Pyramid 결합 구조의 전하

1. Pyramid 구조 개요

• 정사각뿔 구성
  • 4개의 정삼각형 면(trianglet)과 1개의 정사각형 면으로 이루어진 정사각뿔.
  • 다섯개 면의 면심(face center)이 서로 연결된 형태. 단, 정사각형의 대각선은 서로 연결 불가

2. 단위전하 정의

• 링크(link) 전하
  • 위상차 \(\Delta\phi(ij)\)가 존재할 때: 한 링크당 전하 \(q\)
  • 위상차 = 0일 때: 전하 0
• 전하 흐름 방향
  • 위상(phase)이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 한다.

3. 전체 전하 계산 절차

Pyramid의 전체 전하를 구하려면 정사각형의 면전하 Q1와 각 정삼각형 면전하 Q2를 파악한 뒤 합산한다.
면전하 Q1은 그 면을 둘러싼 네개의 링크전하, 면전하 Q2 은 그 면을 둘러싼 세개의 링크 전하(각각 \(q\) 또는 0)의 합이다.

3.1. 루프 위상차 조건 및 링크전하조건

$$\Theta_\ell = \sum_{(ij)\in \ell}\Delta\phi_{ij},\quad \Theta_\ell = 2\pi\,n_\ell,\quad n_\ell\in\{-1,0,1\}$$

$$Q_\ell = \sum_{(ij)\in \ell}q\,\operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij})$$

• \(Q_\ell\neq0\)면 유전하
• \(Q_\ell=0\)면 무전하

3.2. 경우 구분 및 면전하 분포

1. 기준 면전하를 Q1으로 한다.
2. Q1이 \(4q\)인 경우
   • 기준 면 링크 한 개에만 \(q\) → 면전하 \(4q\)일때 다음과 같은 패턴만 가능하다

     

     

     
     
     
   • 여기서 1,2,3에는 각각 \(\frac\pi3\)을 곱하면 각 링크에 배정된 위상차가 나온다.
   • 따라서 정사각형면에 붙어 있는 삼각형 면들의 가능한 Q2 면전하는 \(-3q,\,-q,\,+q, 0\)이며 모든 경우 전하의 합은 0이 된다.
3. 기준 면 링크 모두 0 (루프 합 = 0, 면전하 0)
   • 기준면과 닿아 있는 모든 정삼각형들의 한개 링크는 모두 0이기 때문에 나머지 두개의 링크로 위상차 조건을 \(2\pi\)로 만들거나 0을 만들어야 한다.
   • 두개 링크로 (2\pi\)를 만드는 경우는 나머지 모든 링크가 \(\pi\)를 가져야 하며 다만 방향은 다를수 있다. 이를 모두 계산하여 총전하를 계산하면 0이 된다.
   • 두개 링크로 0을 만드는 경우는 각 삼각형의 전하가 모두 0이 되기 때문에 총전하는 0이 된다.
   • 따라서 기준면이 0인 피라미드 구조의 총 전하는 0이다.
4. 기타 폐합된 입체 도형의 경우 각 링크가 두개의 면에 걸쳐 전하 계산에 참여하는데 한번은 면전하가 양전하를 갖도록 기여하면 다른 한번은 음전하를 갖도록 기여하기 때문에 모든 폐합 입체 도형의 총 전하는 0이다.

 

4. 결론

모든 가능한 위상차(면전하) 조합에 대해 Pyramid 내부의 면전하 합은 항상 0이 된다.
따라서 정사각뿔 구조인 피라미드 결합은 어떠한 경우에도 전체 전하 중성(neutral)을 유지한다.