3차원 이산 공간 복합체의 국소 꼭짓점 구조 분류 및 실현 가능성

1장. 서론

1.1 문제 설정

유클리드 3공간 $\mathbb R^3$을 유한 종류의 기본 셀들의 복사본들을 face-to-face로 결합한 복합체로 기술하는 문제는 이산기하와 조합위상수학의 고전적 주제이다. 본 논문이 다루는 출발점은 다음과 같은 질문이다.

"모든 3-cell이 같은 edge length를 갖는 regular tetrahedron일 때, 그러한 셀들만으로 $\mathbb R^3$를 결함 없이 채우는 face-to-face complex가 존재하는가?"

이 문제의 기본적인 장애는 regular tetrahedron의 이면각
$$
\alpha_{\mathrm{tet}}=\arccos(1/3)
$$
에 있다. 이 값의 정수배는 $2\pi$가 되지 않으므로, 하나의 edge 주위를 regular tetrahedra만으로 둘러싸더라도 각이 정확히 닫히지 않는다. 따라서 regular tetrahedral-only 결합은 defect-free한 3차원 모델을 줄 수 없을 것으로 예상된다.

이 자연스러운 장애를 넘기 위해 본 논문은 허용 셀의 종류를 넓혀, regular tetrahedron과 regular octahedron을 함께 허용하는 경우를 연구한다. 그러면 문제는 다음과 같이 바뀐다.

regular tetrahedra와 regular octahedra를 함께 허용하면 defect-free한 face-to-face 3차원 complex가 존재하는가?

그리고 만약 존재한다면, 그러한 complex의 가능한 전역 구조는 국소 결합 조건에 의해 얼마나 강하게 제약되는가가 핵심 문제가 된다.

1.2 이 논문의 관점

본 논문은 특정 lattice나 특정 ordered structure를 처음부터 가정하지 않는다. 대신 가능한 모델들의 큰 공간을 먼저 정의하고, 그 위에 점차 국소 조건을 더해 가며 전역 구조를 축소한다. 흐름은 다음과 같다.

첫째, $\mathbb R^3$ 안의 일반적인 face-to-face 3차원 polyhedral complex의 클래스 $\mathfrak C_0$를 정의한다.

둘째, 그 가운데 3-cells가 regular tetrahedron과 regular octahedron뿐인 복합체들의 클래스 $\mathfrak C_1(a)$를 정의한다.

셋째, 그 안에서 $\mathbb R^3$를 결함 없이 채우는 defect-free 클래스 $\mathfrak C_2(a)$를 정의한다.

넷째, defect-free tet–oct complex의 각 vertex에서 작은 구면 절단으로 얻어지는 vertex link를 분석하여, 가능한 국소 구조가 triangle–square spherical figure의 문제로 환원됨을 보인다.

다섯째, 모든 vertex가 같은 vertex figure를 갖는 vertex-uniform 클래스 $\mathfrak C_3(a)$를 도입하여, 분류 문제를 admissible spherical figure의 분류와 realizability 문제로 재구성한다.

1.3 주요 결과

본 논문의 핵심 결과는 다음과 같다.

첫째, regular tetrahedral-only 클래스는 defect-free 조건과 양립하지 않는다. 즉,
$$
\mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)=\varnothing
$$
이다.

둘째, regular tetrahedra와 regular octahedra를 함께 허용하면 defect-free periodic complex가 존재한다. 즉,
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing
$$
이다.

셋째, defect-free tet–oct complex에서는 각 vertex의 작은 구면 절단이 자동으로 $S^2$의 finite cell decomposition을 이루며, 그 2-faces는 삼각형과 사각형뿐이다.

넷째, 각 edge 주위의 각도 조건을 이용하면 모든 edge에 대해
$$
t_e=2,\qquad o_e=2
$$
가 성립한다. 여기서 $t_e$, $o_e$는 각각 그 edge에 incident한 tetrahedra와 octahedra의 개수이다.

다섯째, 위의 edge 조건과 vertex link의 계수 관계를 결합하면 각 vertex에 incident한 tetrahedron의 개수는 항상
$$
t_v=8
$$
임을 얻는다.

여섯째, vertex-uniform 조건을 도입하면 realizable한 vertex figure $\Sigma$는 반드시
$$
t(\Sigma)=8,\qquad o(\Sigma)=6,\qquad (f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)
$$
를 만족한다.

일곱째, 표준 periodic tet–oct complex의 vertex figure는 cuboctahedron의 boundary cellulation과 조합적으로 동일하다. 따라서 cuboctahedral spherical figure는 realizable하다.

1.4 논문의 구성

2장에서는 기본 클래스들
$$
\mathfrak C_0,\ \mathfrak C_1(a),\ \mathfrak T(a),\ \mathfrak C_2(a),\ \mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)
$$
을 정의한다.

3장에서는 regular tetrahedral-only 클래스의 불가능성과 mixed-cell periodic complex의 존재를 증명한다.

4장에서는 defect-free tet–oct complex의 vertex link를 분석하여, 국소 구조가 triangle–square spherical figure로 환원됨을 보이고 edge 및 vertex 수준의 제약을 도출한다.

5장에서는 vertex-uniform 클래스 $\mathfrak C_3(a)$와 vertex figure type $\Sigma$에 따른 부분 클래스 $\mathfrak C_3(a;\Sigma)$를 도입하고, 분류 문제를 admissible spherical figure의 분류와 realizability의 판정 문제로 재구성한다.

---

2장. 기본 클래스의 정의

2.1 face-to-face polyhedral complexes

정의 2.1
$\mathcal K$를 $\mathbb R^3$ 안의 볼록 polytope들의 locally finite한 집합이라 하자. 다음 조건이 성립하면 $\mathcal K$를 face-to-face 3차원 polyhedral complex라 한다.

1. $\mathcal K$의 각 원소는 $\mathbb R^3$의 볼록 polytope이다.
2. 각 셀의 모든 face는 다시 $\mathcal K$에 속한다.
3. 임의의 두 셀의 교집합은 공집합이거나 공통 face이다.
4. maximal cells는 모두 3차원이다.

복합체의 지지집합은
$$
|\mathcal K|:=\bigcup_{\sigma\in\mathcal K}\sigma
$$
로 쓴다.

이러한 모든 복합체의 클래스를 $\mathfrak C_0$로 표기한다.

2.2 허용 셀 종류에 의한 제한

정의 2.2
$a>0$를 고정하자. $\mathcal K\in\mathfrak C_0$가 다음을 만족하면 $\mathcal K$를 regular tetrahedral–octahedral complex of scale $a$ 라 한다.

• $\mathcal K$의 모든 maximal 3-cells가 edge length $a$인 regular tetrahedron 또는 regular octahedron과 합동이다.

이러한 복합체들의 클래스를 $\mathfrak C_1(a)$로 쓴다.

정의 2.3
$\mathcal K\in \mathfrak C_1(a)$가 모든 maximal 3-cells가 regular tetrahedron일 때, $\mathcal K$를 regular tetrahedral-only complex라 한다.

이러한 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak T(a)\subset \mathfrak C_1(a)
$$
로 쓴다.

주석 2.4
regular octahedron의 2-faces는 모두 정삼각형이다. 따라서 $\mathfrak C_1(a)$의 원래 복합체에서 나타나는 모든 2-faces도 삼각형이다. 이후 등장하는 사각형은 원래 복합체의 2-face가 아니라 vertex link 위의 2-cell이다.

2.3 defect-free와 periodicity

정의 2.5
$\mathcal K\in\mathfrak C_1(a)$가 다음을 만족하면 $\mathcal K$를 defect-free라 한다.

1. $|\mathcal K|=\mathbb R^3$,
2. 모든 2-face가 정확히 두 개의 3-cells에 속한다.

이러한 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak C_2(a)\subset \mathfrak C_1(a)
$$
로 쓴다.

정의 2.6
$\mathcal K\in \mathfrak C_2(a)$가 어떤 rank 3 translation lattice $\Lambda\subset\mathbb R^3$에 대해 $\Lambda$-불변이면 $\mathcal K$를 periodic이라 한다. 즉,
$$
\sigma\in\mathcal K,\ \lambda\in\Lambda \implies \sigma+\lambda\in\mathcal K
$$
가 모든 $\sigma\in\mathcal K,\ \lambda\in\Lambda$에 대해 성립한다.

이러한 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\subset \mathfrak C_2(a)
$$
로 쓴다.

2.4 1-skeleton과 edge-link

정의 2.7
$\mathcal K$의 vertices와 edges로 이루어진 그래프를 $\mathcal K$의 1-skeleton이라 하고
$$
G(\mathcal K)
$$
로 쓴다. 그 vertex 집합과 edge 집합은 각각
$$
V(\mathcal K),\qquad E(\mathcal K)
$$
로 표기한다.

정의 2.8
$\mathcal K\in\mathfrak C_0$의 edge $e\in E(\mathcal K)$가
$$
\operatorname{relint}(e)\subset \operatorname{int}(|\mathcal K|)
$$
를 만족하면 $e$를 interior edge라 한다.

특히 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이면 $|\mathcal K|=\mathbb R^3$이므로 모든 edge는 interior edge이다.

정의 2.9
$\mathcal K\in\mathfrak C_0$의 interior edge $e$를 고정하자. $x\in\operatorname{relint}(e)$를 잡고, $e$에 수직인 충분히 작은 닫힌 원판 $D_x$를 $x$ 중심으로 택하자. 이때 $D_x$는 $e$에 incident한 셀들과만 만나고, 각 그러한 3-cell과의 교차는 $D_x$ 안의 하나의 sector가 된다. $\partial D_x\cong S^1$ 위에 유도되는 원형 cell decomposition을 $e$의 edge-link라 한다.

명제 2.10
$\mathcal K\in\mathfrak C_0$의 interior edge $e$에 대하여, 충분히 작은 $D_x$를 택하면 $e$의 edge-link는 $S^1$의 finite cell decomposition이 된다. 특히 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이면 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다.

증명
$x\in\operatorname{relint}(e)$를 고정한다. $e$가 interior edge이므로
$$
x\in \operatorname{int}(|\mathcal K|)
$$
이다. local finiteness에 의해 어떤 $r>0$에 대하여 닫힌 공 $\overline{B_r(x)}$와 만나는 셀은 유한 개뿐이며, $r$를 충분히 작게 택하면
$$
\overline{B_r(x)}\subset \operatorname{int}(|\mathcal K|)
$$
가 성립한다.

이제 $\overline{B_r(x)}$와 만나는 셀들 가운데 $x$를 포함하는 셀들을 생각하자. $x\in\operatorname{relint}(e)$이므로, 어떤 셀 $\sigma\in\mathcal K$가 $x$를 포함하면 $\sigma\cap e$는 $e$의 face로서 $x$를 포함해야 한다. 그런데 $x$를 포함하는 $e$의 face는 $e$ 자신뿐이므로, $x\in\sigma$이면 반드시
$$
e\subset \sigma
$$
이다. 즉 $x$를 포함하는 셀은 정확히 $e$에 incident한 셀들이다.

한편 $\overline{B_r(x)}$와 만나지만 $x$를 포함하지 않는 셀들은 유한 개이므로, 그들로부터 $x$까지의 거리의 최솟값
$$
\delta:=\min \{ d(x,\tau) \mid \tau\cap \overline{B_r(x)}\neq\varnothing,\ x\notin\tau \}
$$
는 양수이다. 따라서 $0<\varepsilon<\min \{ r,\delta \}$로 잡으면, $e$에 수직인 반지름 $\varepsilon$의 닫힌 원판 $D_x$는 $x$를 포함하지 않는 어떤 셀과도 만나지 않는다. 그러므로 $D_x$는 정확히 $e$에 incident한 셀들과만 만난다.

이제 $e$에 incident한 각 3-cell $\sigma$에 대해 $D_x\cap \sigma$를 보자. $\sigma$는 볼록 polytope이고 $x\in e\subset \sigma$이므로 $D_x\cap \sigma$는 $x$를 꼭짓점으로 하는 볼록한 sector이다. 또한 face-to-face 조건 때문에 서로 다른 두 그러한 3-cell $\sigma,\sigma'$에 대하여
$$
(D_x\cap \sigma)\cap(D_x\cap \sigma')=D_x\cap(\sigma\cap\sigma')
$$
는 공집합이거나 공통 radial edge이다. 또 $D_x\subset |\mathcal K|$이고 $D_x$가 $e$에 incident한 3-cell들과만 만나므로,
$$
D_x=\bigcup_{\sigma\supset e}(D_x\cap \sigma)
$$
가 성립한다. 따라서 $\partial D_x\cong S^1$ 위에는 유한 개의 호와 꼭짓점으로 이루어진 finite cell decomposition이 유도된다. 이것이 $e$의 edge-link이다.

이제 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$라고 하자. 그러면 $D_x\subset |\mathcal K|=\mathbb R^3$이므로 위 sector들은 $D_x$를 겹침 없이 정확히 한 번 둘러싸며, 따라서 그 평면각들의 합은 $2\pi$이다. 그런데 각 sector $D_x\cap \sigma$의 중심각은 $\sigma$가 edge $e$에서 가지는 interior dihedral angle과 일치한다. 이는 $e$에 수직인 평면 단면에서 이면각이 바로 그 평면각으로 측정되기 때문이다. 따라서 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다. $\square$

---

3장. tetrahedral-only의 장애와 mixed-cell complex의 존재

3.1 tetrahedral-only complex의 각도 결손

regular tetrahedron의 이면각을
$$
\alpha_{\mathrm{tet}}:=\arccos(1/3)
$$
로 둔다.

보조정리 3.1
정수 $m\ge 1$에 대하여
$$
m\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
$$
를 만족하는 $m$은 존재하지 않는다.

증명
수치적으로
$$
\alpha_{\mathrm{tet}}\approx 1.230959417\ldots
$$
이므로
$$
5\alpha_{\mathrm{tet}}\approx 6.1548\ldots \lt 2\pi \lt 6\alpha_{\mathrm{tet}}\approx 7.3857\ldots.
$$
따라서
$$
5 \lt \frac{2\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}} \lt 6.
$$
특히 $\frac{2\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}}\notin\mathbb Z$이므로 그런 $m$은 존재하지 않는다. $\square$

정리 3.2
defect-free regular tetrahedral-only complex는 존재하지 않는다.

증명
반대로
$$
\mathcal K\in \mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)
$$
라고 하자. 임의의 edge $e\in E(\mathcal K)$를 잡고, $e$에 incident한 tetrahedra의 개수를 $m(e)$라 하자.

$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이므로 $e$는 interior edge이다. 따라서 명제 2.10에 의해 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다. 그런데 $e$에 incident한 모든 3-cells는 regular tetrahedron이므로
$$
m(e)\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
$$
가 되어야 한다. 이는 보조정리 3.1에 모순이다. 따라서
$$
\mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)=\varnothing.
$$
$\square$

---

3.2 mixed-cell periodic complex의 구성

이제 regular octahedron을 함께 허용한다.

$$L:= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 0\pmod 2 \},$$ $$L^{\mathrm{odd}}:= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 1\pmod 2 \}$$를 둔다.

각 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 unit cube
$$
Q_n:=n+[0,1]^3
$$
를 잡는다.

각 cube $Q_n$의 여덟 꼭짓점 가운데 정확히 네 개가 $L$에 속한다. 그 네 점의 convex hull를
$$
\Delta_n
$$
이라 하자.

또한 각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대하여

$$ e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)
$$

이라면 이때 $O_c$를 다음과 같이 정의한다.

$$ O_c:=\operatorname{conv} \{c\pm e_1,\ c\pm e_2,\ c\pm e_3\}
$$

이 장의 목표는 다음 정리를 증명하는 것이다.

정리 3.3
각 $a \gt 0$에 대해 defect-free periodic regular tetrahedral–octahedral complex가 존재한다. 즉
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing.
$$

---

3.3 중앙 tetrahedron과 odd-center octahedron

보조정리 3.4
각 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $\Delta_n$은 edge length $\sqrt2$인 regular tetrahedron이고, 각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대하여 $O_c$는 edge length $\sqrt2$인 regular octahedron이다.

증명
참조 큐브 $Q_0=[0,1]^3$에서 $L$-꼭짓점은
$$
(0,0,0),\ (1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)
$$
이며, 임의의 두 점 사이의 거리는 모두 $\sqrt2$이다. 따라서
$$
\Delta_0=\operatorname{conv} \{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}
$$
는 edge length $\sqrt2$인 regular tetrahedron이다. 일반 $n$에 대해서도 $\Delta_n$은 $\Delta_0$와 합동이므로 같은 결론이 성립한다.

한편 $O_c$의 꼭짓점은
$$
c\pm e_1,\ c\pm e_2,\ c\pm e_3
$$
이고, 인접한 두 꼭짓점 사이의 거리는 항상 $\sqrt2$이다. 따라서 $O_c$는 edge length $\sqrt2$인 regular octahedron이다. $\square$

---

3.4 각 cube의 5-tetrahedra 분해

참조 큐브 $Q_0=[0,1]^3$의 odd parity 꼭짓점은 $$ u_1=(1,0,0),\quad u_2=(0,1,0),\quad u_3=(0,0,1),\quad u_4=(1,1,1) $$ 이다. 각 $u_i$에 대해 corner tetrahedron을 $ C_{u_i} $로 쓴다. 즉 $$ C_{(1,0,0)} =\operatorname{conv} \{(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,0) \}, $$ $$ C_{(0,1,0)}=\operatorname{conv} \{(0,1,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) \}, $$ $$ C_{(0,0,1)}=\operatorname{conv} \{(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0) \}, $$ $$ C_{(1,1,1)} =\operatorname{conv} \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) \}.$$

그리고 중앙 tetrahedron은 $$ \Delta_0=\operatorname{conv} \{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} $$ 이다.

이들은 다음의 선형 부등식으로 주어진다. $$ C_{(1,0,0)}= \{x\in Q_0:\ x_1\ge x_2+x_3\}, $$

$$ C_{(0,1,0)}= \{x\in Q_0:\ x_2\ge x_1+x_3\},$$ $$ C_{(0,0,1)}= \{x\in Q_0:\ x_3\ge x_1+x_2\}, $$ $$ C_{(1,1,1)}=\{x\in Q_0:\ x_1+x_2+x_3\ge 2\}, $$ $$ \Delta_0= \{x\in Q_0:\ x_1\le x_2+x_3,\ x_2\le x_1+x_3,\ x_3\le x_1+x_2,\ x_1+x_2+x_3\le 2 \}.$$

실제로 각 우변은 $Q_0$와 유한 개의 반공간의 교집합으로 주어지는 볼록 polytope이며, 그 extreme points를 직접 계산하면 위에서 정의한 corresponding tetrahedron의 네 꼭짓점만을 갖는다. 따라서 각 식은 정확히 해당 tetrahedron을 기술한다.

이제 이 다섯 집합이 $Q_0$를 분할함을 보이자. 임의의 $$ x=(x_1,x_2,x_3)\in Q_0 $$를 잡는다.

만약 $x_1+x_2+x_3\ge 2 $이면 $x\in C_{(1,1,1)}$이다.

이제 $ x_1+x_2+x_3<2 $ 라고 하자.

이때 만약 $x_1>x_2+x_3 $이면 $x\in C_{(1,0,0)}$이고,

만약 $x_2>x_1+x_3 $이면 $x\in C_{(0,1,0)}$이며,

만약 $ x_3>x_1+x_2 $이면 $x\in C_{(0,0,1)}$이다.

이 네 경우가 모두 일어나지 않으면
$$
x_1\le x_2+x_3,\qquad
x_2\le x_1+x_3,\qquad
x_3\le x_1+x_2,\qquad
x_1+x_2+x_3\le 2
$$
가 동시에 성립하므로 $x\in\Delta_0$이다. 따라서
$$
Q_0=
\Delta_0
\cup C_{(1,0,0)}
\cup C_{(0,1,0)}
\cup C_{(0,0,1)}
\cup C_{(1,1,1)}
$$
가 성립한다.

또한 각 집합의 상대내부는 defining inequalities가 strict form으로 주어지는 점들의 집합과 일치한다. 예를 들어 $$\operatorname{relint}(C_{(1,0,0)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_2, \quad 0 \lt x_3, \quad x_2+x_3 \lt x_1 \lt 1\},$$ $$\operatorname{relint}(C_{(0,1,0)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_1, \quad 0 \lt x_3, \quad x_1+x_3 \lt x_2 \lt 1\},$$ $$\operatorname{relint}(C_{(0,0,1)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_1, \quad 0 \lt x_2, \quad x_1+x_2 \lt x_3 \lt 1\},$$ $$\operatorname{relint}(C_{(1,1,1)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_1 \lt 1, \quad 0 \lt x_2 \lt 1, \quad 0 \lt x_3 \lt 1, \quad x_1+x_2+x_3 \gt 2\},$$ $$\operatorname{relint}(\Delta_0)=\{x\in Q_0:\ x_1 \lt x_2+x_3,\ x_2 \lt x_1+x_3,\ x_3 \lt x_1+x_2,\ x_1+x_2+x_3 \lt 2\}.$$ 따라서 이 다섯 tetrahedra의 상대내부는 서로 서로소이다.

이제 일반 cube $Q_n$으로 옮긴다. $A_n\in O(3)$와 $b_n\in\mathbb Z^3$를
$$
A_n=
\begin{cases}
I,& n_1+n_2+n_3\equiv 0\pmod 2,\\
-I,& n_1+n_2+n_3\equiv 1\pmod 2
\end{cases}
\qquad
b_n=
\begin{cases}
n,& n_1+n_2+n_3\equiv 0\pmod 2,\\
n+\mathbf 1,& n_1+n_2+n_3\equiv 1\pmod 2
\end{cases}
$$
로 두고
$$
\iota_n(x):=A_nx+b_n
\qquad (x\in\mathbb R^3)
$$
를 정의하자. 여기서
$$
\mathbf 1=(1,1,1)
$$
이다.

그러면 $\iota_n$는 $Q_0$를 $Q_n$으로 보내는 affine isometry이다. 실제로 $n_1+n_2+n_3$가 짝수이면
$$
\iota_n(x)=x+n
$$
이므로 자명하고, 홀수이면
$$
\iota_n(x)=-x+n+\mathbf 1
$$
이므로
$$
\iota_n([0,1]^3)=n+[0,1]^3=Q_n
$$
이다.

또한 $\iota_n$는 $Q_0$의 꼭짓점들을 $Q_n$의 꼭짓점들로 보내며, parity도 보존한다. 실제로 $v\in \{0,1\}^3$에 대해
$$
\sum_{i=1}^3 (\iota_n(v))_i \equiv \sum_{i=1}^3 v_i \pmod 2
$$
가 성립하므로, $\iota_n$는 even corners를 even corners로, odd corners를 odd corners로 보낸다. 따라서 $Q_0$에서의 위 5-tetrahedra 분해는 각 $Q_n$으로 동일한 방식으로 옮겨진다. 즉 각 $Q_n$은 정확히 하나의 중앙 tetrahedron $\Delta_n$과 네 개의 corner tetrahedra로 분해된다.

이를 정리하면 다음과 같다.

보조정리 3.5.
각 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $Q_n$는 정확히 다섯 개의 tetrahedra, 즉 하나의 중앙 tetrahedron $\Delta_n$와 네 개의 corner tetrahedra로 분해되며, 이들의 상대내부는 서로 서로소이다.

증명.
위에서 $Q_0$에 대해 명제를 확인하였고, affine isometry $\iota_n$가 그 분해를 $Q_n$으로 옮긴다. affine isometry는 convexity, incidence, 상대내부의 서로소성을 모두 보존하므로 결론이 모든 $n$에 대해 성립한다. $\square$

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3.5 인접한 cubes 사이의 face compatibility

이제 위 분해들이 cube들 사이에서 서로 잘 맞물린다는 점을 확인한다.

보조정리 3.6
서로 인접한 두 unit cube $Q_n,Q_m$가 공통 square face $F=Q_n\cap Q_m$를 가진다고 하자. 그러면 보조정리 3.5의 5-tetrahedra 분해가 $F$ 위에 유도하는 2차원 simplicial decomposition은 양쪽 cube에서 정확히 일치한다.

증명
$F$의 네 꼭짓점 가운데 정확히 두 개는 even parity이고 두 개는 odd parity이다. 각 cube의 중앙 tetrahedron은 그 cube의 네 even corners의 convex hull이므로, $F$ 위에서는 정확히 $F$의 두 even corners를 잇는 diagonal segment를 남긴다. 이 diagonal은 $Q_n$와 $Q_m$에서 동일하다.

이제 $F$의 각 odd corner $u$를 보자. $Q_n$에서 $u$를 꼭짓점으로 하는 corner tetrahedron은 $F$ 위에 $u$를 포함하는 triangular half-face 하나를 남긴다. $Q_m$에서도 동일한 꼭짓점 $u$에 대한 corner tetrahedron이 exactly 같은 triangular half-face를 남긴다. 한편 $F$에 놓인 나머지 두 tetrahedra는 $F$와의 교집합이 lower-dimensional face이다.

따라서 양쪽 cube가 $F$ 위에 유도하는 분해는 precisely 같은 diagonal로 나뉜 두 삼각형 분해이다. $\square$

이 보조정리에 의해 모든 cube의 5-tetrahedra 분해는 전역적으로 서로 호환된다. 따라서 이를 모두 합치면 (\mathbb R^3) 위의 simplicial decomposition이 된다.

따름정리 3.7
모든 $n\in\mathbb Z^3$에 대한 보조정리 3.5의 tetrahedra와 그 모든 faces의 집합은 $\mathbb R^3$의 locally finite simplicial complex $\mathcal S$를 이룬다.

증명
보조정리 3.5에 의해 각 $Q_n$ 내부에서는 tetrahedra 분해가 성립하고, 보조정리 3.6에 의해 인접 cubes의 공통 square face 위에서 induced subdivision이 일치한다. cubic tessellation의 edge와 vertex는 square faces들의 교차로 얻어지므로, edge와 vertex에서의 induced subdivision도 자동으로 일치한다. 따라서 전역적으로 simplicial complex가 정의된다.

또한 각 tetrahedron은 어떤 unit cube 안에 포함되고, 임의의 compact set는 unit cubes와 유한 개만 만나므로 $\mathcal S$는 locally finite이다. $\square$

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3.6 odd vertex 주위의 8개 corner tetrahedra와 octahedron

각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$는 정확히 여덟 개의 unit cube의 꼭짓점이다. 각 such cube 안에는 (c)를 꼭짓점으로 하는 corner tetrahedron이 하나씩 있다.

한편
$$
O_c= \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1-c_1|+|x_2-c_2|+|x_3-c_3|\le 1 \}
$$
이므로, 각 부호 삼중 $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\in{\pm1}^3$에 대해 corresponding orthant에서의 조각은
$$
T_{c,\varepsilon}:=
\operatorname{conv} \{c,\ c+\varepsilon_1e_1,\ c+\varepsilon_2e_2,\ c+\varepsilon_3e_3 \}
$$
이다. 이것은 정확히 $c$를 꼭짓점으로 하는 해당 cube의 corner tetrahedron이다.

따라서 $O_c$는 $\mathcal S$의 정확히 여덟 개 3-simplices의 합이다. 또한 그 경계는 여덟 개의 triangular facets
$$
F_{c,\varepsilon}:=
\operatorname{conv} \{c+\varepsilon_1e_1,\ c+\varepsilon_2e_2,\ c+\varepsilon_3e_3 \},
\qquad
\varepsilon\in \{\pm1 \}^3
$$
으로 이루어진다.

보조정리 3.8
각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대하여 $O_c$는 $\mathcal S$의 정확히 여덟 개 corner tetrahedra의 합이며, 그 여덟 개 triangular boundary facets는 (c)를 꼭짓점으로 하는 여덟 개 cubes와 하나씩 일대일 대응한다. $\square$

---

3.7 $O_c$와 하나의 cube의 교차

이 절의 핵심은 $O_c\cap Q_n$를 완전히 분류하는 것이다.

먼저 참조 큐브 $Q_0=[0,1]^3$를 본다. $c\in\mathbb Z^3$에 대해
$$
d_1(c,Q_0):=\min_{x\in Q_0}|x-c|_1
$$
라 두면
$$
d_1(c,Q_0)=\sum_{i=1}^3 d(c_i,[0,1])
$$
이다.

따라서 $O_c\cap Q_0\neq\varnothing$이면 $d_1(c,Q_0)\le 1$이어야 한다.

보조정리 3.9
$c\in L^{\mathrm{odd}}$와 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $O_c\cap Q_n$는 다음 셋 중 하나이다.

1. $c$가 $Q_n$의 odd corner이면, $O_c\cap Q_n$는 $Q_n$의 그 corner tetrahedron이다.
2. $c\notin Q_n$이고 $O_c\cap Q_n\neq\varnothing$이면, $O_c\cap Q_n$는 $Q_n$의 어떤 even corner 하나이다.
3. 위 두 경우가 아니면 $O_c\cap Q_n=\varnothing$.

증명
먼저 $n=0$인 경우를 본다.

(a) $c$가 $Q_0$의 odd corner인 경우

가능한 $c$는
$$
(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1),\ (1,1,1)
$$
뿐이다. 예를 들어 $c=(1,0,0)$이면
$$
|x-c|_1=(1-x_1)+x_2+x_3
\qquad (x\in Q_0),
$$
따라서
$$
|x-c|_1\le 1
\iff x_1\ge x_2+x_3.
$$
즉
$$
O_{(1,0,0)}\cap Q_0=C_{(1,0,0)}.
$$
나머지 세 odd corners도 완전히 같은 방식으로 corresponding corner tetrahedron을 준다.

(b) $c\notin Q_0$이면서 $O_c\cap Q_0\neq\varnothing$인 경우

$d_1(c,Q_0)\le 1$이어야 하므로, 각 $c_i$는 $\{-1,0,1,2\}$에 속하고, $[0,1]$ 바깥에 있는 좌표는 정확히 하나뿐이다. 따라서 $c$는 $Q_0$의 어떤 corner $v$와 어떤 좌표방향 $e_i$에 대해
$$
c=v-e_i
\quad\text{또는}\quad
c=v+e_i
$$
의 꼴이다. parity를 보면 $c$가 odd이려면 $v$는 even corner이어야 한다.

이제 $x\in Q_0$에 대해
$$
|x-c|_1=1+|x-v|_1.
$$
따라서
$$
|x-c|_1\le 1
\iff |x-v|_1=0
\iff x=v.
$$
즉
$$
O_c\cap Q_0=\{v\},
$$
여기서 $v$는 $Q_0$의 even corner이다.

(c) 그 밖의 경우

$d_1(c,Q_0)>1$이므로 intersection은 공집합이다.

이제 일반 $n$에 대해 보조정리 3.5의 affine isometry $\iota_n(x)=A_nx+b_n$를 쓰자. $\iota_n$는 $Q_0$를 $Q_n$으로 보내고, even/odd corners를 각각 even/odd corners로 보낸다. 또한 $A_n=\pm I$이므로 $\ell^1$-norm을 보존하여
$$
\iota_n(O_c)=O_{A_nc+b_n}
$$
가 성립한다. 따라서 $Q_0$에 대한 분류가 $Q_n$에 그대로 옮겨진다. $\square$

이제 중앙 tetrahedron과 octahedron의 교차가 즉시 따라온다.

따름정리 3.10
$c\in L^{\mathrm{odd}}$, $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $\Delta_n\cap O_c$는 다음 셋 중 하나이다.

1. $c$가 $Q_n$의 odd corner이면, $\Delta_n\cap O_c$는 $\Delta_n$와 $O_c$의 공통 triangular facet 하나이다.
2. $O_c\cap Q_n$가 $Q_n$의 even corner $v$ 하나이면, $\Delta_n\cap O_c= \{v\}$이고 이는 $\Delta_n$와 $O_c$의 공통 vertex이다.
3. 그 밖의 경우 $\Delta_n\cap O_c=\varnothing$이다.

증명
$\Delta_n\subset Q_n$이므로
$$
\Delta_n\cap O_c=\Delta_n\cap (O_c\cap Q_n).
$$
이제 보조정리 3.9를 그대로 대입하면 된다.

• $O_c\cap Q_n$가 $Q_n$의 corner tetrahedron이면, 보조정리 3.5의 5-tetrahedra 분해에서 중앙 tetrahedron과 그 corner tetrahedron은 triangular facet 하나를 공유한다. 보조정리 3.8에 의해 이 삼각형은 동시에 $O_c$의 boundary facet이기도 하다.
• $O_c\cap Q_n= \{v\}$이면, $v$는 even corner이고 $\Delta_n$의 꼭짓점들은 exactly $Q_n$의 even corners이다. 또한 $v=c\pm e_i$의 꼴이므로 $v$는 $O_c$의 꼭짓점이기도 하다.
• 나머지는 자명하다. $\square$

---

3.8 최대 3-cells의 교집합

이제
$$
\mathcal M:= \{\Delta_n:\ n\in\mathbb Z^3 \}\cup \{O_c:\ c\in L^{\mathrm{odd}}\}
$$
를 정의하자.

보조정리 3.11

$\mathcal M$의 서로 다른 두 원소의 교집합은 공집합이거나 공통 face이다.

증명

서로 다른 두 원소의 종류에 따라 경우를 나눈다.

(1) $\Delta_n$와 $\Delta_m$의 경우

먼저
$$
\Delta_n\subset Q_n,\qquad \Delta_m\subset Q_m
$$
이므로
$$
\Delta_n\cap \Delta_m\subset Q_n\cap Q_m
$$
이다. 두 unit cube의 교집합은 공집합이거나 square face, edge, vertex 가운데 하나이다.

$Q_n\cap Q_m=\varnothing$이면 자명하게
$$
\Delta_n\cap \Delta_m=\varnothing
$$
이다.

$Q_n\cap Q_m=F$가 square face이면, $F$의 네 꼭짓점 가운데 정확히 두 개가 even parity이다. 각 중앙 tetrahedron은 $F$ 위에서 그 두 even corners를 잇는 같은 diagonal edge를 남기므로
$$
\Delta_n\cap \Delta_m
$$
는 바로 그 공통 edge이다.

$Q_n\cap Q_m=E$가 cube edge이면, $E$의 양 끝점 가운데 정확히 하나만 even parity이다. 각 중앙 tetrahedron은 $E$와 정확히 그 even endpoint에서만 만나므로
$$
\Delta_n\cap \Delta_m
$$
는 그 하나의 vertex이다.

$Q_n\cap Q_m={v}$가 cube vertex이면, $v$가 even parity일 때만
$$
v\in \Delta_n\cap \Delta_m
$$
이고, $v$가 odd parity이면
$$
\Delta_n\cap \Delta_m=\varnothing
$$
이다.

따라서 $\Delta_n\cap \Delta_m$는 항상 공집합, vertex, 또는 edge이며, 특히 공통 face이다.

(2) $O_c$와 $O_{c'}$의 경우

서로 다른 $c,c'\in L^{\mathrm{odd}}$를 잡자. 만약
$$
x\in O_c\cap O_{c'}
$$
이면 triangle inequality에 의해
$$
|c-c'|_1\le |x-c|_1+|x-c'|_1\le 2
$$
이다.

한편 $c-c'\in\mathbb Z^3$이고 $c,c'$는 둘 다 odd parity이므로
$$
|c-c'|_1
$$
는 짝수 정수이다. 따라서 교집합이 비어 있지 않으려면
$$
|c-c'|_1=2
$$
여야 한다.

이제 $\mathbb Z^3$의 벡터 가운데 $\ell^1$-norm이 $2$인 것은 정확히
$$
\pm 2e_i
\qquad\text{또는}\qquad
\pm e_i\pm e_j \quad (i\ne j)
$$
의 꼴뿐이므로, 다음 두 경우만 보면 충분하다.

(2-a) $c'=c+2e_i$인 경우

$x\in O_c\cap O_{c+2e_i}$이면
$$
|x_i-c_i|+\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|\le 1,
$$
$$
|x_i-c_i-2|+\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|\le 1
$$
이다. 두 식을 더하면
$$
|x_i-c_i|+|x_i-c_i-2|+2\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|\le 2
$$
를 얻는다.

그런데 임의의 실수 $t$에 대해
$$
|t|+|t-2|\ge 2
$$
이므로
$$
|x_i-c_i|+|x_i-c_i-2|\ge 2
$$
이다. 따라서 위 부등식에서는 equality가 강제되고,
$$
\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|=0
$$
를 얻는다. 즉
$$
x_j=c_j\qquad (j\ne i)
$$
이다.

이제 이를 원래의 두 부등식에 대입하면
$$
|x_i-c_i|\le 1,\qquad |x_i-c_i-2|\le 1
$$
이므로
$$
x_i-c_i\in [0,1]\cap [1,2]=\{1\}.
$$
따라서
$$
x_i=c_i+1
$$
이고,
$$
O_c\cap O_{c+2e_i}= \{c+e_i\}
$$
를 얻는다. $c'=c-2e_i$인 경우도 완전히 동일하다.

(2-b) $c'=c+s_ie_i+s_je_j$인 경우

여기서 $i\ne j$이고 $s_i,s_j\in \{\pm1\}$이다. 평행이동과 좌표반사를 적용하면 $c=0$, $c'=e_1+e_2$인 경우만 보면 충분하다. 이 변환들은 $\ell^1$-ball의 구조와 face 관계를 보존한다.

이제
$$
x\in O_0\cap O_{e_1+e_2}
$$
라고 하자. 그러면
$$
|x_1|+|x_2|+|x_3|\le 1,
$$
$$
|x_1-1|+|x_2-1|+|x_3|\le 1
$$
이다. 두 식을 더하면
$$
\bigl(|x_1|+|x_1-1|\bigr)+\bigl(|x_2|+|x_2-1|\bigr)+2|x_3|\le 2
$$
를 얻는다.

각 괄호는 각각 최소 $1$ 이상이므로 again equality가 강제되고,
$$
x_3=0,\qquad 0\le x_1\le 1,\qquad 0\le x_2\le 1
$$
를 얻는다. 첫 번째 부등식은
$$
x_1+x_2\le 1
$$
을 주고, 두 번째는
$$
(1-x_1)+(1-x_2)\le 1
\iff x_1+x_2\ge 1
$$
을 준다. 따라서
$$
x_1+x_2=1,\qquad x_3=0.
$$
즉
$$
O_0\cap O_{e_1+e_2}=\operatorname{conv} \{e_1,e_2\}.
$$
일반 경우로 돌아가면
$$
O_c\cap O_{c+s_ie_i+s_je_j}= \operatorname{conv} \{c+s_ie_i,\ c+s_je_j\},
$$
즉 공통 edge이다.

(2-c) 그 밖의 경우

위 두 경우가 아니면
$$|c-c'|_1 \gt 2 $$
이므로
$$
O_c\cap O_{c'}=\varnothing.
$$

결론적으로 $O_c\cap O_{c'}$는 항상 공집합, vertex, 또는 edge이며, 특히 공통 face이다.

(3) $\Delta_n$와 $O_c$의 경우

이는 따름정리 3.10에서 이미 분류되었다. 따라서
$$
\Delta_n\cap O_c
$$
는 공집합, vertex, 또는 triangular facet이며, 특히 공통 face이다.

이로써 모든 경우가 끝났고, 보조정리 3.11이 증명되었다. $\square$

---

3.9 maximal cells에서 전체 face complex로 내려가기

이제 남은 것은 최대 3-cells의 교집합 정보로부터 전체 face-to-face complex를 얻는 일반 보조정리이다.

보조정리 3.12

$\mathcal M$을 $\mathbb R^3$ 안의 locally finite한 convex $3$-polytopes의 집합이라 하자. 서로 다른 $P,Q\in\mathcal M$에 대하여 $P\cap Q$가 공집합이거나 $P,Q$의 공통 face라고 가정하자. 그러면 $\mathcal M$의 모든 faces의 집합은 face-to-face $3$차원 polyhedral complex를 이룬다.

증명

$\mathcal M$의 모든 faces의 집합을 $\mathcal K$라 하자. $\mathcal K$가 face-to-face $3$차원 polyhedral complex의 공리들을 만족함을 보이면 충분하다.

먼저 각 $P\in\mathcal M$는 convex $3$-polytope이므로 유한 개의 faces만 가지며, $\mathcal K$는 볼록 polytopes들로 이루어진 집합이다. 또한 $\mathcal K$의 각 셀의 face는 다시 같은 $P$의 face이므로 $\mathcal K$에 속한다. 따라서 complex 공리 가운데 faces의 포함 조건이 성립한다. 또 $\mathcal M$의 원소들은 모두 $3$차원이므로, $\mathcal K$의 maximal cells는 정확히 $\mathcal M$의 원소들이고 특히 모두 $3$차원이다.

이제 $\mathcal K$의 임의의 두 셀 $A,B$를 잡자. 각각 어떤 $P,Q\in\mathcal M$의 face라 하여
$$
A\le P,\qquad B\le Q
$$
라고 쓰자.

먼저 $P=Q$인 경우를 보자. 이때 $A$와 $B$는 같은 convex polytope $P$의 faces이므로, 잘 알려진 사실에 따라
$$
A\cap B
$$
는 공집합이거나 다시 $P$의 face이다. 따라서 $A$와 $B$의 공통 face이다.

이제 $P\neq Q$인 경우를 보자. 가정에 의해
$$
F:=P\cap Q
$$
는 공집합이거나 $P,Q$의 공통 face이다. $F=\varnothing$이면 자명하게
$$
A\cap B=\varnothing
$$
이다. 이제 $F\neq\varnothing$라고 하자. 그러면
$$
A\cap B\subset P\cap Q=F
$$
이고
$$
A\cap B=(A\cap F)\cap(B\cap F)
$$
이다.

여기서 $A\cap F$는 $A$와 $F$가 모두 $P$의 face이므로 공집합이거나 $P$의 face이다. 또한 $A\cap F\subset F$이므로, $A\cap F\neq\varnothing$이면 이는 $F$의 face이다. 따라서 $A\cap F$는 공집합이거나 $F$의 face이다. 같은 이유로 $B\cap F$도 공집합이거나 $F$의 face이다.

그러므로 둘 중 하나가 공집합이면 $A\cap B=\varnothing$이다. 둘 다 공집합이 아니면 $A\cap F$와 $B\cap F$는 $F$의 두 face이므로, 그 교집합
$$
A\cap B=(A\cap F)\cap(B\cap F)
$$
는 공집합이거나 $F$의 face이다. 특히 $A\cap B$는 $A$와 $B$의 공통 face이다.

마지막으로 local finiteness를 보이자. 임의의 compact set $K\subset\mathbb R^3$를 잡으면, $\mathcal M$의 local finiteness에 의해 $K$와 만나는 $P\in\mathcal M$는 유한 개뿐이다. 각 such $P$는 유한 개의 faces만 가지므로, $K$와 만나는 $\mathcal K$의 셀도 유한 개뿐이다. 따라서 $\mathcal K$는 locally finite하다.

이상으로 $\mathcal K$는 face-to-face $3$차원 polyhedral complex를 이룬다. $\square$

---

3.10 maximal cells의 local finiteness

보조정리 3.13
$\mathcal M:=\{\Delta_n:\ n\in\mathbb Z^3\}\cup \{O_c:\ c\in L^{\mathrm{odd}}\}$ 는 locally finite한 최대 3-cell들의 집합이다. 즉 임의의 compact set $K\subset\mathbb R^3$와 만나는 $\mathcal M$의 원소는 유한 개뿐이다.

증명
먼저 $\Delta_n\cap K\neq\varnothing$이면 $Q_n\cap K\neq\varnothing$이므로, $K$와 만나는 unit cubes의 개수만큼만 가능하다. compact set와 만나는 unit cubes는 유한 개이므로 이러한 $\Delta_n$도 유한 개다.

다음으로 $O_c\cap K\neq\varnothing$라고 하자. $x\in O_c\cap K$를 택하면
$$
|x-c|_1\le 1
$$
이므로 각 좌표에 대해 $|x_i-c_i|\le 1$이다. 따라서
$$
c\in x+[-1,1]^3\subset K+[-1,1]^3.
$$
오른쪽은 compact set이므로 그 안에 들어가는 정수점은 유한 개뿐이다. 따라서 $K$와 만나는 $O_c$도 유한 개다.

결론적으로 $K$와 만나는 $\mathcal M$의 원소는 유한 개뿐이다. $\square$

---

3.11 존재정리의 증명

이제
$$
\mathcal H_{\sqrt2}:= \{\sigma \mid \sigma \text{는 어떤 } M\in\mathcal M \text{의 face이다}\}
$$
로 두자.

정리 3.3의 증명

각 $a>0$에 대하여 defect-free periodic regular tetrahedral–octahedral complex가 존재한다. 즉
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing
$$
이다.

증명

먼저 edge length $\sqrt2$인 경우를 구성한 뒤, 마지막에 확대를 통해 일반 $a>0$의 경우를 얻는다.

1단계: $\mathcal H_{\sqrt2}$는 face-to-face $3$-차원 polyhedral complex이다.

보조정리 3.13에 의해 $\mathcal M$은 locally finite한 convex $3$-polytopes의 집합이다. 또한 보조정리 3.11에 의해 서로 다른 $M,M'\in\mathcal M$에 대하여
$$
M\cap M'
$$
는 공집합이거나 $M,M'$의 공통 face이다. 따라서 보조정리 3.12를 적용하면, $\mathcal M$의 모든 faces의 집합 $\mathcal H_{\sqrt2}$는 face-to-face $3$-차원 polyhedral complex를 이룬다.

또한 보조정리 3.4에 의해 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 maximal $3$-cells는 모두 edge length $\sqrt2$인 regular tetrahedron 또는 regular octahedron이다. 따라서
$$
\mathcal H_{\sqrt2}\in \mathfrak C_1(\sqrt2)
$$
이다.

2단계: $|\mathcal H_{\sqrt2}|=\mathbb R^3$.

임의의 $x\in\mathbb R^3$를 잡자. 그러면 어떤 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여
$$
x\in Q_n
$$
이다. 보조정리 3.5에 의해 $Q_n$는 하나의 중앙 tetrahedron $\Delta_n$와 네 개의 corner tetrahedra로 분해된다.

만약
$$
x\in \Delta_n
$$
이면 자명하게
$$
x\in |\mathcal H_{\sqrt2}|
$$
이다.

이제 $x$가 $Q_n$의 어떤 corner tetrahedron에 속한다고 하자. 그러면 보조정리 3.8에 의해 그 corner tetrahedron은 어떤 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대한 octahedron $O_c$에 포함된다. 따라서
$$
x\in O_c\subset |\mathcal H_{\sqrt2}|.
$$

결국 모든 $x\in\mathbb R^3$에 대하여
$$
x\in |\mathcal H_{\sqrt2}|
$$
이므로
$$
|\mathcal H_{\sqrt2}|=\mathbb R^3
$$
이다.

3단계: $\mathcal H_{\sqrt2}$의 모든 $2$-face는 정확히 두 개의 maximal $3$-cells에 속한다.

$\mathcal H_{\sqrt2}$의 maximal $3$-cells는 tetrahedron과 octahedron뿐이며, 이들의 $2$-faces는 모두 삼각형이다. 따라서 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 maximal $3$-cells에 속하는 $2$-faces는 모두 triangular faces이다.

먼저 $\Delta_n$의 triangular facets를 보자. $\Delta_n$의 네 꼭짓점은 $Q_n$의 네 even corners이므로, $\Delta_n$의 각 triangular facet은 $Q_n$의 정확히 하나의 odd corner $c$에 대응한다. 이 facet은 보조정리 3.5에서 $\Delta_n$와 그 odd corner $c$에 대응하는 corner tetrahedron이 공유하는 삼각형이다. 보조정리 3.8에 의해 그 corner tetrahedron은 $O_c$에 포함되므로, 이 triangular facet은 정확히 $O_c$와 공유된다.

반대로 $O_c$의 triangular facets를 보자. 보조정리 3.8에 의해 $O_c$의 각 triangular facet은 $c$를 꼭짓점으로 하는 정확히 하나의 unit cube에 대응한다. 그 cube 안에서 이 facet은 중앙 tetrahedron과 대응하는 corner tetrahedron이 공유하는 삼각형이며, 따라서 정확히 하나의 $\Delta_n$와 공유된다.

이제 보조정리 3.11의 분류를 사용하자. 서로 다른 두 tetrahedra의 교집합은 공집합, vertex, 또는 edge이므로 triangular face가 될 수 없다. 마찬가지로 서로 다른 두 octahedra의 교집합도 공집합, vertex, 또는 edge이므로 triangular face가 될 수 없다. 따라서 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 각 triangular $2$-face는 정확히 하나의 tetrahedron과 정확히 하나의 octahedron 사이에서만 공유된다.

그러므로 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 모든 $2$-face는 정확히 두 개의 maximal $3$-cells에 속한다. 따라서
$$
\mathcal H_{\sqrt2}\in \mathfrak C_2(\sqrt2)
$$
이다.

4단계: $\mathcal H_{\sqrt2}$는 periodic이다.

집합
$$
L= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 0\pmod 2\}
$$
는
$$
(1,1,0),\qquad (1,0,1),\qquad (0,1,1)
$$
을 기저로 가지는 rank $3$ lattice이다.

이제 $\lambda\in L$에 대한 평행이동
$$
T_\lambda(x):=x+\lambda
$$
를 생각하자. 그러면
$$
T_\lambda(Q_n)=Q_{n+\lambda}
$$
이고, parity가 보존되므로 $Q_n$의 even corners는 $Q_{n+\lambda}$의 even corners로 옮겨진다. 따라서
$$
T_\lambda(\Delta_n)=\Delta_{n+\lambda}
$$
이다.

또한
$$
T_\lambda(O_c)
=\operatorname{conv} \{c+\lambda\pm e_1,\ c+\lambda\pm e_2,\ c+\lambda\pm e_3\}
=O_{c+\lambda}.
$$
여기서 $c\in L^{\mathrm{odd}}$이고 $\lambda\in L$이므로 $c+\lambda\in L^{\mathrm{odd}}$이다.

따라서 모든 $\lambda\in L$에 대하여 $\mathcal M$은 $T_\lambda$ 아래에서 불변이고, 그러므로 그 모든 face들로 이루어진 $\mathcal H_{\sqrt2}$도 $L$-불변이다. 즉 $\mathcal H_{\sqrt2}$는 rank $3$ lattice $L$에 대해 periodic이다. 따라서
$$
\mathcal H_{\sqrt2}\in \mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(\sqrt2)
$$
이다.

5단계: 일반 $a>0$의 경우

이제 임의의 $a>0$를 잡고, 원점 중심의 확대
$$
S_a(x):=\frac{a}{\sqrt2}x
$$
를 적용하자. $\mathcal H_{\sqrt2}$의 각 maximal $3$-cell은 regular tetrahedron 또는 regular octahedron이므로, 그 상 $S_a(\mathcal H_{\sqrt2})$의 maximal $3$-cells는 edge length $a$인 regular tetrahedron 또는 regular octahedron이다.

또한 similarity는 faces, incidence relations, face-to-face 성질을 보존하므로
$$
\mathcal H_a:=S_a(\mathcal H_{\sqrt2})
$$
는 여전히 face-to-face $3$-차원 polyhedral complex이다. 그리고
$$
|\mathcal H_a|=S_a(|\mathcal H_{\sqrt2}|)=S_a(\mathbb R^3)=\mathbb R^3
$$
이며, 각 $2$-face가 정확히 두 maximal $3$-cells에 속하는 성질도 보존된다. 따라서
$$
\mathcal H_a\in \mathfrak C_2(a)
$$
이다.

마지막으로 $L$-periodicity는 확대에 의해
$$
\frac{a}{\sqrt2}L
$$
에 대한 periodicity로 옮겨진다. $\frac{a}{\sqrt2}L$ 역시 rank $3$ translation lattice이므로
$$
\mathcal H_a\in \mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)
$$
이다.

결국 임의의 $a>0$에 대하여
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing
$$
가 성립한다. $\square$

---

3.12 3장의 결론

3장의 결과는 다음과 같이 요약된다.
$$
\mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)=\varnothing,
\qquad
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing.
$$

즉 regular tetrahedral-only class는 defect-free 조건과 양립하지 않지만, regular tetrahedral–octahedral mixed-cell class는 defect-free periodic realization을 허용한다.

---

4장. vertex link와 국소 구면 구조에 의한 모델의 축소

4.1 vertex link의 정의

정의 4.1
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$를 잡자. $v$ 중심의 충분히 작은 반지름 $\varepsilon>0$인 구면 $S_\varepsilon(v)$를 택하여, 이 구면이 $v$를 포함하는 셀들과만 만나고 각 셀과 transverse하게 만나도록 하자. 이때 $v$를 포함하는 각 $k$-cell $\sigma\in\mathcal K$에 대해
$$
\sigma\cap S_\varepsilon(v)
$$
는 $S_\varepsilon(v)$ 위의 $(k-1)$-cell을 이룬다. 이러한 셀들로 이루어진 2차원 cell complex를 $v$의 vertex link라 하고
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)
$$
로 쓴다.

$\varepsilon$를 충분히 작게 택하면 얻어지는 cell complex의 조합형은 $\varepsilon$의 선택에 의존하지 않으며, 이를 $v$의 vertex link라 한다.

4.2 defect-free 조건 아래에서의 $S^2$-link

명제 4.2
임의의 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해, vertex link $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 지지집합은 $S^2$와 위상동형이며, 실제로 $S_\varepsilon(v)\cong S^2$ 위의 finite cell decomposition을 이룬다.

증명
local finiteness에 의해 어떤 작은 닫힌 공 $\overline{B_r(v)}$와 만나는 셀은 유한 개뿐이다. 이들 가운데 $v$를 포함하지 않는 셀들의 집합을 $\mathcal A$라 하자. 만약 $\mathcal A = \varnothing $이면, 임의의 $0 \lt \varepsilon \lt r$에 대하여 $S_\varepsilon(v)$는 $v$를 포함하지 않는 셀과 만나지 않는다.

만약 $\mathcal A \ne \varnothing $라고 하자. 각 $\tau\in\mathcal A$는 닫힌 집합이고 $v\notin\tau$이므로
$$
d(v,\tau)>0
$$
이다. $\mathcal A$가 유한하므로
$$
\delta:=\min_{\tau\in\mathcal A} d(v,\tau)>0
$$
이다. 따라서
$$
0<\varepsilon<\min \{r,\delta \}
$$
로 잡으면 $S_\varepsilon(v)$는 $v$를 포함하지 않는 어떤 셀과도 만나지 않는다. 즉 $S_\varepsilon(v)$는 오직 $v$를 포함하는 셀들과만 만난다.

이제 $v$를 포함하는 각 셀 $\sigma$에 대해 $\sigma\cap S_\varepsilon(v)$를 생각하자. $\sigma$는 볼록 polytope이고 $v \in \sigma$이므로, $\sigma\cap S_\varepsilon(v)$는 $S_\varepsilon(v)$ geodesically convex spherical polytope이다. 따라서 이는 하나의 spherical cell을 이룬다. 또한 face-to-face 조건 때문에 서로 다른 두 셀 $\sigma,\sigma'$에 대해
$$
(\sigma\cap S_\varepsilon(v))\cap(\sigma'\cap S_\varepsilon(v))
=(\sigma\cap\sigma')\cap S_\varepsilon(v)
$$
는 공집합이거나 공통 spherical face이다.

한편 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이므로 $|\mathcal K|=\mathbb R^3$, 따라서
$$
S_\varepsilon(v)\subset |\mathcal K|.
$$
그러므로 위의 spherical cells는 $S_\varepsilon(v)$ 전체를 덮는다. 또 $S_\varepsilon(v)$와 만나는 셀은 유한 개뿐이므로 이는 finite cell decomposition이다. 따라서 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 지지집합은 $S_\varepsilon(v)\cong S^2$와 위상동형이다. $\square$

4.3 tet–oct complex의 vertex link 구조

이제 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$를 고정하자. $v$에 incident한 각 3-cell은 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$ 위에 하나의 2-cell을 남긴다.

• regular tetrahedron은 vertex figure로 삼각형을 준다.
• regular octahedron은 vertex figure로 사각형을 준다.

따라서 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$는 삼각형과 사각형으로 이루어진 $S^2$의 finite cellulation이 된다.

4.4 기본 계수 관계

$v\in V(\mathcal K)$에 incident한 tetrahedra의 개수를 $t_v$, octahedra의 개수를 $o_v$라 하자. 또한 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 vertex, edge, face 수를 각각
$$
f_0(v),\quad f_1(v),\quad f_2(v)
$$
라 하자.

그러면
$$
f_2(v)=t_v+o_v
$$
이고, face-edge incidence를 세면
$$
3t_v+4o_v=2f_1(v)
$$
가 성립한다.

또한 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong S^2$이므로 Euler 공식
$$
f_0(v)-f_1(v)+f_2(v)=2
$$
가 성립한다. 따라서
$$
f_1(v)=\frac{3t_v+4o_v}{2},
\qquad
f_0(v)=2+\frac{t_v}{2}+o_v.
$$

이제 link의 vertices는 원래 복합체에서 $v$에 incident한 edges와 정확히 대응하므로
$$
f_0(v)=\deg(v).
$$
따라서 다음을 얻는다.

정리 4.3
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
\deg(v)=2+\frac{t_v}{2}+o_v
$$
가 성립한다.

따름정리 4.4
모든 $v\in V(\mathcal K)$에 대해 $t_v$는 짝수이다.

증명
$\deg(v)\in\mathbb Z$이므로 $\frac{t_v}{2}\in\mathbb Z$이어야 한다. $\square$

4.5 edge 수준의 각도 제약

정의 4.5
$e\in E(\mathcal K)$를 잡고, $e$에 incident한 tetrahedra의 개수를 $t_e$, octahedra의 개수를 $o_e$라 하자.

regular octahedron의 이면각을
$$
\alpha_{\mathrm{oct}}:=\arccos(-1/3)=\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}
$$
로 둔다.

정리 4.6
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $e\in E(\mathcal K)$에 대해
$$
t_e=2,\qquad o_e=2
$$
가 성립한다.

증명
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이므로 $e$는 interior edge이고, 명제 2.10에 의해 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다. 따라서
$$
t_e\alpha_{\mathrm{tet}}+o_e\alpha_{\mathrm{oct}}=2\pi.
$$
여기에 $\alpha_{\mathrm{oct}}=\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}$를 대입하면
$$
(t_e-o_e)\alpha_{\mathrm{tet}}=(2-o_e)\pi
$$
를 얻는다.

이제 경우를 나눈다.

• $o_e=0$이면 $t_e\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi$가 되어 보조정리 3.1에 모순이다.
• $o_e=1$이면 $(t_e-1)\alpha_{\mathrm{tet}}=\pi$가 된다. 그런데
  $$
  \frac{\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}}\in \left(\frac52,3\right)
  $$
  이므로 불가능하다.
• $o_e=2$이면 $(t_e-2)\alpha_{\mathrm{tet}}=0$이므로 $t_e=2$.
• $o_e=3$이면 $(3-t_e)\alpha_{\mathrm{tet}}=\pi$가 되어 역시 불가능하다.
• $o_e=4$이면 $(4-t_e)\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi$가 되어 보조정리 3.1에 모순이다.
• $o_e\ge 5$이면
  $$
  t_e=o_e-(o_e-2)\frac{\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}}<0
  $$
  가 되어 불가능하다.

따라서 가능한 경우는 오직
$$
t_e=2,\qquad o_e=2
$$
뿐이다. $\square$

따름정리 4.7
$\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 각 vertex는 정확히 4개의 faces와 만난다. 더 나아가 그 4개의 face 가운데 정확히 2개는 삼각형이고 2개는 사각형이다.

증명
$\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 한 vertex는 원래 복합체에서 $v$에 incident한 하나의 edge $e$에 대응한다. 이 link-vertex에 incident한 faces의 개수는 $e$에 incident한 3-cells의 개수와 같고, 정리 4.6에 의해 그것은 $2+2=4$이다. 또한 tetrahedra에서 온 faces가 2개, octahedra에서 온 faces가 2개이므로 결론이 성립한다. $\square$

4.6 vertex 수준의 추가 축소

정리 4.8
임의의 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
t_v=8
$$
가 성립한다.

증명
따름정리 4.7에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 모든 vertex의 차수는 4이다. 따라서
$$
2f_1(v)=4f_0(v),
\qquad\text{즉}\qquad
f_1(v)=2f_0(v).
$$

한편
$$
2f_1(v)=3t_v+4o_v
$$
이고, 정리 4.3에서
$$
f_0(v)=2+\frac{t_v}{2}+o_v
$$
이다. 따라서
$$
3t_v+4o_v
=2f_1(v)
=4f_0(v)
=4\left(2+\frac{t_v}{2}+o_v\right)
=8+2t_v+4o_v.
$$
따라서
$$
t_v=8.
$$
$\square$

따름정리 4.9
임의의 $v\in V(\mathcal K)$에 대하여
$$
o_v=6,\qquad
\deg(v)=12,\qquad
f_0(v)=12,\qquad
f_1(v)=24,\qquad
f_2(v)=14
$$
가 성립한다.

증명
따름정리 4.7에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

먼저 triangle–vertex incidence를 세면
$$
3t_v=2f_0(v)
$$
가 성립한다. 정리 4.8에 의해 $t_v=8$이므로
$$
24=2f_0(v),
\qquad\text{따라서}\qquad
f_0(v)=12.
$$

다음으로 square–vertex incidence를 세면
$$
4o_v=2f_0(v)=24
$$
이므로
$$
o_v=6.
$$

이제
$$
f_2(v)=t_v+o_v=8+6=14
$$
이고,
$$
2f_1(v)=3t_v+4o_v=3\cdot 8+4\cdot 6=48
$$
이므로
$$
f_1(v)=24.
$$

마지막으로 link의 vertices는 원래 복합체에서 $v$에 incident한 edges와 정확히 대응하므로
$$
\deg(v)=f_0(v)=12.
$$
증명이 끝났다. $\square$

4.7 4장의 결론

defect-free tet–oct complex의 각 vertex link는 다음 조건을 만족하는 triangle–square spherical figure이다.

1. underlying space가 $S^2$이다.
2. 삼각형 face가 정확히 $8$개이다.
3. 사각형 face가 정확히 $6$개이다.
4. $(f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)$이다.
5. 각 vertex의 차수는 $4$이다.
6. 각 vertex에는 삼각형 $2$개와 사각형 $2$개가 만난다.

따라서 분류 문제는 다음의 국소 문제로 축소된다.

"어떤 triangle–square cellulation of $S^2$가 위 조건을 만족하며, 실제로 defect-free regular tetrahedral–octahedral complex의 vertex link로 실현되는가?"

---

5장. Vertex-uniform 조건과 구면 vertex figure에 의한 분류 틀

5.1 일반 차원에서의 spherical vertex figure

정의 5.1
$\mathcal K$를 $\mathbb R^d$ 안의 pure face-to-face polyhedral complex라 하자. $v\in V(\mathcal K)$에 대해, $v$ 중심의 충분히 작은 구면과의 교차로 얻어지는 link가 $S^{d-1}$ 위의 finite cell decomposition을 이룰 때, 그 $(d-1)$-차원 cell complex를 $v$의 spherical vertex figure라 한다.

정의 5.2
$d$-차원 복합체 $\mathcal K$가 vertex-uniform이라는 것은, 어떤 고정된 $(d-1)$-차원 spherical cell complex $\Sigma$가 존재하여 모든 vertex $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong \Sigma
$$
가 성립함을 뜻한다. 여기서 $\cong$은 Cell complex의 조합적 동형을 뜻한다. 이때 $\Sigma$를 $\mathcal K$의 vertex figure type이라 한다.

3차원에서는 $\mathfrak C_2(a)$ 안의 vertex-uniform 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak C_3(a)\subset \mathfrak C_2(a)
$$
로 쓴다.

5.2 3차원 tet–oct complex의 vertex figure

4장에서 보았듯이, 임의의 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$는 $S^2$의 finite cellulation이며, 그 faces는 삼각형과 사각형뿐이다.

정의 5.3
삼각형 face와 사각형 face만으로 이루어진 $S^2$의 finite cellulation $\Sigma$를 triangle–square spherical figure라 한다.

정의 5.4
triangle–square spherical figure $\Sigma$에 대하여,

• 삼각형 face의 수를 $t(\Sigma)$,
• 사각형 face의 수를 $o(\Sigma)$,

라 하고, $\Sigma$의 $i$-cell 개수를
$$
f_i(\Sigma)\qquad (i=0,1,2)
$$
로 쓴다.

5.3 vertex figure type에 따른 부분 클래스

정의 5.5
triangle–square spherical figure $\Sigma$가 주어졌을 때,
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)
$$
를 다음 조건을 만족하는 복합체들의 집합으로 정의한다.

1. $\mathcal K\in \mathfrak C_3(a)$,
2. 모든 vertex $v\in V(\mathcal K)$에 대해
   $$
   \operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong \Sigma.
   $$

관찰 5.6
$$
\mathfrak C_3(a)=\bigcup_{\Sigma}\mathfrak C_3(a;\Sigma),
$$
여기서 합집합은 모든 triangle–square spherical figure $\Sigma$의 동형류에 대해 취한다. 또한 $\Sigma\not\cong \Sigma'$이면
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\cap \mathfrak C_3(a;\Sigma')=\varnothing
$$
이다.

따라서 vertex-uniform class의 분류 문제는 자연스럽게 다음 문제로 환원된다.

"어떤 triangle–square spherical figure $\Sigma$에 대해 $ \mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing $ 인가?

5.4 admissibility와 realizability

정의 5.7
triangle–square spherical figure $\Sigma$가 admissible하다는 것은 다음 조건을 만족함을 뜻한다.

$$
t(\Sigma)=8,\qquad o(\Sigma)=6.
$$

• 모든 vertex의 차수는 $4$이다.
• 각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

정의 5.8
admissible spherical figure $\Sigma$가 realizable하다는 것은 어떤 $a>0$에 대하여
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing
$$
가 성립함을 뜻한다.

앞의 확대 논법에 의해, 이는 동치적으로 모든 $a>0$에 대하여
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing
$$
가 성립함과 같다.

즉 admissibility는 4장에서 얻은 국소 조합적 필요조건을 뜻하고, realizability는 그러한 spherical figure가 실제 defect-free regular tetrahedral–octahedral complex의 vertex figure로 실현됨을 뜻한다.

5.5 realizable spherical figure의 필수 조건

정리 5.9
$\Sigma$가 어떤 $a>0$에 대해 realizable하다고 하자. 즉,
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing
$$
라 하자. 그러면 $\Sigma$는 admissible이며, 더 나아가
$$
t(\Sigma)=8,\qquad
o(\Sigma)=6,\qquad
(f_0(\Sigma),f_1(\Sigma),f_2(\Sigma))=(12,24,14)
$$
를 만족한다.

증명
$\mathcal K\in\mathfrak C_3(a;\Sigma)$를 잡고 $v\in V(\mathcal K)$를 택하자. 그러면
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong \Sigma
$$
이다.

명제 4.2에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 underlying space는 $S^2$와 위상동형이다. 그런데 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong\Sigma$이므로 $\Sigma$의 underlying space도 $S^2$와 위상동형이다. 또한 4.3절의 관찰에 의해 모든 2-faces는 삼각형 또는 사각형이다. 더 나아가 따름정리 4.7, 정리 4.8, 따름정리 4.9에 의해
$$
t(\Sigma)=8,\qquad
o(\Sigma)=6,\qquad
(f_0(\Sigma),f_1(\Sigma),f_2(\Sigma))=(12,24,14),
$$
그리고 $\Sigma$의 각 vertex의 차수는 $4$이며 각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

이는 정의 5.7의 admissibility 조건을 정확히 뜻한다. 따라서 $\Sigma$는 admissible이며 위 계수 조건도 만족한다. $\square$

5.6 표준 realizable 예와 분류 문제

정리 5.10.
모든 $a>0$에 대하여
\[
\mathfrak C_3(a;\Sigma_{\mathrm{co}})\neq\varnothing
\]
이다. 특히 cuboctahedral spherical figure $\Sigma_{\mathrm{co}}$는 realizable하다.

증명.
3장 정리 3.3에서 구성한 표준 periodic regular tetrahedral–octahedral complex를 $\mathcal H_a$라 하자. 먼저 $a=\sqrt2$인 경우를
\[
\mathcal H:=\mathcal H_{\sqrt2}
\]
로 쓴다. 마지막에 스케일링으로 일반 $a$의 경우를 얻는다.

먼저 $\mathcal H$의 vertex 집합이
\[
L= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 0\pmod 2\}
\]
와 정확히 일치함을 보이자.

$\mathcal H$의 maximal $3$-cell은 어떤 $\Delta_n$ 또는 어떤 $O_c$이다. $\Delta_n$ 의 꼭짓점들은 $Q_n$의 even corners이므로 모두 $L$에 속한다. 또한 $O_c$의 꼭짓점들은
\[
c\pm e_1,\qquad c\pm e_2,\qquad c\pm e_3
\]
인데 $c\in L^{\mathrm{odd}}$이므로 이들 역시 모두 $L$에 속한다. 따라서
\[
V(\mathcal H)\subset L
\]
이다.

반대로 임의의 $v\in L$를 잡자. $v$는 unit cube
\[
Q_v=v+[0,1]^3
\]
의 even corner이고, 따라서 그 중앙 tetrahedron $\Delta_v$의 꼭짓점이다. 그러므로
\[
v\in V(\mathcal H).
\]
즉
\[
L\subset V(\mathcal H).
\]
결론적으로
\[
V(\mathcal H)=L
\]
이다.

이제 $\lambda\in L$에 대한 평행이동 $T_\lambda(x)=x+\lambda$는 $\mathcal H$를 자기 자신으로 보낸다. 특히 임의의 $v\in V(\mathcal H)=L$에 대하여 $T_v$는 $0$을 $v$로 보내며 $\mathcal H$를 보존하므로, $T_v$는
\[
\operatorname{Lk}{\mathcal H}(0)\cong \operatorname{Lk}{\mathcal H}(v)
\]
를 유도한다. 따라서 모든 vertex link는 조합적으로 서로 동형이고, 원점에서의 link만 계산하면 충분하다.

이제 원점 $0$에 incident한 edges를 결정하자.
\[
N:= \{(\pm1,\pm1,0),\ (\pm1,0,\pm1),\ (0,\pm1,\pm1) \}
\]
라 두자.

먼저 $0$을 꼭짓점으로 갖는 tetrahedra를 보자. 원점을 꼭짓점으로 갖는 unit cube는 정확히 여덟 개이며, 이는 각 $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\in \{\pm1\}^3$에 대하여
\[
Q_\varepsilon:=\prod_{i=1}^3 I_i^{\varepsilon_i},
\qquad
I_i^{+}=[0,1],\quad I_i^{-}=[-1,0]
\]
의 꼴로 주어진다. 각 $Q_\varepsilon$에서 $0$은 even corner이고, 그 중앙 tetrahedron은
\[
\Delta_\varepsilon
:=
\operatorname{conv}\bigl{
0,,
(\varepsilon_1,\varepsilon_2,0),,
(\varepsilon_1,0,\varepsilon_3),,
(0,\varepsilon_2,\varepsilon_3)
\bigr}
\]
이다. 따라서 $0$을 꼭짓점으로 갖는 중앙 tetrahedron은 정확히 이 여덟 개이고, 이들에서 $0$과 edge로 연결되는 다른 꼭짓점들은 모두 $N$에 속한다.

다음으로 $0$을 꼭짓점으로 갖는 octahedron을 보자. $O_c$의 꼭짓점은
\[
c\pm e_1,\qquad c\pm e_2,\qquad c\pm e_3
\]
이므로 $0\in V(O_c)$이려면 $c=\pm e_i$여야 한다. 따라서 $0$을 꼭짓점으로 갖는 octahedron은 정확히
\[
O_{e_1},\ O_{-e_1},\ O_{e_2},\ O_{-e_2},\ O_{e_3},\ O_{-e_3}
\]
의 여섯 개이다. 예를 들어 $O_{e_1}$에서 $0$과 edge로 연결되는 꼭짓점들은
\[
(1,1,0),\ (1,-1,0),\ (1,0,1),\ (1,0,-1)
\]
이고, 이들 역시 모두 $N$에 속한다. 나머지 다섯 경우도 완전히 동일하다.

이제 $\mathcal H$의 임의의 edge가 $0$에 incident하다고 하자. 그 edge는 어떤 $0$에 incident한 maximal $3$-cell의 edge여야 하므로, 위 분류에 의해 그 다른 끝점은 반드시 $N$에 속한다. 반대로 각 $p\in N$는 위의 여덟 tetrahedron 가운데 적어도 하나의 꼭짓점이므로 $[0,p]$는 실제로 $\mathcal H$의 edge이다. 따라서
\[
V\bigl(\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)\bigr)
\]
는 정확히 $N$과 대응한다.

이제
\[
P:=\operatorname{conv}(N)
\]
라 두자. 한편
\[
C:=[-1,1]^3\cap{x\in\mathbb R^3:\ |x_1|+|x_2|+|x_3|\le 2}
\]
라 두면 $N\subset C$이므로 $P\subset C$이다. 반대로 $C$의 vertex를 잡자. $C$는 선형부등식들의 유한 교집합이므로 그 vertex는 세 개의 독립적인 경계초평면의 교점이다. 이때 $|x_1|+|x_2|+|x_3|\le 2$와 $|x_i|\le 1$의 조합을 보면, vertex에서는 정확히 두 좌표가 $\pm1$이고 나머지 한 좌표는 $0$이어야 한다. 따라서 $C$의 vertex들은 정확히 $N$이다. 그러므로
\[
C=\operatorname{conv}(N)=P.
\]
즉
\[
P=[-1,1]^3\cap \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1|+|x_2|+|x_3|\le 2 \},
\]
따라서 $P$는 표준 cuboctahedron이다.

$P$의 facet들은 정확히 다음 $14$개이다.

삼각형 facet:
\[
T_\varepsilon
:=
P\cap \{x\in\mathbb R^3:\ \varepsilon_1x_1+\varepsilon_2x_2+\varepsilon_3x_3=2 \},
\qquad
\varepsilon\in \{\pm1\}^3,
\]
사각형 facet:
\[
S_{i,\sigma}
:=
P\cap \{x\in\mathbb R^3:\ x_i=\sigma \},
\qquad
i\in \{1,2,3\},\ \sigma\in \{\pm1\}.
\]

각 $T_\varepsilon$의 꼭짓점은
\[
(\varepsilon_1,\varepsilon_2,0),\qquad
(\varepsilon_1,0,\varepsilon_3),\qquad
(0,\varepsilon_2,\varepsilon_3)
\]
이고, 각 $S_{i,\sigma}$의 꼭짓점은 각각
\[
S_{1,\sigma}:\ (\sigma,1,0),\ (\sigma,-1,0),\ (\sigma,0,1),\ (\sigma,0,-1),
\]
\[
S_{2,\sigma}:\ (1,\sigma,0),\ (-1,\sigma,0),\ (0,\sigma,1),\ (0,\sigma,-1),
\]
\[
S_{3,\sigma}:\ (1,0,\sigma),\ (-1,0,\sigma),\ (0,1,\sigma),\ (0,-1,\sigma)
\]
이다.

이제 충분히 작은 $\rho>0$를 택하여 $\operatorname{Lk}{\mathcal H}(0)$를 구면 $S\rho(0)$ 위에서 실현하자. $0$은 $P$의 내부점이므로 radial projection
\[
r_\rho:\partial P\to S_\rho(0),\qquad
r_\rho(x)=\rho \frac{x}{|x|}
\]
는 $\partial P$를 $S\rho(0)$ 위의 spherical cellulation으로 보내는 cell-complex 동형을 준다.

이제 $\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)$의 $2$-cells를 계산한다.

먼저 incident tetrahedron $\Delta_\varepsilon$에 대하여,
\[
\Delta_\varepsilon=\operatorname{conv}\bigl(0,T_\varepsilon\bigr)
\]
이므로
\[
\Delta_\varepsilon\cap S_\rho(0)=r_\rho(T_\varepsilon)
\]
이다. 따라서 $\Delta_\varepsilon$는 link 위에 정확히 하나의 spherical triangle $r_\rho(T_\varepsilon)$를 남긴다.

다음으로 incident octahedron $O_{\sigma e_i}$를 보자. 예를 들어 $i=1,\sigma=1$이면
\[
O_{e_1} \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1-1|+|x_2|+|x_3|\le 1\}.
\]
$\rho<1/2$로 택하면 $B_\rho(0)$ 안에서는 항상 $x_1<1$이므로 $|x_1-1|=1-x_1$이고, 따라서
\[
O_{e_1}\cap B_\rho(0) \{x\in B_\rho(0):\ |x_2|+|x_3|\le x_1\}.
\]
이 집합은 원점에서 사각형
\[
S_{1,1}=\operatorname{conv} \{(1,1,0),(1,-1,0),(1,0,1),(1,0,-1)\}
\]
위로 뻗는 cone과 정확히 같다. 그러므로
\[
O_{e_1}\cap S_\rho(0)=r_\rho(S_{1,1})
\]
이다. 나머지 $O_{\sigma e_i}$들에 대해서도 완전히 같은 계산으로
\[
O_{\sigma e_i}\cap S_\rho(0)=r_\rho(S_{i,\sigma})
\]
를 얻는다. 따라서 각 incident octahedron은 link 위에 정확히 하나의 spherical quadrilateral $r_\rho(S_{i,\sigma})$를 남긴다.

결국 $\operatorname{Lk}{\mathcal H}(0)$의 $2$-cells는 정확히
\[
\{ r\rho(T_\varepsilon):\ \varepsilon\in \{\pm1\}^3 \}
\cup
\{ r_\rho(S_{i,\sigma}):\ i=1,2,3,\ \sigma=\pm1 \}
\]
이다. 즉 $\operatorname{Lk}{\mathcal H}(0)$는 $\partial P$의 radial projection으로 얻어지는 spherical cellulation과 정확히 일치한다. 그런데 $\partial P$는 cuboctahedron의 boundary cellulation이므로
\[
\operatorname{Lk}{\mathcal H}(0)\cong \Sigma_{\mathrm{co}}.
\]

앞에서 보인 $L$-평행이동 불변성에 의해 임의의 $v\in V(\mathcal H)=L$에 대하여
\[
\operatorname{Lk}{\mathcal H}(v)\cong \Sigma{\mathrm{co}}
\]
가 성립한다. 따라서 $\mathcal H$는 vertex-uniform이고
\[
\mathcal H\in \mathfrak C_3(\sqrt2;\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
이다.

마지막으로 임의의 $a>0$에 대하여 확대
\[
S_a(x):=\frac{a}{\sqrt2}x
\]
를 적용하자. similarity는 face-to-face 성질과 incidence 관계를 보존하므로
\[
S_a(\mathcal H)\in \mathfrak C_2(a)
\]
이며, 각 vertex link의 조합형도 보존된다. 따라서
\[
S_a(\mathcal H)\in \mathfrak C_3(a;\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
이다. 그러므로
\[
\mathfrak C_3(a;\Sigma_{\mathrm{co}})\neq\varnothing
\]
가 성립한다. 특히 $\Sigma_{\mathrm{co}}$는 realizable하다. $\square$