_A(\gamma)=2\pi n
$$

으로 쓸 수 있다.

즉,

$$
\boxed{
\text{geometric Qaether 공간은 motif curvature를 정의하고, phase-extended Qaether 공간은 plaquette holonomy까지 정의한다.}
}
$$

13. Edge 주변의 (T/O) count

어떤 edge

$$
e\in E
$$

를 잡자.

이 edge를 포함하는 unrooted $T$-motif의 수를

$$
t_e
$$

라고 한다.

정확히는

$$
\boxed{
t_e = \#\{\tau\in\mathcal M_T:e\in E(\tau)\}.
}
$$

또한 이 edge를 포함하는 unrooted $O$-motif의 수를

$$
o_e
$$

라고 한다.

정확히는

$$
\boxed{
o_e = \#\{\omega\in\mathcal M_O:e\in E(\omega)\}.
}
$$

local finiteness condition에 의해

$$
t_e<\infty, \qquad o_e<\infty.
$$

따라서

$$
(t_e,o_e)
$$

는 edge $e$ 주변의 (T/O) motif balance를 나타낸다.

14. Effective angle calibration

Qaether의 (T/O)-motif는 실제 다면체 cell이 아니다.

하지만 각각 regular tetrahedron과 regular octahedron의 dihedral angle을 effective angle로 갖는다고 calibration한다.

$T$-motif의 effective angle을

$$
\boxed{
\theta_T = \arccos\left(\frac13\right)
}
$$

로 둔다.

$O$-motif의 effective angle을

$$
\boxed{
\theta_O = \arccos\left(-\frac13\right)
}
$$

로 둔다.

그러면

$$
\theta_O=\pi-\theta_T
$$

이므로,

$$
\theta_T+\theta_O=\pi.
$$

따라서

$$
2\theta_T+2\theta_O=2\pi.
$$

이 관계가 Qaether 공간에서

$$
2T+2O
$$

balance가 특별한 이유이다.

단, 여기서 $\theta_T, \theta_O$는 실제 graph embedding에서 자동 유도되는 값이 아니다.

$$
\boxed{
\theta_T,\theta_O \text{는 Qaether motif geometry에 부여된 effective calibration angle이다.}
}
$$

15. Qaether edge curvature

edge $e$ 주변의 Qaether effective curvature를 $K_Q(e)$ 라고 정의한다.

$$
\boxed{
K_Q(e) = 2\pi- \left( t_e\theta_T + o_e\theta_O \right).
}
$$

해석은 다음과 같다.

$K_Q(e)>0$ 이면 edge 주변에 effective angle deficit가 있다.

$K_Q(e)=0$ 이면 edge 주변 effective angle sum이 정확히 $2\pi$이고 edge-geometric defect가 없다.

$K_Q(e)<0$ 이면 angle excess 또는 bonding stress가 있다.

즉,

$$
\boxed{
K_Q(e) = \text{edge 주변의 effective angular defect}
}
$$

이다.

여기서 curvature는 리만 곡률 텐서가 아니라 edge-local effective angular defect이다.

16. Geometric defect indicator

geometric defect indicator를 $\delta_{\mathrm{geom}}$ 라고 한다.

이는 $\delta_{\mathrm{geom}}:E\to \{0,1\}$인 함수로 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e) =
\begin{cases}
0,&K_Q(e)=0, \\
1,&K_Q(e)\neq0.
\end{cases}
}
$$

따라서

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e)=0 \iff K_Q(e)=0.
}
$$

즉,

$$
\delta_{\mathrm{geom}}(e)=0 \iff t_e\theta_T+o_e\theta_O=2\pi.
$$

regular (T/O) calibration 아래에서는 이 조건이 다음과 동치이다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e)=0 \iff (t_e,o_e)=(2,2).
}
$$

따라서

$$
\boxed{
2T+2O = \text{edge-geometrically defect-free balance}
}
$$

이다.

17. (2T+2O) 조건의 유일성

Proposition

regular calibration

$$
\theta_T=\arccos\left(\frac13\right), \qquad \theta_O=\arccos\left(-\frac13\right)
$$

아래에서

$K_Q(e)=0$이면, 반드시 $(t_e,o_e)=(2,2)$이다.

반대로 $(t_e,o_e)=(2,2)$이면, $K_Q(e)=0$이다.

Proof

먼저

$$
\theta_O=\pi-\theta_T
$$

이다.

$K_Q(e)=0$ 이면

$$
t_e\theta_T+o_e\theta_O=2\pi.
$$

따라서

$$
t_e\theta_T+o_e(\pi-\theta_T)=2\pi.
$$

정리하면

$$
(t_e-o_e)\theta_T+(o_e-2)\pi=0.
$$

양변을 $\pi$로 나누면

$$
(t_e-o_e)\frac{\theta_T}{\pi}+o_e-2=0.
$$

그런데

$$
\frac{\theta_T}{\pi}
$$

는 유리수가 아니다.

만약

$$
\frac{\theta_T}{\pi}\in\mathbb Q
$$

라면 $\theta_T$는 rational multiple of $\pi$이다.
그 경우 Niven-type obstruction에 의해 rational angle에서 rational cosine이 될 수 있는 값은

$$
0,\quad \pm\frac12,\quad \pm1
$$

뿐이다.

그런데

$$
\cos\theta_T=\frac13
$$

이므로 모순이다.

따라서

$$
\frac{\theta_T}{\pi}\notin\mathbb Q.
$$

그러므로

$$
(t_e-o_e)\frac{\theta_T}{\pi}+o_e-2=0
$$

이 성립하려면

$$
t_e-o_e=0
$$

이고,

$$
o_e-2=0
$$

이어야 한다.

즉

$$
t_e=o_e=2.
$$

반대로

$$
(t_e,o_e)=(2,2)
$$

이면

$$
t_e\theta_T+o_e\theta_O = 2\theta_T+2\theta_O = 2(\theta_T+\theta_O) = 2\pi.
$$

따라서

$$
K_Q(e)=0.
$$

결국

$$
\boxed{
K_Q(e)=0 \iff (t_e,o_e)=(2,2).
}
$$

18. Order defect indicator

order defect는 모든 edge에서 정의하지 않는다.

그 정의역은 geometric defect-free edge들의 집합이다.

$$
E_{\mathrm{geom}=0} = \{e\in E:\delta_{\mathrm{geom}}(e)=0\}.
$$

regular calibration 아래에서는

$$
E_{\mathrm{geom}=0} = \{e\in E:(t_e,o_e)=(2,2)\}.
$$

따라서

$$
\boxed{
\operatorname{Dom}(\delta_{\mathrm{ord}}) = E_{\mathrm{geom}=0}.
}
$$

즉,

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e) \text{는 } 2T+2O\text{ edge에서만 의미 있게 정의된다.}
}
$$

이제 $e\in E_{\mathrm{geom}=0}$ 이면

$$
t_e=2, \qquad o_e=2.
$$

따라서 $e$ 주변에는 두 개의 $T$-motif와 두 개의 $O$-motif가 있다.

이 네 motif의 cyclic type은 cyclic rotation과 reversal을 같은 것으로 보면 정확히 두 가지이다.

$$
T-O-T-O
$$

또는

$$
T-T-O-O.
$$

이를 각각

$$
TOTO
$$

와

$$
TTOO
$$

라고 부른다.

그 위에서

$$
\delta_{\mathrm{ord}}: E_{\mathrm{geom}=0} \to {0,1}
$$

를 다음과 같이 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e)=0 \iff \operatorname{cyc}_e\sim TOTO.
}
$$

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e)=1 \iff \operatorname{cyc}_e\sim TTOO.
}
$$

여기서 $\sim$은 cyclic rotation과 reversal을 같은 것으로 본다는 뜻이다.

따라서

$$
\boxed{
TOTO = \text{edge-geometrically defect-free + order defect-free}
}
$$

이고,

$$
\boxed{
TTOO = \text{edge-geometrically defect-free but order-defective}
}
$$

이다.

19. Qaether sector의 엄밀한 정의

기존처럼

$$
U\subseteq \mathcal S_Q
$$

라고 쓰면 안 된다.

왜냐하면

$$
\mathcal S_Q
$$

는 집합이 아니라 구조의 tuple이기 때문이다.

따라서 sector는 $G_Q$의 subgraph로 정의한다.

$$
\boxed{
U=(V_U,E_U) \text{ is a subgraph of } G_Q.
}
$$

즉

$$
V_U\subseteq V, \qquad E_U\subseteq E.
$$

또한 sector 내부의 edge를 구분하기 위해

$$
E_U^{\mathrm{int}}\subseteq E_U
$$

를 둔다.

예를 들어 $E_U^{\mathrm{int}}$는 양 끝점이 모두 $V_U$에 있고 boundary에 걸치지 않는 edge들의 집합으로 잡을 수 있다.

sector 분류는 항상

$$
e\in E_U^{\mathrm{int}}
$$

에 대해 정의한다.

기본 convention은 다음과 같다.

$$
\boxed{
\text{sector 안에서 쓰는 } t_e,o_e\text{는 기본적으로 ambient Qaether 공간 } \mathcal S_Q\text{에서 계산한 count이다.}
}
$$

즉

$$
t_e = \#\{\tau\in\mathcal M_T:e\in E(\tau)\},
$$

$$
o_e = \#\{\omega\in\mathcal M_O:e\in E(\omega)\}.
$$

만약 sector 내부에 완전히 포함된 motif만 세고 싶다면 intrinsic count를 따로 정의한다.

$$
t_e^U = \#\{\tau\in\mathcal M_T: e\in E(\tau),\ V(\tau)\subseteq V_U\},
$$

$$
o_e^U = \#\{\omega\in\mathcal M_O: e\in E(\omega),\ X_\omega\subseteq V_U\}.
$$

그 경우 intrinsic sector curvature는

$$
K_Q^U(e) = 2\pi-(t_e^U\theta_T+o_e^U\theta_O)
$$

로 정의할 수 있다.

하지만 이하의 sector 분류에서는 특별히 명시하지 않는 한 ambient count $(t_e,o_e)$를 사용한다.

20. $T$-only sector

subgraph

$$
U=(V_U,E_U)
$$

가 주어졌다고 하자.

모든 내부 edge

$$
e\in E_U^{\mathrm{int}}
$$

에 대해

$$
o_e=0
$$

이면 $U$를 weak $T$-only sector라고 한다.

하지만 “실제로 $T$-motif만 존재하는 sector”라는 의미를 분명히 하기 위해, 기본적으로는 다음 stronger definition을 사용한다.

$$
\boxed{
U\text{ is } T\text{-only} \iff o_e=0 \text{ and } t_e>0 \quad \text{for all } e\in E_U^{\mathrm{int}}.
}
$$

이때

$$
K_Q(e) = 2\pi-t_e\theta_T.
$$

그런데

$$
\theta_T=\arccos\left(\frac13\right)
$$

는 $2\pi$를 정수분할하지 않는다.

즉 어떤 정수 $t_e$에 대해서도

$$
t_e\theta_T=2\pi
$$

가 되지 않는다.

따라서 regular calibration 아래에서는

$$
\boxed{
o_e=0 \Rightarrow K_Q(e)\neq0.
}
$$

즉 $T$-only sector는 항상 edge-geometric defect를 갖는다.

따라서

$$
\boxed{
T\text{-only sector} = \text{edge-geometrically curved bare sector}
}
$$

이다.

여기서 curved는 리만기하학적 전역 곡률이 아니라,

$$
\boxed{
K_Q(e)\text{로 측정되는 edge-local angular defect}
}
$$

를 의미한다.

21. $O$-motif의 역할

$O$-motif는 $T$-only sector의 curvature를 자동으로 없애는 것이 아니다.

보다 정확하게 말하면, $O$-motif는 $T$-motif에 대해 complementary effective angle을 제공한다.

핵심 관계는

$$
\theta_T+\theta_O=\pi
$$

이다.

따라서 edge 주변에 정확히

$$
2T+2O
$$

가 놓이면,

$$
2\theta_T+2\theta_O=2\pi
$$

이므로

$$
K_Q(e)=0.
$$

따라서

$$
\boxed{
O\text{-motif} = T\text{-curvature를 } 2T+2O\text{ balance 안에서 cancel할 수 있는 octahedral bonding motif}
}
$$

이다.

그러나 $O$-motif가 존재한다고 해서 자동으로 defect-free가 되는 것은 아니다.

필요한 것은 정확한 balance이다.

$$
\boxed{
(t_e,o_e)=(2,2).
}
$$

즉,

$$
O\text{-부족} \Rightarrow T\text{-curvature remains},
$$

$$
O\text{-적정} \Rightarrow \text{edge curvature cancellation},
$$

$$
O\text{-과잉} \Rightarrow \text{angle excess or bonding stress}.
$$

22. Qaether sector 분류

모든 sector는

$$
U=(V_U,E_U)\subseteq G_Q
$$

인 subgraph로 둔다.

각 조건은 내부 edge

$$
e\in E_U^{\mathrm{int}}
$$

에 대해 적용한다.

22.1 $T$-only curved bare sector

$$
\boxed{
U\text{ is } T\text{-only} \iff o_e=0 \text{ and } t_e>0 \quad (e\in E_U^{\mathrm{int}}).
}
$$

이 경우 regular calibration 아래에서

$$
K_Q(e)\neq0
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{
T\text{-only} = \text{edge-geometrically curved bare sector}
}
$$

이다.

22.2 (T/O)-balanced relaxed sector

모든 내부 edge에서

$$
(t_e,o_e)=(2,2)
$$

이면,

$$
K_Q(e)=0.
$$

따라서

$$
\boxed{
2T+2O = \text{edge-geometrically defect-free relaxed sector}
}
$$

이다.

또는

$$
\boxed{
2T+2O = \text{locally angle-balanced sector}
}
$$

라고 부를 수 있다.

22.3 $TOTO$ perfect sector

모든 내부 edge에서

$$
(t_e,o_e)=(2,2)
$$

이고,

$$
\operatorname{cyc}_e\sim TOTO
$$

이면

$$
K_Q(e)=0
$$

이고,

$$
\delta_{\mathrm{ord}}(e)=0.
$$

따라서

$$
\boxed{
TOTO = \text{edge-geometrically defect-free and order defect-free sector}
}
$$

이다.

이 sector는 order-energy functional을 추가로 도입할 경우 Qaether의 가장 안정적인 relaxed vacuum 후보로 해석될 수 있다.

예를 들어 나중에

$$
E_{\mathrm{ord}} = \lambda\sum_{e\in E_U^{\mathrm{int}}}\delta_{\mathrm{ord}}(e), \qquad \lambda>0
$$

같은 항을 도입하면, $TOTO$ sector는 order defect energy를 최소화하는 후보가 된다.

그러나 현재 단계에서

$$
\boxed{
TOTO\text{가 가장 안정적이라는 말은 정의가 아니라 추가적인 물리적 postulate이다.}
}
$$

22.4 $TTOO$ order-defective sector

모든 내부 edge에서

$$
(t_e,o_e)=(2,2)
$$

이지만 어떤 내부 edge에서

$$
\operatorname{cyc}_e\sim TTOO
$$

이면,

$$
K_Q(e)=0
$$

이다.

따라서 edge-geometric defect는 없지만 order defect가 있다.

$$
\boxed{
TTOO = \text{edge-geometrically defect-free but order-defective sector}
}
$$

또는

$$
\boxed{
TTOO = \text{locally angle-balanced but order-defective sector}
}
$$

이다.

여기서는 “geometrically flat”이라는 표현을 쓰지 않는다.

왜냐하면 $K_Q(e)=0$은 edge-local angular defect가 없다는 뜻이지, 전역적인 flat embedding이나 global holonomy triviality를 의미하지 않기 때문이다.

22.5 (T/O)-imbalance defect sector

어떤 내부 edge에서

$$
(t_e,o_e)\neq(2,2)
$$

이면 regular calibration 아래에서

$$
K_Q(e)\neq0.
$$

따라서 해당 영역은 geometric defect sector이다.

더 정확히는

$$
\boxed{
T/O\text{-imbalance} = \text{edge-geometrically defective sector}
}
$$

이다.

해석적으로는

$$
\boxed{
T/O\text{-imbalance} = \text{curvature or bonding stress sector}
}
$$

라고 할 수 있다.

23. FCC skeleton과의 관계

FCC 결합망은 Qaether 공간의 가능한 background skeleton 후보로 사용할 수 있다.

즉

$$
(V,E)
$$

를 FCC nearest-neighbor graph로 잡을 수 있다.

그 경우 $T$-motif는 FCC 결합망 안의 admissible $K_4$-type subconfiguration 중 선택된 것들이고, $O$-motif는 FCC 결합망 안의 admissible octahedral subconfiguration 중 선택된 것들이다.

하지만 중요한 점은 다음이다.

$$
\boxed{
FCC\text{ skeleton 자체가 curvature를 결정하는 것은 아니다.}
}
$$

곡률은 skeleton이 아니라 motif decoration에 의해 결정된다.

즉

$$
\mathcal M_T,\mathcal M_O,\operatorname{cyc}
$$

가 curvature와 order를 결정한다.

따라서 같은 FCC skeleton 위에서도 서로 다른 decoration을 고려할 수 있다.

$$
T\text{-only decoration} \Rightarrow \text{edge-geometrically curved bare sector},
$$

$$
2T+2O\text{ decoration} \Rightarrow \text{edge-geometrically defect-free relaxed sector},
$$

$$
TOTO\text{ decoration} \Rightarrow \text{edge-geometrically defect-free and order-perfect relaxed sector}.
$$

다만 엄밀하게는 다음을 분리해야 한다.

$$
\boxed{
FCC\text{ skeleton은 가능한 background 후보이다.}
}
$$

그러나

$$
\boxed{
FCC\text{ skeleton 위에 전역적인 } 2T+2O\text{ 또는 } TOTO\text{ decoration이 존재한다는 것은 별도의 존재정리로 증명해야 한다.}
}
$$

즉 특정 전역 decoration의 존재성은 정의가 아니라 추가적인 조합론적 또는 기하학적 구성 문제이다.

24. 최종 압축 정의

Qaether 공간은 다음 기본 자료로 이루어진다.

$$
\boxed{
\mathcal S_Q =
\left(
V,
E,
\ell_P,
F_\triangle,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O,
\operatorname{cyc}
\right).
}
$$

여기서

$$
G_Q=(V,E,\ell_P)
$$

는 locally finite Planck metric graph이고,

$$
F_\triangle \subseteq \{ [v_1v_2v_3] : v_1v_2v_3v_1 \text{ is a Planck triangular closed loop} \}
$$

는 선택된 triangular plaquette boundary set이다.

$T$-motif set은

$$
\boxed{
\mathcal M_T\subseteq \operatorname{Adm}_T
}
$$

이고,

$$
\operatorname{Adm}_T =
\{
\tau={v_1,v_2,v_3,v_4}:
{v_i,v_j}\in E,
\ell(v_iv_j)=\ell_P,
\partial_\triangle\tau\subseteq F_\triangle
\}.
$$

$O$-motif set은

$$
\boxed{
\mathcal M_O\subseteq \operatorname{Adm}_O
}
$$

이고, $\operatorname{Adm}_O$는 opposite-pairing을 가진 unrooted octahedral configuration들의 집합이다.

즉

$$
\omega=(X_\omega,\mathcal P_\omega),
$$

$$
\mathcal P_\omega = \{ {x_1^+,x_1^-}, {x_2^+,x_2^-}, {x_3^+,x_3^-} \},
$$

$$
{x_i^+,x_i^-}\notin E,
$$

$$
{x_i^\epsilon,x_j^\eta}\in E \qquad (i\neq j),
$$

$$
\ell(x_i^\epsilon x_j^\eta)=\ell_P,
$$

$$
\partial_\triangle\omega\subseteq F_\triangle.
$$

각 $O$-motif는 square face를 갖지 않지만 square-type phase channel을 유도한다.

$$
\boxed{
\mathcal C_\square = \bigcup_{\omega\in\mathcal M_O} \mathcal C_\square(\omega).
}
$$

여기서

$$
\mathcal C_\square(\omega)
$$

는 $\omega$의 octahedral skeleton 안에서 정의되는 세 개의 canonical induced 4-cycles이다.

각 edge $e\in E$에 대해

$$
\boxed{
t_e = \#\{\tau\in\mathcal M_T:e\in E(\tau)\},
}
$$

$$
\boxed{
o_e = \#\{\omega\in\mathcal M_O:e\in E(\omega)\}.
}
$$

effective angle calibration은

$$
\theta_T=\arccos\left(\frac13\right),
$$

$$
\theta_O=\arccos\left(-\frac13\right)
$$

이다.

Qaether edge curvature는

$$
\boxed{
K_Q(e) = 2\pi- \left( t_e\theta_T + o_e\theta_O \right).
}
$$

geometric defect indicator는

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e) =
\begin{cases}
0,&K_Q(e)=0,\\
1,&K_Q(e)\neq0.
\end{cases}
}
$$

regular (T/O) calibration 아래에서

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e)=0 \iff (t_e,o_e)=(2,2).
}
$$

그리고 geometric defect-free edge에서만 order defect를 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}: {e\in E:(t_e,o_e)=(2,2)} \to {0,1}.
}
$$

그 위에서

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e)=0 \iff \operatorname{cyc}_e\sim TOTO,
}
$$

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e)=1 \iff \operatorname{cyc}_e\sim TTOO.
}
$$

Phase holonomy를 다룰 경우에는 추가로

$$
F_\triangle^{\mathrm{or}}, \qquad \mathcal C_\square^{\mathrm{or}}
$$

를 포함한

$$
\mathcal S_Q^{\mathrm{ph}}
$$

를 사용한다.

25. 최종 문장형 정의

Qaether 공간은 Planck 길이 edge로 연결된 Qaether center들의 locally finite metric graph 위에 triangular plaquette, 선택된 $T$-motif, 선택된 $O$-motif, 그리고 edge 주변 cyclic order 자료가 중첩되어 형성되는 effective motif-decorated geometry이다. $T$-motif는 admissible $K_4$-type Planck bonding configuration 중 선택된 unrooted motif이며, 실제 tetrahedral $3$-cell이 아니다. $O$-motif는 opposite-pairing을 가진 admissible octahedral Planck-edge bonding configuration 중 선택된 unrooted motif이며, 실제 octahedral $3$-cell이 아니다. $O$-motif는 square face를 갖지 않지만 octahedral skeleton 내부의 canonical square-type phase channel을 유도한다. 각 edge 주변에서 $T$-motif와 $O$-motif는 각각 effective angle $\theta_T=\arccos(1/3)$, $\theta_O=\arccos(-1/3)$를 기여하며, edge curvature는 $K_Q(e)=2\pi-(t_e\theta_T+o_e\theta_O)$로 정의된다. regular calibration 아래에서 edge-geometric defect-free 조건은 정확히 $(t_e,o_e)=(2,2)$와 동치이다. 그중 cyclic order가 $TOTO$이면 order defect도 사라지고, cyclic order가 $TTOO$이면 edge-geometric defect는 없지만 order defect가 존재한다. 반면 $T$-only sector는 edge-geometrically curved bare sector이며, (T/O) balance가 깨진 sector는 curvature 또는 bonding stress를 갖는 edge-geometric defect sector이다. Phase holonomy를 다룰 경우에는 cyclically oriented triangular plaquette set $F_\triangle^{\mathrm{or}}$, cyclically oriented square-type phase channel set $\mathcal C_\square^{\mathrm{or}}$, 그리고 orientation-reversing compatibility를 만족하는 edge phase variable을 추가한다.

26. 최종 핵심 요약

$$
\boxed{
\text{Qaether 공간} = \text{Planck metric graph} + F_\triangle + \mathcal M_T + \mathcal M_O + \operatorname{cyc}
}
$$

$$
\boxed{
T\text{-motif} = \text{선택된 unrooted } K_4\text{ Planck bonding motif}
}
$$

$$
\boxed{
O\text{-motif} = \text{opposite-pairing을 가진 선택된 unrooted octahedral Planck bonding motif}
}
$$

$$
\boxed{
\mathcal C_\square = O\text{-motif에서 유도되는 square-type phase channel set}
}
$$

$$
\boxed{
F_\triangle^{\mathrm{or}},\ \mathcal C_\square^{\mathrm{or}} = \text{phase holonomy를 위한 cyclically oriented plaquette/channel data}
}
$$

$$
\boxed{
K_Q(e) = 2\pi- (t_e\theta_T+o_e\theta_O)
}
$$

$$
\boxed{
2T+2O = \text{edge-geometric defect-free balance}
}
$$

$$
\boxed{
TOTO = \text{edge-geometric defect-free + order defect-free}
}
$$

$$
\boxed{
TTOO = \text{edge-geometric defect-free but order-defective}
}
$$

$$
\boxed{
T\text{-only} = \text{edge-geometrically curved bare sector}
}
$$

$$
\boxed{
T/O\text{-imbalance} = \text{edge-geometric defect or bonding stress}
}
$$