[v2.4] Qaether 이론의 시간 연구 방법론 변경

사이클 중심의 시간에서 인과적 역사 중심의 시간으로

Qaether 이론에서 시간을 어떻게 정의할 것인가는 지금까지 가장 어려운 연구 주제 중 하나였습니다.

기존에는 삼각 사이클과 사각 사이클에서 발생하는 반복적인 상태변화를 시간의 최소 단위로 보고, 이러한 국소적인 맥박이 누적되고 서로 정렬되면서 거시적인 시간이 창발한다는 방향으로 연구해 왔습니다.

그러나 최근 이 구조를 다시 검토하면서, 시간을 측정하는 물리적 시계와 사건의 선후관계를 규정하는 인과질서를 먼저 분리해야 한다는 결론에 도달했습니다. (CDT 이론이 큰 도움을 줬습니다.)

따라서 앞으로 Qaether의 시간 연구는 '사이클 시계가 먼저인 방법’에서 ‘인과적으로 허용되는 역사가 먼저인 방법’으로 중심을 옮기려고 합니다.

쉽게 말하면, 이전에는 “사이클이 반복되기 때문에 시간이 생긴다”고 생각했다면, 이제는 먼저 “어떤 변화의 연속이 인과적으로 허용되는가”를 정의하고, 그 허용된 역사 안에서 사이클의 반복을 시간 측정 장치로 사용하려는 것입니다.

 

1. 기존의 시간 연구 방향

Qaether의 각 vertex는 쿼터니언 상태를 가지며, edge의 상대 위상은 양 끝 vertex의 상태 차이에서 유도됩니다.

인접한 vertex들의 상태가 변화하면 edge-relative phase pattern도 변합니다. 기존에는 이 변화가 닫힌 cycle 위에서 하나의 완결된 순환을 이루었을 때 이를 하나의 local tick으로 해석하려고 했습니다.

삼각 사이클은 세 개의 edge로 이루어져 있으므로 세 단계의 상태변화를 하나의 triangle tick으로, 사각 사이클은 네 개의 edge로 이루어져 있으므로 네 단계의 상태변화를 하나의 square tick으로 보는 방식이었습니다.

특히 O-motif에는 서로 직교하는 세 개의 사각 사이클이 있습니다. 각 사각 채널에서 발생하는 winding event를 누적하면, O-motif가 자기 내부에서 세는 고유한 시계량을 정의할 수 있다고 생각했습니다.

이 아이디어의 직관 자체는 여전히 의미가 있습니다.

우리가 실제로 시간을 측정할 때도 진동, 회전, 공전과 같은 반복적인 물리현상을 이용합니다. 시계의 현재 상태만 보는 것이 아니라, 그 반복이 몇 번 누적되었는지를 세어 단조롭게 증가하는 시간으로 바꾸기 때문입니다.

그러나 이 접근에는 먼저 해결해야 할 논리적인 문제가 있었습니다.

 

2. 사이클만으로 시간의 순서를 정의할 수 있는가

사이클의 반복으로 시간을 정의하려면 이미 ‘첫 번째 변화’, ‘두 번째 변화’, ‘한 바퀴를 돈 뒤’, ‘이전 상태’, ‘다음 상태’와 같은 표현을 사용해야 합니다.

그런데 이러한 표현은 이미 사건들 사이에 선후관계가 존재한다는 것을 전제합니다.

사각 사이클의 상태가 네 단계를 거쳐 원래 상태로 돌아온다고 말하려면, 먼저 그 네 상태가 어떤 순서로 진행되는지를 알고 있어야 합니다.

결국 사이클의 순환으로 시간의 순서를 정의하려 하면서, 동시에 순서가 부여된 상태 갱신을 사용하게 됩니다. 이것은 완전한 모순은 아니지만 약한 순환논리를 포함합니다.

또한 사각형이 네 개의 edge를 가진다고 해서 내부 상태가 반드시 네 단계로 순환하는 것도 아닙니다.

사각 사이클이라는 것은 우선 정적인 graph incidence에 관한 사실입니다. 네 개의 vertex가 사각형의 연결구조를 가진다는 사실만으로, 상태가 네 단계를 거쳐 주기적으로 돌아온다는 동역학이 자동으로 따라오지는 않습니다.

삼각 사이클도 마찬가지입니다. 삼각형에 세 edge가 존재한다는 사실과 내부 상태가 정확히 세 단계의 최소주기를 가진다는 주장은 서로 다른 문제입니다.

따라서 기존의 triangle tick과 square tick은 가능한 clock model이었지만, 정적 Qaether 구조에서 필연적으로 도출된 시간의 정의는 아니었습니다.

 

3. 공식 Qaether v2.4가 실제로 정의하는 범위

공식 Qaether v2.4는 정적 boundary-graph 이론입니다.

현재 공식 구조에서 Qaether는 vertex이고, primitive bond는 edge입니다. T-motif는 정사면체형 경계 그래프이며, O-motif는 정팔면체형 경계 그래프입니다.

O-motif는 세 쌍의 마주 보는 vertex, 세 개의 서로 직교하는 사각 boundary cycle, 그리고 여덟 개의 삼각 boundary cycle을 가집니다.

이때 T-motif와 O-motif는 채워진 입체가 아니라 vertex와 edge, 그리고 선택된 boundary cycle incidence로 정의된 구조입니다.

또한 edge-relative phase는 vertex의 쿼터니언 상태에서 유도됩니다. 독립적인 link gauge variable을 두지 않기 때문에 닫힌 cycle을 따라 계산되는 전체 유도 holonomy는 항상 평탄합니다.

따라서 Qaether에서 시간, 스핀, 전하 또는 O-motif의 지속성을 Wilson-loop flux에서 직접 얻을 수는 없습니다.

공식 v2.4에는 아직 O-motif가 시간에 따라 어떻게 생성되고, 유지되고, 변형되고, 붕괴하는지를 결정하는 전이법칙도 포함되어 있지 않습니다.

그러므로 정적인 O-motif의 구조만으로 “O-motif가 시간방향으로 계속 존재한다”는 결론을 내릴 수 없습니다.

앞으로는 이 문제를 두 단계로 분리하려고 합니다.

먼저 O-motif가 하나의 인과적 역사에 어떻게 참여하는지를 정의합니다.

그다음 그 참여가 다음 단계로 어떻게 이어져 동일한 particle-like structure를 구성하는지를 정의합니다.

첫 번째는 kinematics의 문제이고, 두 번째는 dynamics의 문제입니다.

 

4. 새로운 출발점은 인과적으로 허용되는 역사다

새로운 방법에서는 먼저 Qaether 상태들의 모든 변화가 아니라, 인과적으로 허용되는 변화의 역사만을 선택합니다.

각 사건에는 자신이 인과적 구조에서 어느 단계에 놓이는지를 나타내는 순서표지를 부여할 수 있습니다. 그러나 이 표지는 외부에서 실제로 흐르는 절대시간을 뜻하지 않습니다.

그 역할은 어떤 사건이 다른 사건보다 먼저 또는 나중에 놓여야 하는지를 기록하는 것입니다.

따라서 물리적으로 중요한 것은 시간좌표의 숫자 자체가 아니라, 사건들 사이의 ‘먼저 일어남’과 ‘나중에 일어남’이라는 부분순서입니다.

인과적으로 연결된 사건은 반드시 앞선 단계에서 뒤의 단계로 진행해야 하며, 시간방향으로 되돌아와 자신에게 도달하는 causal loop는 허용하지 않습니다.

이 점에서 CDT의 방법론을 참고할 수 있습니다.

Qaether가 CDT와 같은 simplex 이론이 된다는 뜻은 아닙니다. 가져오려는 것은 simplex 자체가 아니라, 가능한 모든 결합을 허용하지 않고 인과적 구조와 접합규칙을 이용해 허용 가능한 history의 범위를 선택하는 방식입니다.

즉, 시간의 길이를 먼저 정의하는 것이 아니라, 시간방향으로 어떤 역사가 허용되는지를 먼저 결정합니다.

 

5. O-motif를 하나의 causal block으로 읽는 방법

O-motif에는 세 쌍의 마주 보는 vertex가 있습니다.

그중 하나를 시간방향의 pair로 선택하면, 하나는 과거 쪽 apex가 되고 다른 하나는 미래 쪽 apex가 됩니다. 나머지 네 vertex는 두 apex 사이의 중간 사각 사이클을 구성합니다.

그러면 하나의 O-motif를 ‘과거 apex에서 중간 square를 거쳐 미래 apex로 이어지는 구조’로 읽을 수 있습니다.

이 구조를 causal O-block이라고 부르려고 합니다.

중간의 사각 사이클은 채워진 면이 아닙니다. 공식 v2.4와 마찬가지로 네 개의 vertex와 네 개의 edge로 이루어진 boundary cycle입니다.

또한 O-motif가 가진 여덟 개의 삼각 boundary cycle은 선택된 시간축을 기준으로 네 개의 아래쪽 삼각 사이클과 네 개의 위쪽 삼각 사이클로 나뉩니다.

이 분해는 별도의 힘이나 상태 갱신을 가정하지 않아도 가능합니다. O-motif의 그래프 구조와 시간축으로 선택한 opposite pair만으로 얻을 수 있는 조합론적 결과입니다.

다만 여기서 중요한 점이 있습니다.

정적 O-motif는 세 개의 opposite pair를 대칭적으로 가지고 있습니다. 그중 하나를 시간축으로 선택하는 것은 기존 정적 O에 추가되는 causal decoration입니다.

따라서 causal O-block은 단순한 O-motif와 완전히 같은 대상이 아니라, O-motif에 시간방향의 역할이 추가된 구조입니다.

 

6. 하나의 O-block과 지속되는 O는 다르다

하나의 causal O-block은 한 단계의 인과적 구간에서 O-motif가 참여했다는 사실만 나타냅니다.

그 O가 다음 단계에서도 같은 particle-like structure로 유지된다고 말하려면, 두 block을 연결하는 continuation relation이 필요합니다.

이전 block의 미래 apex가 다음 block의 과거 apex가 되고, 두 block의 중간 사각 사이클 사이에 방향을 보존하는 대응이 존재하며, 내부 상태가 있다면 허용된 전이규칙에 따라 갱신되어야 합니다.

이러한 조건이 만족될 때 이전 O-block이 다음 O-block으로 이어졌다고 정의할 수 있습니다.

여러 block이 시간방향으로 계속 이어지면 하나의 O-chain 또는 O-worldline-like structure가 만들어집니다.

앞으로는 O-motif가 시간에 따라 유지된다는 사실을 사각 winding의 반복으로 암묵적으로 가정하지 않고, 이 continuation relation을 통해 직접 정의하려고 합니다.

이 변화는 중요합니다.

O-motif가 어느 순간 존재한다는 것과, 다음 순간에도 동일한 O로 추적될 수 있다는 것은 서로 다른 주장입니다.

존재는 정적 구조의 문제이고, 지속은 전이규칙과 동일성 판정의 문제입니다.

 

7. cycle clock은 폐기되는 것이 아니다

이번 방법론 변경은 cycle clock 아이디어를 버리는 것이 아닙니다.

cycle clock의 위치를 바꾸는 것입니다.

기존에는 local tick이 시간의 가장 기초적인 단위였습니다. 인과질서는 많은 local tick들이 정렬되면서 나중에 나타나는 것으로 보았습니다.

앞으로는 인과질서가 먼저 주어지고, cycle tick은 그 인과적 역사 위에서 시간을 측정하는 clock observable로 사용합니다.

즉, cycle이 시간의 방향을 처음부터 만드는 것이 아니라, 이미 인과적으로 정렬된 변화 속에서 반복적인 사건을 기록하는 시계가 됩니다.

O-worldline이 먼저 정의되면, 그 worldline을 따라 세 개의 사각 채널의 내부상태가 어떻게 변하는지 추적할 수 있습니다.

각 사각 채널에서 하나의 완결된 winding event가 발생할 때마다 내부 clock count를 증가시키는 방식입니다.

이때 O가 몇 단계 동안 지속되었는지와 O 내부의 winding event가 몇 번 발생했는지는 서로 다른 값이 될 수 있습니다.

어떤 O-motif는 오랫동안 유지되지만 내부 변화는 느릴 수 있습니다. 반대로 같은 존속기간 동안 더 많은 내부 winding event를 경험하는 O도 있을 수 있습니다.

따라서 앞으로는 O의 causal persistence count와 O의 internal clock count를 분리하려고 합니다.

전자는 O가 인과적 역사에서 얼마나 오래 추적되었는지를 나타냅니다.

후자는 그 기간 동안 O 내부의 물리적 시계가 얼마나 많이 진행되었는지를 나타냅니다.

이러한 분리는 장기적으로 proper-time-like 효과나 시간지연과 비슷한 현상을 연구하는 데 더 적합할 수 있습니다.

다만 현 단계에서는 이것이 상대성이론의 고유시간을 얻었다는 뜻은 아닙니다. 두 count 사이에 어떤 동역학적 관계가 존재하는지를 별도로 연구해야 합니다.

 

8. 게이지 대칭성은 계속 유지되어야 한다

Qaether의 시간 동역학을 추가할 때도 기존의 게이지 또는 frame redundancy를 훼손해서는 안 됩니다.

Qaether의 edge-relative phase는 독립적인 link variable이 아니라 양 끝 vertex의 쿼터니언 상태에서 유도됩니다.

모든 vertex의 쿼터니언 frame을 공통으로 변경해도 edge-relative phase는 변하지 않습니다.

따라서 O-motif의 causal participation은 우선 graph incidence, causal ordering, opposite-pair selection, square orientation, triangular-cycle incidence와 같은 조합론적 자료로 정의하는 것이 안전합니다.

위상 또는 내부상태를 추가할 때도 개별 vertex의 raw quaternion 값을 직접 물리량으로 사용하기보다는, 공통 frame 변화 아래 불변인 edge-relative pattern과 그 회전 동치류를 사용해야 합니다.

또한 공식 v2.4의 사각 sector에서는 사각형의 회전은 같은 기술로 보지만, 거울반사는 자동으로 같은 상태로 취급하지 않습니다.

따라서 시간방향의 continuation에서도 square orientation을 보존하는 대응과 orientation을 뒤집는 대응을 구분할 필요가 있습니다.

orientation reversal은 단순한 표기변경이 아니라 chirality-like conjugation 또는 내부 방향성의 반전으로 해석될 수 있기 때문입니다.

결국 새로운 시간 동역학은 기존의 flat induced holonomy와 공통 frame 불변성을 유지하면서 구성되어야 합니다.

 

9. O의 형성과 O의 지속도 서로 다른 문제다

앞으로는 O-motif가 만들어지는 과정과 이미 만들어진 O가 유지되는 과정도 분리하려고 합니다.

이를 위해 O 후보구조가 완전한 causal O-block에서 얼마나 벗어나 있는지를 측정하는 defect score를 정의할 수 있습니다.

필요한 edge가 빠져 있거나, 존재해서는 안 되는 edge가 있거나, 사각 cycle 또는 삼각 cycle의 incidence가 맞지 않거나, causal ordering을 위반하거나, 내부상태 전이가 허용조건을 만족하지 않는 경우 defect score가 증가하도록 하는 방식입니다.

모든 조건을 정확히 만족할 때만 defect score가 0이 되도록 구성할 수 있습니다.

그다음 동역학은 두 종류로 나눌 수 있습니다.

첫 번째는 형성 동역학입니다.

O가 완성되지 않은 상태에서 허용된 갱신이 defect score를 지속적으로 감소시키도록 정의할 수 있다면, 유한한 횟수의 갱신 후에 causal O-block이 형성된다는 수렴정리를 세울 수 있습니다.

두 번째는 지속 동역학입니다.

이미 완성된 O가 다음 단계에서도 defect score 0을 유지하고, 미래에 연결되는 successor가 유일하게 존재하도록 정의한다면, O가 하나의 causal chain을 따라 지속된다는 persistence theorem을 세울 수 있습니다.

하지만 이러한 결과는 O-motif의 정적 구조에서 자동으로 나오는 것이 아닙니다.

어떤 갱신규칙을 선택했는지에 따라 O가 생성될 수도 있고, 생성되지 않을 수도 있으며, 유지될 수도 있고 붕괴할 수도 있습니다.

따라서 앞으로는 “O가 particle-like structure이므로 당연히 지속된다”고 가정하지 않고, O를 생성하고 유지하는 전이규칙이 무엇인지 명시적으로 검토하려고 합니다.

 

10. 시간 연구의 층위도 수정한다

기존에는 Qaether의 시간을 세 층으로 설명하려 했습니다.

첫째, cycle 내부의 상태 갱신이 만드는 local tick.

둘째, local tick들 사이의 인과적 부분순서.

셋째, 많은 부분순서가 거시적으로 정렬되어 나타나는 global time과 시간의 화살.

앞으로는 이 순서를 네 단계로 수정하려고 합니다.

첫 번째 단계는 인과적 부분순서입니다.

어떤 사건이 다른 사건보다 먼저 일어날 수 있는지를 정의하고, 시간방향으로 닫히는 causal loop를 배제합니다.

두 번째 단계는 motif participation과 continuation입니다.

O-motif가 인과적 역사에 어떤 방식으로 참여하며, 그 참여가 다음 단계의 O-block으로 어떻게 이어지는지를 정의합니다.

세 번째 단계는 worldline 위의 local clock event입니다.

삼각 또는 사각 cycle의 내부 상태가 명시적인 전이규칙에 따라 반복될 때 이를 clock event로 기록합니다.

네 번째 단계는 coarse-graining입니다.

많은 causal chain과 clock event가 거시적으로 정렬될 때 연속적인 시간, 시간의 크기, 시간의 화살과 비슷한 현상이 나타나는지를 연구합니다.

새로운 관점은 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

시간의 방향은 causal order에서 옵니다.

시간의 측정량은 physical clock event의 누적에서 옵니다.

 

11. 기존 아이디어에서 유지되는 부분

이번 변경으로 모든 기존 아이디어가 폐기되는 것은 아닙니다.

삼각 사이클의 반복적인 상태변화가 background-like clock 역할을 할 가능성은 여전히 남아 있습니다.

O-motif의 세 사각 채널이 particle-like internal clock으로 작동할 가능성도 계속 연구할 가치가 있습니다.

사각 채널의 순환 방향이 chirality-like label을 제공할 가능성 역시 유지됩니다.

다만 앞으로는 각 주장 사이의 수준을 명확하게 구분하려고 합니다.

사각 cycle에 네 edge가 있다는 것은 정적 조합론의 사실입니다.

사각 상태가 네 단계로 순환한다는 것은 동역학적 가설입니다.

그 순환이 안정한 clock event가 된다는 것은 전이규칙과 return condition을 통해 검증해야 합니다.

그 clock event의 누적이 proper-time-like quantity가 된다는 주장은 O-worldline과 내부상태 변화의 관계를 추가로 연구한 뒤에야 할 수 있습니다.

즉, 구조의 존재와 구조의 운동, clock의 반복과 시간의 방향을 한 번에 동일시하지 않으려는 것입니다.

 

12. 앞으로의 연구 순서

앞으로 Qaether의 시간 연구는 다음과 같은 순서로 진행하려고 합니다.

먼저 같은 단계에 속하는 spatial incidence와 서로 다른 단계 사이를 연결하는 causal incidence를 분리합니다.

다음으로 시간축 역할을 하는 opposite pair가 선택된 causal O-block을 정의합니다.

그 뒤 O-motif가 한 causal slab에 참여했는지를 판정하는 participation rule과, 한 O-block이 다음 O-block으로 이어지는 continuation rule을 구성합니다.

이를 바탕으로 O-block들이 branching이나 merging 없이 O-chain을 이루는 조건을 검토합니다.

다음 단계에서는 O의 형성과 지속을 제어하는 defect score와 전이규칙을 정의합니다.

그 이후에야 삼각 사이클과 사각 사이클의 내부 상태공간, 반복 갱신, 최소주기와 clock event를 정의할 계획입니다.

마지막으로 O-worldline의 존속길이와 내부 winding count 사이의 관계를 연구하고, 이 관계가 거시적 시간, 시간지연 또는 proper-time-like 현상을 모사할 수 있는지 시뮬레이션하려고 합니다.

 

맺으며

기존의 시간 연구는 “사이클이 반복되므로 시간이 생긴다”는 직관에서 출발했습니다.

앞으로는 “먼저 허용 가능한 causal history를 정의하고, 그 history 안에서 지속되는 cycle이 clock으로 작동한다”는 순서로 연구하려고 합니다.

이 변화로 인해 Qaether에서 시간의 모든 측면이 처음부터 완전히 창발한다고 단순하게 말하기는 어려워질 수 있습니다.

대신 더 정확하게는, 인과질서는 동역학의 기초 제약으로 두고, 시간의 측정값과 지속시간은 motif event와 physical clock의 누적에서 창발한다고 표현할 수 있습니다.

저는 이러한 제한이 이론을 약하게 만든다고 생각하지 않습니다.

오히려 정적 구조와 동역학, 인과질서와 clock, O의 존재와 O의 지속을 분리함으로써 Qaether의 시간 연구를 더 엄밀하게 만들 수 있다고 생각합니다.

기존 글에서 설명한 cycle clock 아이디어는 삭제하기보다, causal history와 O-worldline이 정의된 이후에 도입되는 후속 clock layer로 재배치할 예정입니다.

이번 연구방법 변경의 핵심은 간단합니다.

시간을 세기 전에, 무엇이 시간방향으로 이어지는지를 먼저 정의하겠습니다.