The Qaether Log

1. 개요목표: Qaether 이론의 위상장 변수와 결합벡터를 이용해 격자상에서 U(1)·SU(3) 등의 게이지장을 정의하고, Wilson 작용을 통해 이론의 이산 격자판 버전을 세운다.핵심 전략Qaether 링크 위상의 최소 결합 형태로 게이지 링크 변수 도입폐회로(plaquette)에 대한 Wilson 루프 작용 정의연속극한에서 연속 게이지 이론(Lagrangian)을 복원 2. 링크 변수 정의Qaether 위상 총합링크 \(i\to j\) 에서의 총 위상차$$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} \;=\;\phi_j - \phi_i \;-\; q_e\,A_{ij}^{U(1)} \;-\; g\,\mathbf C_i\!\cdot\!A_{ij}^{SU(3)}$$격자 게이지 링크 변수이를 지수화하..

1. 서론 및 목표플랑크 스케일 격자 이산성에도 불구하고,장파장(long wavelength, \(k \ell_p \ll 1\))과 저에너지(low energy) 영역에서 기존 물리 법칙인 로렌츠 대칭(Lorentz symmetry)이 정확히 복원되어야 한다는 점입니다. 2. 위상장 \(\phi_i\)의 격자 동역학과 분산관계2-1. 이산 운동 방정식 (A12 단순화)$$\ddot{\phi}_i = K_0 \sum_{j \in N(i)} (\phi_j - \phi_i)$$여기서\(I_0\)는 국소 관성 모멘트,\(K_0\)는 인접 셀 간 위상 결합 강도,\(N(i)\)는 \(i\)번째 셀의 12개 FCC 인접 이웃 집합,\(\phi_i\)는 위상 변수.2-2. 푸리에 변환 및 분산관계푸리에 모드 $$\p..

고전적 상대론적 파동 방정식인 Klein–Gordon 방정식의 이차 시공간 미분자를 일차로 ‘인수분해’하여 Dirac 방정식을 유도하는 과정을 단계별로 보여드립니다. 모든 식은 자연단위계(\(\hbar=c=1\))를 사용하며, 마지막에 복원하는 방식으로 \(\hbar,\,c\)를 표시할 수 있습니다. 1. 출발점: 에너지-운동량 관계와 Klein–Gordon 방정식상대론적 에너지-운동량 관계: \(E^2 = \mathbf p^2 + m^2\)여기서 E는 에너지, \(\mathbf p=(p_x,p_y,p_z)\)는 3-운동량, m은 질량입니다.양자화: \(E \to i\,\frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf p \to -i\,\nabla\).대입하면$$\left(i\..

U(1) 위상 결합 모델에서 시작하여 장파장·저에너지 극한에서 어떻게 Maxwell 방정식이 유도되는지 단계별로 보여드리겠습니다. 1. 이산 U(1) 게이지 변수 정의위상장과 연결형 변수각 셀 i 에 위상 \(\phi_i(t)\) 를 할당하고, 인접 링크 \((i,j)\) 위에는 전자기 포텐셜의 이산 버전 \(A_{ij}(t)\) 를 도입합니다.게이지 공변 위상차는\(\Delta\phi^{\rm tot}_{ij} = (\phi_j - \phi_i) \;-\; q_e\,A_{ij}\)로 정의합니다. 여기서 \(q_e\) 는 기본 전하 단위입니다.이산 전계·자계 정의링크 전위차 \(\Delta\phi_{ij}\) 에 대응하는 전기장 성분:$$E_{ij} \;\propto\; -\frac{d}{dt}\bigl..

평면 플라켓(사각형 루프) 구조링크 수: 4개균일 결합 상수 \(K_{ij}=K_0\) 가정 시$$U_{\rm plaq} = -\sum_{4\:\text{links}}K_0 = -4\,K_0$$위상 정렬 관점에서는 모든 위상이 동일할 때(\(\Delta\phi_{ij}=0\)) 정적 평형을 이룸.정사각뿔(피라미드) 구조링크 수: 밑면 4개 + 옆면 4개 = 총 8개동일한 \(K_0\) 가정 시$$U_{\rm pyr} = -\sum_{8\:\text{links}}K_0 = -8\,K_0 \;에너지가 두 배 깊게 낮아져, 더 큰 에너지 우물에 갇힌 “진정한 안정 구조”로 판단.결합 수 및 결합 강도 고려실제 Qaether 이론에서는 $$K_{ij} = K_0\exp[-\lambda(V_{\rm void}(m..

아래와 같이 단계별로 공액변수를 정의하고, 고전 Poisson 괄호에서 양자화된 교환 관계까지 차례로 유도하면, 자연스럽게 \(\hbar_q\)가 실제 플랑크 상수 \(\hbar\)와 동일해야 함을 확인할 수 있습니다. 1. 라그랑지언 작성 및 공액운동량 정의단일 셀 i의 자유 위상 운동항만 고려한 단순화된 Lagrangian:$$L_i \;=\; \frac{1}{2}\,I_i\,\dot\phi_i^2 \quad (I_i는 관성모멘트)$$공액운동량은$$\pi_i \;=\; \frac{\partial L_i}{\partial\dot\phi_i} \;=\; I_i\,\dot\phi_i \;=\; P_i$$즉, 이 이론에서 정의한 \(P_i\)와 일치합니다. 2. 고전 Poisson 괄호고전 역학에서 위상 \..