[v1.2 -> v1.3] 색전하 정의의 수정

기존의 색전하 부분은 ChatGPT의 도움으로 정량적 구성하였으나 실제 결합을 모델링할때 정합하지 않은 부분을 발견하게 되었다. 그런 이유로 기존 격자 게이지이론에서 플라켓을 게이지장으로 설명하고 있고 그런 이유로 Qaether 이론과 일치되는 부분이 많아 이를 직접 Qaether이론의 규칙을 가지고 플라켓을  계산해 본 결과 다음과 같은 재미있는 현상들이 발견되어 정리하게 되었다.

1. 플라켓 위상차 변수

기호 정의

링크 위상차	$$\displaystyle\Delta\phi_{ij}=n_{ij}\,\frac{\pi}{6},\quad n_{ij}\in\{0,\dots,6\}$$
위상합 조건	$$\displaystyle\sum_{(ij)\in\Box} n_{ij}=12\quad\bigl(\text{정수 12, not mod}\bigr)$$
예시	(1,2,3,6),  (0,3,4,5) 등, 중복 허용 – 중복이 있어도 플라켓 에너지는 \(\cos\Phi_\Box\) 에만 의존

 

* 비고 : 네개의 \(n_i\)가 모두 다를때만 동치류가 3개만 존재하며 그렇지 않을때는 1개만 존재

 

2. 동치류: 격자 대칭 \(D_4\) 작용

1. 대칭군 $$D_4 = \langle\,r,s\mid r^4=s^2=1,\;srs=r^{-1}\,\rangle \;(r:\,90^\circ\text{ 회전},\;s:\text{ 반전})$$
2. 동치 관계 $$\mathbf n\sim\mathbf n' \iff \mathbf n'=g\cdot\mathbf n,\;g\in D_4$$
3. 궤도(orbit) 크기
   • 일반적으로 \(|D_4|=8\)
   • 회전 4 + 반전 4 → 역방향 플라켓은 같은 에너지이므로 마지막에 쌍이 합쳐진다.
4. 결과 궤도 8 → 에너지-동등 쌍을 mod → 3개 동치류 $$ \mathcal C = S/D_4 = \{C_r,\;C_g,\;C_b\},\quad|\mathcal C|=3$$
5. 예시 궤도 A — (1,2,3,6) 를 시작 $$\{(1,2,3,6),\,(2,3,6,1),\,(3,6,1,2),\,(6,1,2,3)\}\;(\text{회전})\\ \cup\,\{(1,6,3,2),\,(6,3,2,1),\dots\}\;(\text{반전})$$ 회전 + 반전 8개가 한 에너지류 → \(C_r\) 로 묶인다.

 

3. SU(3) 리 대수 임베딩

3-1 기본 가중치 매핑

$$\boxed{ C_r\;\mapsto\;\omega_1,\quad C_g\;\mapsto\;\omega_2,\quad C_b\;\mapsto\;\omega_3 }$$ $$\omega_1=\Bigl(\!\tfrac12,\;\tfrac{1}{2\sqrt3}\Bigr),\; \omega_2=\Bigl(\!-\tfrac12,\;\tfrac{1}{2\sqrt3}\Bigr),\; \omega_3=\Bigl(\!0,\;-\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr),\quad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$

3-2 단순근과 Cartan 구조

$$\alpha_1=\omega_1-\omega_2,\quad \alpha_2=\omega_2-\omega_3,\quad \alpha_3=\omega_3-\omega_1$$

• 정규화 : 표준 고에너지-물리 규약 \(\|\alpha_i\|^2=2\) 로 맞추기 위해
  위 벡터를 \(\sqrt2\) 배 하면 된다.
• Cartan 행렬 
  $$\displaystyle A_{ij}=2\frac{\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle}{\|\alpha_j\|^2} =\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$$

3-3 색전하-근 대응

색전하 차 벡터 SU(3) 단순근

\(R-G\)	\(C_r-C_g\)	\(\alpha_1\)
\(G-B\)	\(C_g-C_b\)	\(\alpha_2\)
\(B-R\)	\(C_b-C_r\)	\(\alpha_3\)

$$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0\quad\Longleftrightarrow\quad (R-G)+(G-B)+(B-R)=0$$

 

4. 반색전하(anticolor)

• Weyl 반사 : \(\omega_i\mapsto-\omega_i\) (또는 \(\alpha_i\mapsto-\alpha_i\))
• 위상차 관점 : \((n_1,n_2,n_3,n_4)\;\mapsto\;(-n_1,-n_2,-n_3,-n_4)\) 을
  \(\bmod\,12\) 환원 후 다시 \(0\!-\!6\) 범위로 사상.
• 결과적으로 \(\{\bar R,\bar G,\bar B\}\) 의 anti-triplet \(\bar{\mathbf 3}\) 가 형성된다.

 

5. 국소 색전하 벡터와 색중성

1. 정의\(Q_o=\bigl(C(p_r),\,C(p_g),\,C(p_b)\bigr)\in\{r,g,b\}^3\),\(p_r,p_g,p_b\) : 셀 o에서 Y자형으로 뻗은 세 플라켓.
2. 바리온 색중성\(Q_o=(r,g,b)\quad\text{또는}\quad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)로 색중성(싱글릿) 달성.
3. 삼중항 반대칭\(\Psi_{\rm color}=\epsilon_{abc}\,|a\,b\,c\rangle\)→ 동일 공간·스핀·맛 상태여도 파울리 배타 원리를 위배하지 않음.

 

6. SU(3) 격자 게이지 작용

$$\Xi_{ij}=\exp\!\bigl[i\,(C(p_{ij})\cdot\lambda)\bigr]\, \exp\!\bigl[-ig_s\,A_{ij}\bigr]\in SU(3), \quad G_\Box=\!\!\prod_{\ell\in\Box}\Xi_\ell$$ $$\mathcal L_{SU(3)}= -\frac1{2g_s^2}\sum_{\Box}\operatorname{Tr}\bigl(G_\Box-\mathbb I\bigr)^2$$

• 첫 지수항 : SU(2) 위상차를 8-차원 색공간으로 끌어올린 정적 임베딩
• 두 번째 지수항 : 동적인 글루온 퍼텐셜
• 두 항은 commuting 하지 않으므로 상호작용이 자연스럽게 포함된다.

 

7. 요약 공식

$$\boxed{ \textbf{색전하 공간}\; \mathcal C = S / D_4 \cong \bigl\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\bigr\}\subset \mathfrak{su}(3)^\ast, \quad |\mathcal C|=3 }$$

• 플라켓 위상차 3 동치류 ↔ SU(3) fundamental weights
• 색전하 차 ↔ SU(3) 단순근, Cartan 행렬 완비
• 격자 대칭 \(D_4\) 의 Weyl-군 작용 ≅ 색 회전·반전
• 반색전하, 바리온 색중성, 파울리 배타 모두 자연스럽게 귀결

따라서 케이서 격자에서 정의된 색전하는 수학적으로 완전한 SU(3) 대칭을 구현하며, 표준 색역학(QCD)과 위상·대칭 구조가 1 : 1로 대응된다.