* The universe we live in is composed of a network of Qaether, which are discrete spherical minimal spatial units at the Planck length scale. The diameter of a Qaether is equal to the Planck length (\(\ell_p\)).
* Qaether has coupling tensors and spin tensors, and since these tensors operate at the Planck scale, all of them can be computed mathematically in a discrete manner.
* The coupling tensor is the discrete average coupling directional tensor based on discrete coupling function between direction and spin calculated for pairs of direction vectors \(\vec{d}_{ij}\) along which the Qaether is actually coupled and the corresponding spin states \(S_j\).
* Coupling on the FCC lattice is allowed in directions where the spin phases of each Qaether have the following discrete rotational angle differences:
\[
\theta \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}\right\}
\]
This is derived from the rotational symmetry of the FCC lattice and the discrete change conditions of the spins.
$$
S \in \{+1, 0, -1\}
$$
- Coupling vibrations are induced by either \( \Delta S = S_i - S_j \) or the phase difference \(\Delta \phi_{ij}\) between coupling directions, and the vibrational modes are discretized in the form of \(\omega_n\).
- In relation to the coupling tensor, Qaether is coupled based on the most stable structure, which is the FCC (face-centered cubic) lattice structure, where the allowed coupling directions are discretely quantized into the 12 nearest directions of the FCC lattice.
- Therefore, the average of the coupling direction vectors can be calculated discretely, rather than continuously. The possible coupling direction vector values are the following (example):
\[
\left\{\frac{1}{2}(\pm1, \pm1, 0),\ \frac{1}{2}(\pm1, 0, \pm1),\ \frac{1}{2}(0, \pm1, \pm1)\right\}
\]
- According to these spin conditions, Qaether attempts to couple, and the stability condition for coupling holds if \(S_i = -S_j\), in which case \( \delta^{\text{spin}}_{ij} = 1 \).
- The coupling vibrational modes according to the spins of the Qaether follow the wavelength \(\lambda_n = n \ell_p\), and the corresponding frequency is defined as follows:
\[
\omega_n = \frac{2\pi c_v}{n\ell_p} \quad (\text{where } c_v \text{ is the phase velocity, assumed to be equal to the speed of light } c)
\]
* These vibrations have discrete phases based on the coupling distance and direction \(\vec{x}_{ij}\), and the number of vibrational modes \(n \in \mathbb{N}\) corresponds to the vibrational energy.
* The vibrational phase is defined as follows, where time is the emergent quantity normalized to the frequency through the accumulation of this phase change:
\[
t_{\text{eff}} = \frac{\Delta \phi}{\omega_n}
\]
* Therefore, the actual coupling structure is based on the ideal FCC lattice but consists of a derived subgraph of the FCC that includes only directions satisfying the spin conditions, on which coupling occurs.
* Since Qaether is perfectly spherical, full coupling in all directions with other cells is impossible, leading to local spatial deficits that can be defined by a finite number of patterns.
* Furthermore, additional forms of spatial deficits arise due to directions that do not satisfy the spin conditions in the coupling network, and these local spatial deficits can be computed by the gravitational tensor, which also has a finite number of patterns. (This is a tensor value related to the deficient parts, not to the state tensor of the Qaether.)
* The deficiency tensor \(D_{i}^{abc}\) is defined as the tensor product average of the unbound direction vectors from Qaether \(i\) and serves as an indicator of local spatial curvature.
* Integrating the above, the state of Qaether can be expressed as a discrete tensor of the following form, created from the coupling and deficiency tensors, the spin of the coupling direction Qaether, and the values of the coupling vibrations:
\[
Q^{sn}_{\mu\nu f}
\]
Here, \(\mu, \nu, f\) represent the coupling directional average vector indices, \(s\) denotes the spin state, and \(n\) indicates the vibrational mode index. This tensor \(Q^{\mu\nu}_{fsn}\) is a discrete state tensor that fully represents the coupling state of each Qaether, including the coupling direction average (\(\mu, \nu, f\)), the spin state \(s\) of the corresponding direction, and the vibrational mode \(n\). It is defined separately from the deficiency tensor, which is derived from the uncoupled directions.
* In this way, the topological structure of the coupling network between Qaether becomes the very 'space' itself.
* In this model, time is not an external continuous variable, but an emergent quantity that manifests through the cumulative coupling phase change \(\Delta \phi\).
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- 우리가 살고 있는 우주는 플랑크 길이 스케일의 이산적인 공 모양의 최소 공간 단위인 Qaether들의 결합망으로 구성된다. Qaether의 지름은 플랑크 길이 \(\ell_p\)와 같다.
- Qaether는 결합텐서, 스핀 텐서를 자체적으로 가지며, 이 텐서들은 플랑크 스케일에서 작동하므로 모두 이산 수학적으로 계산이 가능하다.
- 결합텐서는 Qaether가 실제로 결합한 방향 벡터들 \(\vec{d}_{ij}\) 과 그에 대응하는 스핀 상태 \(S_j\) 의 쌍들에 대해, 방향과 스핀 간의 이산적 결합함수를 통해 계산된 결합 스핀 상태 기반 방향 함수의 이산 평균 결합 방향 텐서이다.
- FCC 격자 상에서의 결합은 각 Qaether의 스핀 위상이 다음과 같은 이산 회전 각도 차이를 갖는 방향에서 허용된다:
θ∈{π3,π2,2π3,π,4π3}
이는 FCC의 회전 대칭성과 스핀의 이산적 변화 조건에 따라 유도된다.
$$S \in \{+1, 0, -1\}$$
- 결합 진동은 \( \Delta S = S_i - S_j \) 또는 결합 방향 간 위상차 \(\Delta \phi_{ij}\)에 따라 유도되며, 진동 모드는 \(\omega_n\)의 형태로 이산화된다.
- 결합 텐서와 관련하여, Qaether는 가장 안정적인 구조인 FCC (face-centered cubic) 격자 구조를 기반으로 결합하며, 결합 가능한 방향은 FCC 격자의 최근접 12개 방향으로 이산 양자화된다
- 따라서 결합 방향 벡터들의 평균을 구할 수 있으며, 이는 연속적이 아니라 이산적으로 계산된다. 다음은 가능한 결합 방향 벡터 값들이다:
(예제)
$$\left\{\frac{1}{2}(\pm1, \pm1, 0),\ \frac{1}{2}(\pm1, 0, \pm1),\ \frac{1}{2}(0, \pm1, \pm1)\right\}$$
- 이 스핀 조건에 따라 Qaether는 결합을 시도하며, 결합 안정 조건은 $$S_i = -S_j$$ 일 때 성립하고, 이 경우에만 $$\delta^{\text{spin}}_{ij} = 1$$ 이 된다.
- Qaether의 스핀에 따른 결합 진동 모드는 파장 \(\lambda_n = n \ell_p\) 를 따르며, 이에 따른 진동수는 다음과 같이 정의된다:
$$\omega_n = \frac{2\pi c_v}{n\ell_p} \quad (\text{여기서 } c_v \text{는 위상 전달 속도이며, 빛의 속도 } c \text{와 일치한다고 가정된다})$$
- 이 진동은 결합 거리 및 방향 \(\vec{x}_{ij}\) 에 따라 이산적으로 위상을 가지며, 진동 모드 수 \(n \in \mathbb{N}\) 는 진동 에너지에 대응된다.
- 진동 위상은 다음과 같이 정의되며, 시간은 이 위상 변화의 누적을 진동수로 정규화한 내재적 양(emergent quantity)이다:
$$t_{\text{eff}} = \frac{\Delta \phi}{\omega_n}$$
- 따라서 실제 결합 구조는 이상적 FCC 격자를 기반으로 하되, 스핀 조건을 만족하는 방향만 포함하는 유도된 부분 격자(subgraph of FCC)로 구성되며, 그 위에서 결합이 발생한다.
- Qaether는 완전한 구형이므로 다른 Cell과 모든 방향에 대해 완전 결합은 불가능하고 이로인해 국소적 공간 결핍이 발생하는데 이는 유한한 수의 패턴으로 정의될 수 있다.
- 또한 결합망에서 스핀 조건을 만족하지 못해 결합되지 않은 방향들로 인한 다른 형태의 공간결핍이 추가적으로 발생하며 이러한 국소적 공간 결핍은 중력 텐서로 계산될 수 있는데 이 또한 유한한 수의 패턴을 갖는다. (Qaether의 상태 텐서가 아니라 결핍 부분에 대한 텐서값)
- 결핍 텐서 \(D_{i}^{abc}\)는 Qaether \(i\) 에서 결합되지 않은 방향 벡터들의 텐서곱 평균으로 정의되며, 국소적인 공간곡률의 지표로 작용한다.
- 위의 내용을 통합하여 Qaether의 상태를 다음과 같은 이산 텐서로 표현할 수 있으며 결합 및 결핍 텐서, 결합방향 Qaether의 스핀, 결합 진동의 값으로 만들어진다 :
$$Q^{sn}_{\mu\nu f}$$
여기서 \(\mu, \nu, f\): 결합 방향 평균 벡터 인덱스, \(s\): 스핀 상태, \(n\): 진동 모드 인덱스를 나타낸다. 이 텐서 \( Q^{\mu\nu}_{fsn} \)은 결합 방향 평균 (\(\mu, \nu, f\)), 해당 방향의 스핀 상태 \( s \), 그리고 진동 모드 \( n \)을 포함하여 각 Qaether의 결합 상태를 전적으로 나타내는 이산 상태 텐서입니다. 이는 결핍 텐서와 별도로 정의되며, 후자는 결합되지 않은 방향들로부터 도출됩니다.
- 이러한 방식으로 Qaether 간 결합망의 위상 구조가 곧 ‘공간’ 그 자체를 이룬다.
- 이 모델에서 시간은 외재적 연속 변수가 아니라, 결합 위상 변화의 누적 \(\Delta \phi\) 를 통해 발현되는 내재적 emergent quantity이다.
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