[v1.2 -> v1.3] 색전하 정의의 개정 아이디어

색전하 정의의 개정 아이디어 (Qaether 이론 A7 수정본)

1. 문제점 (기존 정의의 모순)

1. Cartan 투영이 항상 0
   링크를 \(\lambda_{1,4,6}\) 축에만 정렬시키면, Cartan \(\lambda_{3,8}\)에 대한 투영은 항상 0 → 색전하가 사라짐에도 불구하고 메손 색전하를 주장한 부분이 자기모순.
2. 게이지 불변성 부재
   단순합 \(\sum \tilde X\)는 국소 SU(3) 게이지변환에 따라 회전하므로 관측가능량이 아님. 색전하는 원칙적으로 가우스 법칙이나 Wilson loop로 정의해야 함.
3. 8차원 임베딩 불충분
   \(\lambda_{1,4,6}\) 세 방향만으로는 SU(3) 8차원 자유도를 모두 만들 수 없음. λ₂, λ₅, λ₇, λ₃, λ₈ 성분이 생성되는 메커니즘이 불명확.

 

2. 개선 원리

• 플라켓 위상차 양자화:
  링크 위상차 $$\Delta\phi_{ij} = n_{ij}\,\pi/6 \quad \text{(정수 n)} → \text{플라켓 합 조건} \quad \sum n_{ij}=12$$
  이 조건에서 FCC 격자 대칭군 \(D_4\) 작용을 고려하면, 위상차 조합이 정확히 3종의 동치류만 남음.
• 동치류 → SU(3) weight로 매핑:
  세 동치류 \(\{C_r, C_g, C_b\}\)를 SU(3) 기본 가중치 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 일대일 대응.
  이때 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) 관계는 바리온 색중성과 완전히 일치.
• 게이지 불변 색전하:
  Cartan 성분 투영 대신, 격자판 Gauss 법칙\(\sum_j E_{ij}^a = Q_i^a\)로 국소 색전하를 정의하면 자동으로 gauge-invariant.
• SU(3) 8차원 공간 확보:
  λ₁–λ₂–λ₃, λ₄–λ₅–λ₃′, λ₆–λ₇–λ₃″ 세 개의 SU(2)×U(1) 패치 중첩으로 8개 글루온 자유도가 확보됨.
  BCH 전개 시 off-diagonal 성분(λ₂,λ₅,λ₇ 등)도 동적으로 나타남.

 

3. 수학적 구조

• 색전하 공간$$\mathcal C = S / D_4 \;\cong\; \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\} \subset \mathfrak{su}(3)^\ast$$즉, FCC 격자 위상차 → \(D_4\) 대칭으로 줄이면 SU(3) fundamental weight 공간이 생성됨.
• 반색전하
  Weyl 군 \(S_3\) 작용으로 반대칭 weight 셋이 얻어짐 → 반쿼크와 대응.
• 색중성 조건
  바리온: \((r,g,b)\) 조합 → \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\).
  메손: 쌍소거 \((\omega_i+\bar\omega_i=0)\).
• SU(3) 작용
  공변 링크 변수가 다음과 같이 정의된다. $$\Xi_{ij}=\exp[i(C\cdot\lambda)]\,e^{-ig_s A_{ij}} \in SU(3)$$ 그러면 Wilson loop로 Yang–Mills 작용이 자연스럽게 얻어짐. $$\mathcal L_{SU(3)}=-\frac1{2g_s^2}\sum_\Box \mathrm{Tr}(G_\Box-\mathbb I)^2$$

 

4. 물리적 귀결

1. 게이지 불변성 확보: 국소 색전하 정의가 SU(3) 게이지 변환에 대해 covariant.
2. 8개 글루온 모드 자연 발생: Cartan–off-diagonal 모든 자유도가 확보됨.
3. 색중성 규칙 정합: 바리온과 메손의 색전하 조건이 SU(3) weight 구조와 정확히 일치.
4. QCD와 동형: 최종적으로 Qaether 격자의 플라켓 위상차 구조는 표준 QCD의 SU(3) 색대칭과 1:1 대응.

 

따라서 개정된 색전하 정의는
“플라켓 위상차 → \(D_4\) 동치류 3종 → SU(3) fundamental weight → Weyl 군 작용 → 반색전하 및 색중성 구현”
이라는 일관된 수학적·물리적 절차를 통해, Qaether 이론 안에서 QCD의 색역학을 완전하게 재현.