[v1.2 -> v1.3] 색전하 정의의 수정

기존의 색전하 부분은 ChatGPT의 도움으로 정량적 구성하였으나 실제 결합을 모델링할때 정합하지 않은 부분을 발견하게 되었다. 그런 이유로 기존 격자 게이지이론에서 플라켓을 게이지장으로 설명하고 있고 그런 이유로 Qaether 이론과 일치되는 부분이 많아 이를 직접 Qaether이론의 규칙을 가지고 플라켓을  계산해 본 결과 다음과 같은 재미있는 현상들이 발견되어 정리하게 되었다.

1. 플라켓 위상차 변수

기호 정의

링크 위상차	$$\displaystyle\Delta\phi_{ij}=n_{ij}\,\frac{\pi}{6},\quad n_{ij}\in\{0,\dots,11\}$$
위상합 조건	$$\displaystyle\sum_{(ij)\in\Box} n_{ij}=12\quad\bigl(\text{정수 12, not mod}\bigr)$$
예시	(1,2,3,6),  (6,3,1,2) 등 중복 허용 – 중복이 있어도 플라켓 에너지는 \(\cos\Phi_\Box\) 에만 의존

 

* 비고 : 네개의 \(n_i\)가 모두 다를때만 동치류가 3개만 존재하며 그렇지 않을때는 1개 또는 2개 존재.

 

2. 동치류: 격자 대칭 \(D_4\) 작용

• 대칭군 $$D_4 = \langle\,r,s\mid r^4=s^2=1,\;srs=r^{-1}\,\rangle \;(r:\,90^\circ\text{ 회전},\;s:\text{ 반전})$$
• 동치 관계 $$\mathbf n\sim\mathbf n' \iff \mathbf n'=g\cdot\mathbf n,\;g\in D_4$$
• 궤도(orbit) 크기
  • 일반적으로 \(|D_4|=8\)
  • 회전 4 + 반전 4 → 역방향 플라켓은 같은 에너지이므로 마지막에 쌍이 합쳐진다.
• 결과 궤도 8 → 에너지-동등 쌍을 mod → 3개 동치류 $$ \mathcal C = S/D_4 = \{C_r,\;C_g,\;C_b\},\quad|\mathcal C|=3$$
• 예시 궤도 A — (1,2,3,6) 를 시작 $$\{(1,2,3,6),\,(2,3,6,1),\,(3,6,1,2),\,(6,1,2,3)\}\;(\text{회전})\\ \cup\,\{(1,6,3,2),\,(6,3,2,1),\dots\}\;(\text{반전})$$ 회전 + 반전 8개가 한 에너지류 → \(C_r\) 로 묶인다.

 

3. SU(3) 리 대수 임베딩

3-1 기본 가중치 매핑

$$\boxed{ C_r\;\mapsto\;\omega_1,\quad C_g\;\mapsto\;\omega_2,\quad C_b\;\mapsto\;\omega_3 }$$ $$\omega_1=\Bigl(\!\tfrac12,\;\tfrac{1}{2\sqrt3}\Bigr),\; \omega_2=\Bigl(\!-\tfrac12,\;\tfrac{1}{2\sqrt3}\Bigr),\; \omega_3=\Bigl(\!0,\;-\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr),\quad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$

3-2 단순근과 Cartan 구조

$$\alpha_1=\omega_1-\omega_2,\quad \alpha_2=\omega_2-\omega_3$$

$$\alpha_3=\omega_3-\omega_1=-(\alpha_1 + \alpha_2) \quad \text{즉, }\alpha_3\text{는 종속적} $$

• 정규화 : 표준 고에너지-물리 규약 \(\|\alpha_i\|^2=2\) 로 맞추기 위해 \(\alpha_i \to \sqrt2 \alpha_i\). 또한 SU(3) 행렬의 표준 normalization \(\operatorname{Tr}(\lambda_a \lambda_b)=2\delta_{ab}\)를 명시
• Cartan 행렬 
  $$\displaystyle A_{ij}=2\frac{\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle}{\|\alpha_j\|^2} =\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$

 

4. 반색전하(anticolor)

• SU(3) Weyl group은 \(D_3\cong S_3\) (6원소)
  • 120° 회전(2개), 반사(3개), 항등(1개)
• 반색전하(anti-triplet)는 단순히 −ωi-\omega_i만이 아니라 Weyl 작용으로 얻어지는 반대칭 weight 셋 전체로 정의

 

5. 국소 색전하 벡터와 색중성

• 정의 : $$Q_o=\bigl(C(p_r),\,C(p_g),\,C(p_b)\bigr)\in\{r,g,b\}^3,\quad p_r,p_g,p_b: \text{셀 o에서 Y자형으로 뻗은 세 플라켓 }$$
• 바리온 색중성 $$Q_o=(r,g,b)\quad\iff\quad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$
• 삼중항 반대칭$$\Psi_{\rm color}=\epsilon_{abc}\,|a\,b\,c\rangle$$→ 격자 상에서도 플라켓 궤도 간 반대칭 조합이 보존되어 파울리 타 원리 위배 없음.

 

6. SU(3) 격자 게이지 작용

$$\Xi_{ij}=\exp\!\bigl[i\,(C(p_{ij})\cdot\lambda)\bigr]\, \exp\!\bigl[-ig_s\,A_{ij}\bigr]\in SU(3), \quad G_\Box=\!\!\prod_{\ell\in\Box}\Xi_\ell$$ $$\mathcal L_{SU(3)}= -\frac1{2g_s^2}\sum_{\Box}\operatorname{Tr}\bigl(G_\Box-\mathbb I\bigr)^2$$

• 첫 지수항 : SU(2) 위상차를 8-차원 색공간으로 끌어올린 정적 임베딩
• 두 번째 지수항 : 동적인 글루온 퍼텐셜
• BCH 전개:\[ e^Xe^Y=e^{X+Y+\tfrac12[X,Y]+\cdots},\quad[X,Y]\neq0\] → non-commutativity 근거 보강 → 상호작용 자동 포함.

 

7. 비대각 글루온(off-diagonal gluon) 자유도

BCH 전개 및 라그랑지안 변분에서 \[ \Xi_{ij}\simeq e^{iC_{ij}\cdot\lambda}\bigl(\mathbb I - i g_s A_{ij} + \cdots\bigr)\,,\qquad \mathcal L_{SU(3)}\supset \operatorname{Tr}\bigl[(\sum C)(\sum A)\bigr] \;\propto\;C^aA^b\operatorname{Tr}(\lambda_a\lambda_b) \]를 통해 Cartan 축 \(a=3,8\)과 모든 \(b=1,\dots,8\) 성분이 교차 결합함을 확인할 수 있다. 따라서 off-diagonal\(λ_{1,2,4,5,6,7}\) 글루온도 \(A_{ij}\) 변분으로 동적으로 접근 가능하다.

 

8. SU(3) 국소 게이지 변환

\[ \Xi_{ij}=e^{i(C_i-C_j)\cdot\lambda}e^{-ig_sA_{ij}} \;\xrightarrow{\Omega_i}\; \Omega_i\Xi_{ij}\Omega_j^{-1} =e^{i(C_i'-C_j')\cdot\lambda}e^{-ig_sA_{ij}'}, \]

\[ C_i\to\Omega_iC_i\Omega_i^{-1},\quad A_{ij}\to\Omega_iA_{ij}\Omega_j^{-1}. \]

정적 배경 \(e^{iC\cdot\lambda}\)도 Cartan 외부 Ω 아래에서 재흡수되어, 링크 변수 전체가 covariant.

 

9. 연속극한에서 위상토폴로지

격자 단계 \(Z_6\) → 소진폭 \(U(1)\) → 큰 winding 시 $$\oint d\phi=2\pi k\,(k\in\mathbb Z) → mod \; 3 → center \{1,\,e^{\pm2\pi i/3}\}\cong Z_3$$ 흐름이 매끄럽게 이어짐.

 

10. 요약 공식

$$\boxed{ \textbf{색전하 공간}\; \mathcal C = S / D_4 \cong \bigl\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\bigr\}\subset \mathfrak{su}(3)^\ast, \quad |\mathcal C|=3 }$$

• 플라켓 위상차 3 동치류 ↔ SU(3) fundamental weights
• 색전하 차 ↔ SU(3) 단순근, Cartan 행렬 완비
• 격자 대칭 \(D_4\) 의 Weyl-군 작용 ≅ 색 회전·반전
• 반색전하, 바리온 색중성, 파울리 배타 모두 자연스럽게 귀결

따라서 케이서 격자에서 정의된 색전하는 수학적으로 완전한 SU(3) 대칭을 구현하며, 표준 색역학(QCD)과 위상·대칭 구조가 1 : 1로 대응된다.