Qaether 연구일지

1. 가장 먼저: 우리는 무엇을 하고 싶은가?어떤 도형이 있다고 합시다.예를 들면점점과 점을 잇는 선분선분들이 둘러싸는 삼각형, 사각형이런 것들로 이루어진 도형입니다.수학에서는 이런 조각들을 가지고 도형을 기록합니다.점 = 0차원 조각선분 = 1차원 조각면(삼각형, 사각형) = 2차원 조각이런 조각들을 모아놓은 것을 아주 거칠게 말하면 cell complex라고 생각하면 됩니다.2. 왜 점, 선, 면을 따로 보나?도형을 볼 때 그냥 “모양”만 보는 게 아니라,어떤 점들이 있는지어떤 선들이 있는지어떤 면들이 있는지무엇이 무엇의 경계인지를 알고 싶기 때문입니다.예를 들어 삼각형 하나가 있으면:꼭짓점 3개변 3개면 1개가 있고, 그 면의 경계는 변 3개입니다.즉, 큰 조각은 작은 조각들로 둘러싸여 있다는 관계..

0. 표기·가정 (공통)\( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프2–셀 \( F \):사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.사슬군 및 경계사상\[C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1\]각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는\[\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }\]한 엣지 \( e \)의 국소 스타..

1. 사슬(chain)과 경계(boundary)1.1 셀 복합체의 기본 아이디어격자나 다면체를 다룰 때, 다음과 같이 정의할 수 있다.0–(차원) 셀 = 점(vertex)1–(차원) 셀 = 선분(edge)2–(차원) 셀 = 면(face)3–(차원) 셀 = 부피(volume)이 셀들을 정수 계수로 선형 결합한 것이 사슬(chain)이다.예를 들어,\[c = e_1 + e_2 - e_3\]는 세 개의 엣지를 더하거나 빼서 만든 1–사슬.이 사슬을 결합할때 ‘–’ 부호는 방향을 바꿨다는 뜻으로 점은 방향이 없고, 선분은 방향을 가질 수 있으며, 면의 경우는 경계의 회전방향으로 방향을 결정하고 부피의 경우는 기본 축으로 결정. 1.2 경계 연산자 \( \partial \)각 셀은 모두 다음과 같이 자신의 경계를..

사슬군과 경계사상 \(\partial_k\)이 실제로 어떻게 작동하는지 확인하기 위해 FCC 격자의 국소 단위체인 정팔면체(octahedron)를 예로 들어보자.1. 정팔면체의 셀 구조정팔면체는 다음으로 구성됩니다:꼭짓점(0–셀): 6개\[V=\{\pm x,\pm y,\pm z\}\]엣지(1–셀): 12개각 축 방향 쌍 사이를 잇는 선분들.예: \((+x,+y), (+x,-y), (+x,+z), (+x,-z), \dots\)면(2–셀): 8개 삼각형예: \(T_{+x,+y,+z}\)는 꼭짓점 \(+x,+y,+z\)로 이루어진 삼각면.체적(3–셀): 1개 (전체 정팔면체)즉,\[C_0 = \mathbb Z^6,\quadC_1 = \mathbb Z^{12},\quadC_2 = \mathbb Z^{8},\qu..